12.7.1 Упражнение – алгебричен апарат 2

1. Аритметична и геометрична прогресия: $n$-ти член, сума и свойства

1. В аритметична прогресия е известно, че $a_1 + a_5 + a_9 = 15$. Намерете стойността на петия член $a_5$.
2. За геометрична прогресия е дадено, че $b_2 \cdot b_8 = 36$. Пресметнете произведението $b_4 \cdot b_6$.
3. Три числа образуват геометрична прогресия с частно $q = 3$, а сумата от първите им три члена е $26$. Намерете най-голямото от тези три числа.
4. Намерете броя на членовете $n$ на аритметична прогресия, за която $a_1 = -3$, $a_n = 21$ и сумата $S_n = 81$.
5. В геометрична прогресия с положителни членове $b_1 = 3$ и $b_5 = 48$. Намерете сумата на първите шест члена $S_6$.
6. Четири числа образуват геометрична прогресия. Сумата на първите два члена е $10$, а сумата на последните два е $40$. Намерете частното $q$ и първия член $b_1$.

2. Корен $n$-ти, степен с рационален показател и графики на степенни функции ($y=\sqrt{x}$, $y=x^3$)

1. За кои стойности на $x \in \mathbb{R}$ е дефиниран изразът:
   $$B = \left(x^2 – 6x + 8\right)^{\frac{1}{4}}$$
2. Пресметнете стойността на числовия израз:
   $$C = \sqrt[3]{9 + 4\sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{9 – 4\sqrt{5}}$$
3. Намерете пресечните точки на графиката на функцията $y = x^3$ с правата $y = 9x$.
4. Подредете по големина във възходящ ред числата:
   $$a = \sqrt[3]{4}, \quad b = \sqrt{3}, \quad c = \sqrt[6]{15}$$
5. Пресметнете стойността на израза:
   $$D = 27^{\frac{2}{3}} – 16^{\frac{3}{4}} + 81^{\frac{1}{4}}$$
6. Намерете най-малката и най-голямата стойност на функцията $f(x) = x^3 – 3x$ в затворения интервал $x \in [0; 2]$.

3. Показателна функция, показателни уравнения и неравенства

1. Намерете реалните корени на уравнението:
   $$2^{x^2 – 5x + 6} = 1$$
2. Множеството от решенията на неравенството $\left(\frac{1}{3}\right)^{2x – 1} \le 9$ е:
   а) $(-\infty; -0{,}5]$
   б) $[-0{,}5; +\infty)$
   в) $(-\infty; 1{,}5]$
   г) $[1{,}5; +\infty)$
3. Решете показателното уравнение чрез изнасяне на общ множител:
   $$2^{x+3} – 2^x = 56$$
4. Решете показателното уравнение чрез полагане:
   $$9^x – 4 \cdot 3^x + 3 = 0$$
5. Решете показателното неравенство:
   $$\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2 – 4} > \left(\frac{5}{2}\right)^{x – 2}$$
6. Намерете сумата от корените на показателното уравнение:
   $$4^x – 9 \cdot 2^x + 8 = 0$$

4. Логаритъм: свойства, преобразувания, логаритмична функция и смяна на основата

1. Намерете допустимите стойности (ДС) на израза:
   $$B = \log_3 (x^2 – 7x + 10)$$
2. Решете логаритмичното уравнение:
   $$\log_4 (3x + 1) = 2$$
3. Решете логаритмичното уравнение чрез полагане:
   $$\lg^2 x – 4\lg x + 3 = 0$$
4. Решете логаритмичното неравенство при основа $a > 1$:
   $$\log_3 (2x – 1) \le 2$$
5. Решете логаритмичното неравенство при основа $0 < a < 1$:
   $$\log_{\frac{1}{2}} (x – 3) > -3$$
6. Пресметнете стойността на израза:
   $$E = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 8$$

5. Логаритмични уравнения/неравенства и анализ на графики

1. Решете логаритмичното уравнение:
   $$\log_2 (x^2 – 3x) = 2$$
2. Решете неравенството:
   $$\log_3 (2x – 5) < 2$$
3. Намерете пресечните точки на графиката на функцията $f(x) = \log_2 (x – 3) + 1$ с координатните оси (ако съществуват).
4. Намерете интервалите на монотонност и определете за кои стойности на $x$ графиката на функцията $g(x) = \log_{\frac{1}{2}} (x + 1)$ се намира над правата $y = -2$.
5. Решете логаритмичното неравенство при основа $0 < a < 1$:
   $$\log_{\frac{1}{5}} (3x – 1) \ge -1$$
6. Решете логаритмичното неравенство с променлива основа:
   $$\log_x (x^2 – 2x) \le 1$$

.

Отговори:

1. Аритметична и геометрична прогресия: $n$-ти член, сума и свойства

1. $a_5 = 5$
2. $b_4 \cdot b_6 = 36$
3. $18$
4. $n = 9$
5. $S_6 = 189$
6. $q = 2, b_1 = \frac{10}{3}$ или $q = -2, b_1 = -10$

2. Корен $n$-ти, степен с рационален показател и графики на степенни функции

1. $x \in (-\infty; 2] \cup [4; +\infty)$
2. $C = 1$
3. $(0, 0)$, $(3, 27)$ и $(-3, -27)$
4. $c < a < b$ ($\sqrt[6]{15} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$)
5. $D = 4$
6. $\text{НМС} = -2$ (при $x = 1$); $\text{НГС} = 2$ (при $x = 2$)

3. Показателна функция, показателни уравнения и неравенства

1. $x_1 = 2, \quad x_2 = 3$
2. б) $[-0{,}5; +\infty)$
3. $x = 3$
4. $x_1 = 0, \quad x_2 = 1$
5. $x \in (-3; 2)$
6. Сумата от корените е $3$

4. Логаритъм: свойства, преобразувания, логаритмична функция и смяна на основата

1. $x \in (-\infty; 2) \cup (5; +\infty)$
2. $x = 5$
3. $x_1 = 10, \quad x_2 = 1000$
4. $x \in (0.5; 5]$ (или $\left(\frac{1}{2}; 5\right]$)
5. $x \in (3; 11)$
6. $E = 3$

5. Логаритмични уравнения/неравенства и анализ на графики

1. $x_1 = 4, \quad x_2 = -1$
2. $x \in (2.5; 7)$ (или $\left(\frac{5}{2}; 7\right)$)
3. С оста $Ox$: $(3.5, 0)$; С оста $Oy$: няма пресечна точка
4. Монотонност: строго намаляваща за $x \in (-1; +\infty)$; Графиката е над $y = -2$ за $x \in (-1; 3)$
5. $x \in \left(\frac{1}{3}; 2\right]$
6. $x \in (2; 3]$