12.6. Показателна и логаритмична функция

1. Показателна функция, показателни уравнения и неравенства

А. Показателна функция: $y = a^x$ ($a > 0, a \ne 1$)

• Дефиниционна област (ДС): $D = (-\infty, +\infty)$ — $x$ може да бъде какво да е реално число.
• Множество от стойности: $E = (0, +\infty)$ — функцията приема само строго положителни стойности ($a^x > 0$ за всяко $x$).
• Монотонност (Ключово за неравенства!):
  • При $a > 1$: Функция е строго растяща. По-голям аргумент дава по-голяма стойност.
  • При $0 < a < 1$: Функция е строго намаляваща. По-голям аргумент дава по-малка стойност.
• Специфична точка: Графиката винаги минава през точката $(0, 1)$, тъй като $a^0 = 1$.

Б. Показателни уравнения

1. Елементарно показателно уравнение: $a^{f(x)} = a^{g(x)}$
   • Поради строгата монотонност: $f(x) = g(x)$.
2. Уравнения от вида $a^{f(x)} = b$ ($b > 0$):
   • Ако $b \le 0$ $\implies$ няма реални корени (тъй като $a^{f(x)} > 0$).
   • Ако $b > 0$ $\implies f(x) = \log_a b$.
3. Чрез свеждане до квадратно уравнение (полагане):
   • При изрази от вида $A \cdot a^{2x} + B \cdot a^x + C = 0$.
   • Полагаме $a^x = t$ при задължително условие $t > 0$.
4. Хомогенни показателни уравнения:
   • $A \cdot a^{2x} + B \cdot (ab)^x + C \cdot b^{2x} = 0$.
   • Разделяме двете страни на $b^{2x} \ne 0$ и получаваме квадратно уравнение спрямо $\left(\frac{a}{b}\right)^x$.

В. Показателни неравенства

• При $a > 1$ (запазваме знака):
  $$a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$$
• При $0 < a < 1$ (обръщаме знака!):
  $$a^{f(x)} > a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$$

2. Логаритъм: Дефиниция, свойства и смяна на основата

А. Дефиниция на логаритъм

• Основно логаритмично тъждество: $a^{\log_a b} = b$
• Специални означения:
  • Десетичен логаритъм ($a = 10$): $\lg b = \log_{10} b$
  • Естествен логаритъм ($a = e \approx 2,718$): $\ln b = \log_e b$

Б. Основни свойства на логаритмите ($x > 0, y > 0, a > 0, a \ne 1$)

1. $\log_a 1 = 0$ и $\log_a a = 1$
2. Логаритъм от произведение: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
3. Логаритъм от частно: $\log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x – \log_a y$
4. Степенен показател пред логаритъма: $\log_a (x^k) = k \cdot \log_a x$
5. Степенен показател в основата: $\log_{a^k} x = \frac{1}{k} \cdot \log_a x$

В. Формули за смяна на основата

• Преминаване към нова основа $c$:
  $$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$
• Размяна на аргумента и основата:
  $$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$
• Верижно правило: $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$

3. Логаритмична функция, логаритмични уравнения и неравенства

А. Логаритмична функция: $y = \log_a x$ ($a > 0, a \ne 1$)

• Дефиниционна област (ДС): $D = (0, +\infty)$ — логаритъм съществува само за положителни аргументи!
• Множество от стойности: $E = (-\infty, +\infty)$.
• Монотонност:
  • При $a > 1$: строго растяща функция.
  • При $0 < a < 1$: строго намаляваща функция.

Б. Логаритмични уравнения

1. Елементарно уравнение: $\log_a f(x) = \log_a g(x)$
   • ДС: $f(x) > 0, g(x) > 0$.
   • Решение: $f(x) = g(x)$.
2. Уравнение от вида $\log_a f(x) = b$:
   • ДС: $f(x) > 0$.
   • Решение: $f(x) = a^b$.
3. Чрез полагане:
   • Уравнения от вида $A \log_a^2 x + B \log_a x + C = 0$.
   • Полагаме $\log_a x = t$ (тук за $t$ няма ограничение за знак, $t \in \mathbb{R}$).

В. Логаритмични неравенства

• При $a > 1$ (запазваме знака):
  $$\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) > g(x) \\ g(x) > 0 \text{ (ДС)} \end{cases}$$
• При $0 < a < 1$ (обръщаме знака!):
  $$\log_a f(x) > \log_a g(x) \iff \begin{cases} f(x) < g(x) \\ f(x) > 0 \text{ (ДС)} \end{cases}$$

Ключови съвети за изпита

1. Винаги започвайте с ДС!
   • При логаритми: аргументът $> 0$, основата $> 0$ и $\ne 1$.
   • Всички намерени корени задължително се проверяват за съвместимост с ДС.
2. Внимавайте при изнасяне на четна степен:
   • $\log_a (x^2) = 2 \log_a \vert{}x\vert{}$ (заборавянето на модула губи отрицателния клон на ДС).
3. Разграничавайте $\log_a^2 x$ и $\log_a (x^2)$:
   • $\log_a^2 x = (\log_a x)^2$ (квадрат на целия логаритъм).
   • $\log_a (x^2) = 2 \log_a \vert{}x\vert{}$ (степен само на аргумента).