11.4 Ирационални уравнения.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1. Основни принципи и ирационални уравнения с един радикал

Два основни подхода:

1. Подход с проверка (Метод на следствието):
   • Повдигат се двете страни на квадрат: $f(x) = [g(x)]^2$.
   • Намират се корените на полученото алгебрично уравнение.
   • Задължителна стъпка: Всеки намерен корен се замества в първоначалното уравнение, за да се отстранят т.нар. „чужди корени“ (възникнали от факта, че квадратът премахва отрицателните знаци).
2. Подход с равносилни системи (Задължителна рамка за задачи с параметър):
   • Равенството $\sqrt{f(x)} = g(x)$ е възможно тогава и само тогава, когато дясната страна е неотрицателна.
     $$\sqrt{f(x)} = g(x) \iff \begin{cases} g(x) \ge 0 \quad \text{(ограничение за дясната страна)} \\ f(x) = [g(x)]^2 \end{cases}$$
     (Условието за ДС: $f(x) \ge 0$ се изпълнява автоматически, тъй като $f(x)$ е равно на квадрат, $[g(x)]^2 \ge 0$).

2. Ирационални уравнения с два и повече радикала

А. Уравнения от вида $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$

• Еквивалентна система:
  $$\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)} \iff \begin{cases} f(x) \ge 0 \quad (\text{или } g(x) \ge 0) \\ f(x) = g(x) \end{cases}$$

Б. Уравнения от вида $\sqrt{f(x)} \pm \sqrt{g(x)} = h(x)$

1. Определяне на ДС: Решава се системата $\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ g(x) \ge 0 \end{cases}$.
2. Изолиране на корен: Уравнението се преобразува във вида $\sqrt{f(x)} = h(x) \mp \sqrt{g(x)}$, така че от двете страни да се избегнат отрицателни събираеми (ако е възможно).
3. Първо повдигане на квадрат: Премахва се единият корен, но се появява смесено произведение $2\sqrt{f(x)g(x)}$.
4. Повторно изолиране и повдигане: Останалият корен се прехвърля от едната страна, а всички останали членове от другата, след което отново се повдига на квадрат.

В. Специален клас: Уравнения с вложени радикали $\sqrt{x + a \pm b\sqrt{x + c}}$

• Изразът под външния корен се преобразува до пълен квадрат:
  $$x + 3 – 4\sqrt{x – 1} = (x – 1) – 4\sqrt{x – 1} + 4 = (\sqrt{x – 1} – 2)^2$$
• Използва се идентичността $\sqrt{A^2} = \vert{}A\vert{}$:
  $$\sqrt{(\sqrt{x – 1} – 2)^2} = \vert{}\sqrt{x – 1} – 2\vert{}$$
• Уравнението се свежда до уравнение с модули.

3. Специални методи за решаване (без двукратно повдигане)

1. Метод на полагането (Смяна на променливата):
   • При изрази от вида $x^2 – 3x + \sqrt{x^2 – 3x + 5} = 7$, се полага $t = \sqrt{x^2 – 3x + 5} \ge 0$.
   • Така $x^2 – 3x = t^2 – 5$ и уравнението се свежда до квадратно спрямо $t$.
2. Използване на монотонност на функциите:
   • Ако лявата страна $L(x)$ е строго нарастваща функция, а дясната страна $R(x)$ е строго намаляваща (или константа), то уравнението $L(x) = R(x)$ може да има най-много един реален корен, който често се намира чрез налучкване и доказателство за единственост.

4. Ирационални уравнения с параметър (Ниво УАСГ / СУ)

Основни техники:

1. Аналитичен метод (Равносилни системи):
   За уравнение от вида $\sqrt{f(x)} = x – a$:
   $$\begin{cases} x – a \ge 0 \implies x \ge a \quad \text{(ограничение за корените)} \\ f(x) = (x – a)^2 \end{cases}$$
   Търсят се стойностите на $a$, за които квадратното уравнение спрямо $x$ има корени, удовлетворяващи условието $x \ge a$ (използват се Теоремите за разположение на корените / Метод на Аоки).
2. Графичен метод (Функционален / Геометричен подход):
   • Уравнението се представя във вида $g(x) = a$ или се разглеждат двете функции $y_1 = \sqrt{f(x)}$ и $y_2 = x – a$.
   • Пример за полуокръжност: Уравнението $\sqrt{R^2 – x^2} = x – a$ геометрично представлява пресичане на горната половина на окръжност $x^2 + y^2 = R^2$ ($y \ge 0$) с правата $y = x – a$.
   • Броят на решенията съответства на броя пресечни точки при преместване на правата спрямо полуокръжността (допиране, пресичане през крайните точки $(-R, 0)$ и $(R, 0)$).
3. Задачи с параметър под формата на произведение $(f(x))\sqrt{g(x)} = 0$:
   Уравнение от вида $(x^2 – 5x + 6)\sqrt{x – a} = 0$:
   • ДС: $x \ge a$.
   • Корени са $x = a$ (от корена) и тези корени на $x^2 – 5x + 6 = 0$ ($x_1 = 2, x_2 = 3$), за които $x_i \ge a$.
   • Анализират се критичните стойности за $a$ ($a = 2, a = 3$), при които корените съвпадат или отпадат поради ДС.