11.4 Системи и уравнения от по-висока степен

Системи уравнения от втора степен с две неизвестни.

Уравнения от по-висока степен, свеждащи се до квадратни чрез полагане.

№	Вариант А (Основно ниво)	Вариант Б (Средно ниво / ТУ – Тест I модул)
1	Намерете корените на биквадратното уравнение $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .	(ТУ, 2019) Сумата от корените на уравнението $x^4 - 13x^2 + 36 = 0$ е равна на:
2	Чрез полагане $x^2 - 2x = t$ намерете корените на уравнението $(x^2 - 2x)^2 - (x^2 - 2x) - 6 = 0$ .	(ТУ, 2020) Корените на уравнението $(x^2 - 3x)^2 - 2(x^2 - 3x) - 8 = 0$ са:
3	Намерете реалните корени на уравнението $(x^2 - 9)\sqrt{x - 1} = 0$ , като първо определите ДС.	(УАСГ, 2019) Броят на решенията на уравнението $(x^2 - 4)\sqrt{1 - x} = 0$ е:
4	Определете ДС и намерете корените на уравнението $(2x^2 - 5x + 2)\sqrt{3 - x} = 0$ .	(УАСГ, 2013) Решете уравнението $(4x^2 - 7x - 2)\sqrt{1 - x} = 0$ .
5	Намерете броя на реалните корени на уравнението $(x^2 - 4)\sqrt{x - 1{,}5} = 0$ .	(СУ, 2022) Броят на реалните корени на уравнението $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{x - 2{,}5} = 0$ е:
6	Намерете корените на показателното уравнение $2^{2x} - 3 \cdot 2^x + 2 = 0$ .	(УАСГ, 2014) Намерете стойността на израза $x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2$ , ако $x_1$ и $x_2$ са корените на уравнението $2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$ .
7	По формулите на Виет за кубично уравнение намерете произведението на корените на $x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0$ .	(СУ, 2020) Произведението от корените на уравнението $x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0$ е равно на:
8	Решете симетричната система уравнения: $\begin{cases} x + y = 3 \\ xy = 2 \end{cases}$	(ТУ, 2022) Намерете решенията на системата: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x + y = 4 \end{cases}$
9	Решете системата уравнения: $\begin{cases} x + y = 4 \\ x^2 - xy + y^2 = 4 \end{cases}$	(ТУ, 2021) Решенията на системата уравнения $\begin{cases} x + y = 5 \\ x^2 - xy + y^2 = 7 \end{cases}$ са:
10	За кои стойности на параметъра $a$ системата $\begin{cases} x + y = a \\ xy = a - 2 \end{cases}$ има единствено решение?	(СУ, 2021) За кои стойности на реалния параметър $a$ системата $\begin{cases} x + y = a \\ xy = a - 1 \end{cases}$ има единствено решение?
11	Намерете целите решения на строго неравенство от вида $(x^2 - 1)(x - 3) < 0$ .	(УАСГ, 2024) Броят на целите числа, които са решения на неравенството $(x^2 - 4)(x - 2)(x - 5) < 0$ , е:
12	Намерете пресечната точка на графиката на $f(x) = x^3 - a$ и $g(x) = x^3 + ax - 2$ .	(УАСГ, 2015) Графиките на $f(x) = x^3 + x - a$ и $g(x) = x^3 + ax^2 - x$ имат единствена пресечна точка $M(x_0, y_0)$ със строго положителни координати. Координатите на $M$ са:
13	Намерете реалните корени на симетричното уравнение $x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 3x + 1 = 0$ .	Чрез разделяне на $x^2$ и полагане $x + \frac{1}{x} = t$ , намерете корените на уравнението $x^4 - 4x^3 + 5x^2 - 4x + 1 = 0$ .
14	Решете хомогенната система уравнения: $\begin{cases} x^2 - xy = 0 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$	Чрез унищожаване на свободния член решете хомогенната система: $\begin{cases} x^2 - xy = 2 \\ 2x^2 + y^2 = 9 \end{cases}$
15	Намерете целите решения на неравенството $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) \le 0$ .	Чрез групиране и полагане $x^2 - 5x = t$ , решете уравнението $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) = 120$ .

Ниво II

№	Вариант Б (Средно ниво / Тест I модул)	Вариант В (Разширено ниво / Тест II модул)
1	(ТУ, 2021) Намерете реалните корени на уравнението: $(x^2 - x - 2)^2 - 2(x^2 - x - 2) - 3 = 0$	Чрез полагане $x^2 - 3x = t$ решете параметричното уравнение: $(x^2 - 3x + 1)^2 - 3(x^2 - 3x + 1) + a = 0$
2	Намерете стойностите на параметъра $a$ , за които биквадратното уравнение $x^4 - 5x^2 + a = 0$ има 4 различни реални корена.	(СУ, 2023) Намерете всички стойности на параметъра $a$ , за които уравнението: $x^4 - 2ax^2 + a^2 - a - 2 = 0$ има точно три различни реални корена.
3	Намерете за кои стойности на параметъра $a$ биквадратното уравнение $x^4 - (a+3)x^2 + 3a = 0$ има 4 реални корена.	(СУ, 2020) Намерете за кои стойности на параметъра $a$ уравнението $x^4 - (a + 2)x^2 + a + 1 = 0$ има четири различни реални корена, които образуват аритметична прогресия.
4	За кои стойности на $a$ биквадратното уравнение $(a-2)x^4 - 2ax^2 + a - 1 = 0$ има точно две реални решения?	(УАСГ, 2025) Дадена е функцията $f(x) = (a - 1)x^4 - 2(a + 1)x^2 + a - 3$ . а) Намерете $a$ , така че $f(x) = 0$ да има точно две решения. б) За кои $a$ неравенството $f(x) > 0$ няма решение?
5	Определете ДС и намерете броя на реалните корени на уравнението $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x - 2} = 0$ .	(ТУ, 2023) Намерете сите стойности на параметъра $a$ , за които уравнението: $(x^2 - 4x + 3)\sqrt{x - a} = 0$ има точно два различни реални корена.
6	Намерете реалните корени на ирационалното уравнение $(x^2 - 5x + 6)\sqrt{3 - x} = 0$ .	(ТУ, 2022) Намерете броя на реалните корени на уравнението $(x^2 - 2x - 3)\sqrt{2 - x} = 0$ в зависимост от стойностите на реалния параметър $a$ , ако е известно, че $x \ge a$ .
7	За кои стойности на $k > 4$ уравнението $(kx^2 - 5x - 1)\sqrt{2 - x} = 0$ има три реални различни решения?	(УАСГ, 2013) Докажете, че ако $k > 9$ , то уравнението $(kx^2 - 7x - 2)\sqrt{1 - x} = 0$ има три реални различни решения $x_1 < x_2 < x_3$ . Пресметнете най-малката стойност на израза $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 4x_1x_2x_3$ .
8	(ТУ, 2020) Дадена е системата $\begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ x + y = 2 \end{cases}$ . Намерете за кои стойности на параметъра $a$ системата има единствено решение и намерете това решение.	(УАСГ, 2018) Намерете за кои стойности на реалния параметър $a$ системата $\begin{cases} x^2 + y^2 = 2(1 + a) \\ (x + y)^2 = 14 \end{cases}$ има точно две различни решения $(x, y)$ .
9	Решете симетричната система уравнения: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$	(СУ, 2022) Намерете броя на реалните решения на системата: $\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 3 \\ x + y + xy = 3 \end{cases}$
10	Полагайки $u = x + y$ и $v = xy$ , решете системата: $\begin{cases} x + y + xy = 7 \\ x^2 y + x y^2 = 12 \end{cases}$	(УАСГ, 2017) Решете системата: $\begin{cases} x^2y + xy^2 = 30 \\ x + y + xy = 11 \end{cases}$
11	Чрез разлагане по формулите за съкратено умножение решете системата: $\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x + y = 5 \end{cases}$	(СУ, 2021) Решете системата: $\begin{cases} x^3 + y^3 = 9 \\ x^2y + xy^2 = 6 \end{cases}$
12	Чрез полагане $t = \sqrt{xy}$ решете ирационалната система: $\begin{cases} x + y = 5 \\ \sqrt{xy} = 2 \end{cases}$	(СУ, 2019) Решете системата уравнения: $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 19 \\ x - \sqrt{xy} + y = 3 \end{cases}$
13	Решете хомогенната система уравнения: $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases}$	Намерете решенията на хомогенната система от втора степен: $\begin{cases} 2x^2 - xy - y^2 = 0 \\ x^2 + 2xy - y^2 = 2 \end{cases}$
14	Решете симетричното уравнение от 4-та степен: $x^4 - 5x^3 + 6x^2 - 5x + 1 = 0$	Чрез разделяне на $x^2$ и полагане $x - \frac{2}{x} = t$ , решете обобщеното симетрично уравнение $x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4 = 0$ .
15	Чрез групиране по двойки и полагане решете уравнението: $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 24$	Намерете за кои стойности на параметъра $a$ уравнението $(x-1)(x-3)(x+2)(x+4) = a$ има четири реални корена.

1. Уравнения от по-висока степен, свеждащи се до квадратни

Основният подход при уравнения от степен

n \ge 3

е намаляването на степента чрез подходящо заместване (полагане) или разлагане на множители.

А. Биквадратни уравнения

Уравнения от вида

ax^4 + bx^2 + c = 0

(

a \neq 0

Метод: Полага се $x^2 = t$ при задължително ограничение $t \ge 0$ .
Получава се квадратно уравнение $at^2 + bt + c = 0$ .
Всяко неотрицателно решение $t_i \ge 0$ дава два корена за $x$ : $x = \pm\sqrt{t_i}$ .

Б. Симетрични (реципрочни) уравнения

Уравнения, чиито коефициенти са симетрични спрямо средата, например 4-та степен:

ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 \quad (a \neq 0)

Метод:
1. Тъй като $x = 0$ не е корен, разделяме двете страни на $x^2$ :
  
  $a\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + b\left(x + \frac{1}{x}\right) + c = 0$
2. Полагаме $x + \frac{1}{x} = t$ (при което $\vert{}t\vert{} \ge 2$ ).
3. Изразяваме $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$ .
4. Уравнението се свежда до квадратно спрямо $t$ : $a(t^2 - 2) + bt + c = 0$ .

В. Обобщени симетрични уравнения

Уравнения от вида

ax^4 + bx^3 + cx^2 + kbx + k^2 a = 0

Разделя се на $x^2$ и се полага $x + \frac{k}{x} = t \implies x^2 + \frac{k^2}{x^2} = t^2 - 2k$ .

Г. Уравнения от вида $(x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = E$

Когато

a + d = b + c = k

Групират се първият с четвъртия и вторият с третия множител:

$[(x+a)(x+d)] \cdot [(x+b)(x+c)] = E \iff (x^2 + kx + ad)(x^2 + kx + bc) = E$
Полага се $x^2 + kx = t$ .

2. Системи уравнения от втора степен с две неизвестни

Система от вида

\begin{cases} f(x, y) = 0 \\ g(x, y) = 0 \end{cases}

, където поне едното уравнение е от степен 2.

А. Система от едно линейно и едно квадратно уравнение

\begin{cases} ax + by + c = 0 \\ A x^2 + B xy + C y^2 + Dx + Ey + F = 0 \end{cases}

Метод: Метод на заместването. Изразяваме едната променлива от линейното уравнение (напр. $x = \frac{-by - c}{a}$ ) и заместваме в квадратното. Получава се квадратно уравнение за една променлива.

Б. Симетрични системи с две неизвестни

Системи, съдържащи симетрични уравнения (не променят вида си при размяна на

x

y

Основно полагане (по Виет):

$\begin{cases} x + y = u \\ x \cdot y = v \end{cases}$
Канонични изрази:
- $x^2 + y^2 = u^2 - 2v$
- $x^3 + y^3 = u(u^2 - 3v)$
- $x^4 + y^4 = (u^2 - 2v)^2 - 2v^2$
- $x^2 - xy + y^2 = u^2 - 3v$
След намиране на $u$ и $v$ : Двойките $(x, y)$ са корени на квадратното уравнение $t^2 - ut + v = 0$ .

В. Хомогенни системи

Системи от вида:

\begin{cases} a_1 x^2 + b_1 xy + c_1 y^2 = d_1 \\ a_2 x^2 + b_2 xy + c_2 y^2 = d_2 \end{cases}

Метод:
1. Чрез алгебрично комбинация (умножение на уравненията с подходящи числа и изваждане) се унищожават свободните членове, за да се получи хомогенно уравнение:
  
  $A x^2 + B xy + C y^2 = 0$
2. Разглеждаме случая $y = 0$ (дали е решение). Ако $y \neq 0$ , разделяме цялото уравнение на $y^2$ :
  
  $A \left(\frac{x}{y}\right)^2 + B \left(\frac{x}{y}\right) + C = 0$
3. Полагаме $k = \frac{x}{y} \implies x = ky$ и заместваме обратно в някое от първоначалните уравнения.

3. Изпитни акценти

Допустими стойности и изгубени корени: При деление на $x$ , $x^2$ или $y$ винаги първо се проверява дали разделящата стойност не е корен (напр. случаят $x = 0$ или $y = 0$ ).
Проверка за ограничения при полагане: При полагания от рода на $t = x^2$ задължително $t \ge 0$ . При $t = x + \frac{1}{x}$ за реални $x \neq 0$ важи $\vert{}t\vert{} \ge 2$ .
Подреждане на отговорите: На изпита двойките решения за системи се записват строго подредени като наредени двойки $(x_i, y_i)$ .