12.1 Рационални, ирационални изрази и квадратни уравнения

Преобразуване на изрази, допустими стойности (ДС / ДМ) и свойства на квадратните корени.

Квадратни уравнения, Формули на Виет и пресмятане на симетрични изрази.

№	Вариант А (Основно ниво)	Вариант Б (Средно / Тест І модул)
1	Намерете допустимите стойности (ДМ) на израза: $A = \frac{2x - 1}{x^2 - 9}$	Намерете допустимите стойности (ДМ) на израза: $B = \sqrt{\frac{x - 2}{5 - x}}$
2	Пресметнете стойността на израза: $A = \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} + \sqrt{3}$	Пресметнете стойността на израза: $B = \sqrt{(1-\sqrt{5})^2} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$
3	Внесете множителя под корена: $A = 3\sqrt{2}$	Внесете множителя под корена при $a < 0$ : $B = a\sqrt{-3a}$
4	Изнесете множител пред корена: $A = \sqrt{72}$	Изнесете множител пред корена при $x < 0$ : $B = \sqrt{50x^2}$
5	Рационализирайте знаменателя на дробта: $A = \frac{6}{\sqrt{3}}$	Рационализирайте знаменателя на дробта: $B = \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$
6	Опростете израза: $A = \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}\right) \cdot \frac{x^2-1}{2}$	Опростете израза: $B = \left(\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b}\right) : \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$
7	Намерете корените на квадратното уравнение: $x^2 - 7x + 12 = 0$	Намерете корените на квадратното уравнение: $(2x - 1)^2 - 3(x + 1) = 1$
8	Решете непълното квадратно уравнение: $3x^2 - 12x = 0$	Решете непълното квадратно уравнение: $2(x - 3)^2 = 18$
9	Разложете на множители квадратния тричлен: $x^2 - 5x - 14$	Разложете на множители квадратния тричлен: $3x^2 - 5x - 2$
10	За уравнението $x^2 - 8x + 5 = 0$ намерете $x_1 + x_2$ и $x_1 \cdot x_2$ .	За уравнението $2x^2 + 7x - 3 = 0$ намерете $x_1 + x_2$ и $x_1 \cdot x_2$ .
11	Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на $x^2 - 6x + 2 = 0$ , пресметнете: $x_1^2 + x_2^2$	Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на $3x^2 - 4x - 1 = 0$ , пресметнете: $x_1^2 + x_2^2$
12	Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на $x^2 - 5x + 3 = 0$ , пресметнете: $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$	Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на $2x^2 - 6x + 1 = 0$ , пресметнете: $\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$
13	Съставете квадратно уравнение с корени $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$ .	Съставете квадратно уравнение с корени $x_1 = 2 + \sqrt{3}$ и $x_2 = 2 - \sqrt{3}$ .
14	Намерете стойността на параметъра $k$ , за която един от корените на $x^2 - kx + 12 = 0$ е равен на 3.	Намерете стойността на параметъра $a$ , за която корените на $x^2 - (a+2)x + a + 5 = 0$ са противоположни числа.
15	За кои стойности на параметъра $m$ уравнението $x^2 - 4x + m = 0$ има два различни реални корена?	За кои стойности на параметъра $k$ уравнението $kx^2 - 6x + 9 = 0$ има единствен двоен корен?

№	Вариант Б (Средно / I модул)	Вариант В (Разширено /II модул)
1	Намерете допустимите стойности на израза: $B = \sqrt{\frac{x - 2}{5 - x}}$	(ТУ, 2008) Намерете допустимите стойности на израза: $A = \frac{\sqrt{2x - 6}}{x^2 - 9}$
2	(ТУ, 2019) Опростете ирационалния израз за $x \ge 0$ : $A(x) = \sqrt{x + 4 + 4\sqrt{x}} - \sqrt{x}$	Опростете израза при $0 < x < 1$ : $B(x) = \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}$
3	Пресметнете стойността на израза: $B = \sqrt{(1-\sqrt{5})^2} - \sqrt{6 - 2\sqrt{5}}$	Пресметнете стойността на израза: $V = \frac{\sqrt{7+\sqrt{48}} + \sqrt{7-\sqrt{48}}}{\sqrt{3}}$
4	Внесете множителя под корена при $a < 0$ : $B = a\sqrt{-3a}$	Опростете и пресметнете при $a < -2$ : $V = (a+2)\sqrt{\frac{1}{a^2 + 4a + 4}}$
5	Изнесете множител пред корена при $x < 0$ : $B = \sqrt{50x^2}$	Опростете израза за $x < 0$ : $V = \sqrt{18x^4 - 12x^3}$
6	Рационализирайте знаменателя на дробта: $B = \frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$	Рационализирайте знаменателя на дробта: $V = \frac{2}{\sqrt{5} + \sqrt{3} - \sqrt{2}}$
7	Опростете израза: $B = \left(\frac{a}{a-b} - \frac{b}{a+b}\right) : \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$	Опростете рационалния израз: $V = \left(\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x^2-4}\right) : \frac{x^2+4x}{x^2-4x+4}$
8	Намерете корените на квадратното уравнение: $(2x - 1)^2 - 3(x + 1) = 1$	Решете уравнението спрямо $x$ : $\frac{2x+1}{x-1} - \frac{x-1}{x+1} = \frac{5x+1}{x^2-1}$
9	Разложете на множители квадратния тричлен: $3x^2 - 5x - 2$	Сократете дробта: $V = \frac{2x^2 - 7x + 3}{x^3 - 27}$
10	(ТУ, 2012) Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2 - 5x + 3 = 0$ , намерете стойността на израза: $N = x_1^2 + x_2^2$	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $3x^2 - 4x - 1 = 0$ намерете стойността на израза: $V = x_1^2 + x_2^2$
11	(ТУ, 2016) Дадено е квадратното уравнение $x^2 - 4x - 2 = 0$ с корени $x_1$ и $x_2$ . Пресметнете стойността на симетричния израз: $A = \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$	Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на $2x^2 - 6x + 1 = 0$ , пресметнете стойността на израза: $V = \frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2}$
12	За корените $x_1$ и $x_2$ на $x^2 - 4x + 1 = 0$ намерете: $B = x_1^3 + x_2^3$	(УАСГ, 2011) За корените $x_1$ и $x_2$ на квадратното уравнение $2x^2 - 6x + 1 = 0$ пресметнете стойността на израза: $A = x_1^3 + x_2^3$
13	За корените $x_1$ и $x_2$ на $x^2 - 5x - 2 = 0$ намерете: $B = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$	(УАСГ, 2015) Без да решавате уравнението $x^2 - 3x - 5 = 0$ , намерете стойността на израза: $A = \frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1}$
14	Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на $x^2 - 7x + 9 = 0$ , намерете $\vert{}x_1 - x_2\vert{}$ .	Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на $2x^2 - 5x - 1 = 0$ , пресметнете $\vert{}x_1 - x_2\vert{}$ .
15	Намерете стойността на израза $B = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ за корените на уравнението $x^2 - 10x + 16 = 0$ .	За корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - 6x + 4 = 0$ намерете стойността на израза: $V = \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}$ .
16	Съставете квадратно уравнение с корени $y_1 = 2x_1$ и $y_2 = 2x_2$ , където $x_1, x_2$ са корени на $x^2 - 3x + 1 = 0$ .	Съставете квадратно уравнение с корени $y_1 = x_1^2$ и $y_2 = x_2^2$ , където $x_1, x_2$ са корени на $x^2 - 4x + 2 = 0$ .
17	(УАСГ, 2018) Намерете за кои стойности на реалния параметър $k$ корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - (k+1)x + k + 4 = 0$ удовлетворяват равенството: $x_1^2 + x_2^2 = 13$	За кои стойности на параметъра $a$ сумата от квадратите на корените на уравнението $x^2 - (a-2)x - a - 3 = 0$ е най-малка?
18	Намерете стойността на параметъра $m$ , за която корените на $x^2 - (m+2)x + 3m = 0$ удовлетворяват $x_1 + x_2 = x_1 x_2$ .	Намерете стойностите на параметъра $k$ , за които корените на уравнението $x^2 - 2kx + k^2 - 4 = 0$ са с различни знаци.
19	За кои стойности на параметъра $a$ уравнението $ax^2 - 4x + 2 = 0$ има единствен двоен реален корен?	За кои стойности на параметъра $a$ уравнението $(a-1)x^2 - 2ax + a + 3 = 0$ има точно един реален корен?
20	За кои стойности на параметъра $m$ уравнението $x^2 - 2(m+1)x + m^2 + 5 = 0$ има два различни реални корена?	За кои стойности на параметъра $k$ уравнението $kx^2 - (2k+1)x + k + 1 = 0$ има два различни положителни корена?

© София-Мат ЕООД

…

Ирационални изрази и квадратни корени

Квадратен корен от неотрицателно число

a \ge 0

се нарича такова неотрицателно число

x \ge 0

, за което

x^2 = a

. Означава се с

\sqrt{a}

Основни свойства:
1. $\sqrt{a^2} = \vert{}a\vert{} = \begin{cases} a, & \text{ако } a \ge 0 \\ -a, & \text{ако } a < 0 \end{cases}$
2. $(\sqrt{a})^2 = a$ при $a \ge 0$
3. $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ при $a \ge 0, b \ge 0$
4. $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ при $a \ge 0, b > 0$
5. $a \sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}$ при $a \ge 0$ (Внасяне под корен). Ако $a < 0$ , то $a \sqrt{b} = -\sqrt{a^2 b}$ .
Рационализиране на знаменател:
- За знаменател от вида $\sqrt{a}$ : множи се числителят и знаменателят по $\sqrt{a}$ .
- За знаменател от вида $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$ : използва се формулата за съкратено умножение $(u-v)(u+v) = u^2 - v^2$ , като се умножава със спрегнатия израз $(\sqrt{a} \mp \sqrt{b})$ .

Определителна област / Допустими стойности (ДМ / ОД)

При работа с алгебрични изрази стриктно следим за следните ограничения:

Деление на нула: За фракия $\frac{A}{B} \implies B \neq 0$ .
Четен корен: За корен $\sqrt{A} \implies A \ge 0$ .
Четен корен в знаменател: За $\frac{1}{\sqrt{A}} \implies A > 0$ .

2. Квадратни уравнения

Стандартна форма:

a x^2 + b x + c = 0

, където

a \neq 0

Дискриминанта и корени

Дискриминантата се определя с формулата:

D = b^2 - 4ac

Ако $D > 0$ : Уравнението има два различни реални корена:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
Ако $D = 0$ : Уравнението има един двоен реален корен:

$x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$
Ако $D < 0$ : Уравнението няма реални корени.

Съкратена формула (при четен коефициент $b = 2k$ ):

D_1 = k^2 - ac \implies x_{1,2} = \frac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a}

3. Формули на Виет и симетрични изрази

За квадратния тричлен

a x^2 + b x + c = 0

(

a \neq 0

) с корени

x_1

x_2

\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}

Пресмятане на симетрични изрази

Симетричен е всеки израз

f(x_1, x_2)

, чиято стойност не се променя при размяна на местата на

x_1

x_2

. Всеки такъв израз може да се изрази изцяло чрез събираемите от формулите на Виет:

S = x_1 + x_2

P = x_1 x_2

Основни преобразувания:

Сбор от квадрати:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = S^2 - 2P$
Сбор от реципрочни стойности:

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} = \frac{S}{P}$
Сбор от квадрати на реципрочни стойности:

$\frac{1}{x_1^2} + \frac{1}{x_2^2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1 x_2)^2} = \frac{S^2 - 2P}{P^2}$
Сбор от кубове:

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = S(S^2 - 3P)$
Разлика на корените (модул):

$\vert{}x_1 - x_2\vert{} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{S^2 - 4P} = \frac{\sqrt{D}}{\vert{}a\vert{}}$

4. Типични кандидатстудентски клопки

Изпускане на знака при изваждане изпод корен:

Припомнете си, че $\sqrt{(x - 3)^2} = \vert{}x - 3\vert{}$ . Ако в задачата е дадено $x < 3$ , то $\sqrt{(x - 3)^2} = -(x - 3) = 3 - x$ .
Забравяне на проверка за $D \ge 0$ при формули на Виет:

Преди да прилагате формулите на Виет за намиране на стойност на параметър или израз, винаги проверявайте дали дискриминантата е неотрицателна ( $D \ge 0$ ). В противен случай корени в реалната област не съществуват.
Загуба на корени при съкращаване:

При уравнения от вида $(x-1)(x+2) = (x-1)(3x-5)$ не съкращавайте на $(x-1)$ , а прехвърлете от едната страна и изнесете пред скоби, за да не загубите корена $x = 1$ .