| № | Вариант А (Основно ниво / НВО І модул) | Вариант Б (НВО ІІ модул) |
| 1 | Две прави се пресичат в точка $O$. Сборът на три от получените ъгли е $290^\circ$. Намерете ъглите. Докажете, че ъглополовящите на два съседни ъгъла са перпендикулярни ($\perp$). | Точка $M$ лежи на симетралата $s$ на отсечката $AB$. Права през $A$ сключва с $AB$ ъгъл $35^\circ$ и пресича $s$ в точка $K$. Ако $MA \perp KB$, намерете ъглите на $\Delta ABM$ и $\Delta AKM$. |
| 2 | Правите $a \parallel b$ са пресечени с права $c$. Един от вътрешните кръстни ъгли е $3$ пъти по-малък от своя прилежащ ъгъл. Намерете всички $8$ ъгъла. | Правите $a \parallel b$ са пресечени с $c$ в точки $A$ и $B$. Ъглополовящите на два вътрешни едностранни ъгъла се пресичат в точка $P$. Докажете, че $\angle APB = 90^\circ$ и намерете разстоянието от $P$ до $c$, ако разстоянието между $a$ и $b$ е $12\text{ cm}$. |
| 3 | В $\Delta ABC$ външният ъгъл при върха $C$ е $110^\circ$, а $\angle A$ е с $20^\circ$ по-голям от $\angle B$. Намерете вътрешните ъгли на триъгълника и ъгъла между височината $CD$ и ъглополовящата $CL$. | В $\Delta ABC$ ъглополовящите $AL$ ($L \in BC$) и $BM$ ($M \in AC$) се пресичат в точка $I$. Докажете, че $\angle AIB = 90^\circ + \frac{1}{2}\angle ACB$. Ако $\angle AIB = 125^\circ$, намерете външния ъгъл при върха $C$. |
| 4 | Върху раменете на $\angle AOB$ са нанесени равни отсечки $OA = OB$. Върху ъглополовящата $OP$ на ъгъла е избрана точка $M$. Докажете, че $\Delta OAM \cong \Delta OBM$ и че $MA = MB$. | В $\Delta ABC$ отсечката $CM$ е медиана ($M \in AB$). Върху продължението на $CM$ зад точка $M$ е нанесена точка $D$ така, че $MD = MC$. Докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta BMD$, че $AC \parallel BD$ и $AC = BD$. |
| 5 | В равнобедрения $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $\angle C = 40^\circ$. Симетралата на бедрото $AC$ пресича бедрото $BC$ в точка $M$. Намерете ъглите на $\Delta ABM$. | В равнобедрения $\Delta ABC$ ($AC = BC$) с $\angle C = 100^\circ$ ъглополовящата $AL$ ($L \in BC$) пресича височината $CD$ ($D \in AB$) в точка $O$. Докажете, че $\Delta AOC$ е равнобедрен и че $CL + CD = AC$. |
| 6 | Симетралите на страните $AB$ и $BC$ на $\Delta ABC$ се пресичат в точка $O$, която лежи върху страната $AC$. Докажете, че $\Delta ABC$ е правоъгълен ($\angle B = 90^\circ$). | В $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$ медианите са съответно $CM$ и $C_1M_1$. Ако $CM = C_1M_1$, $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$, докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta A_1M_1C_1$ и че $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$. |
| 7 | В правоъгълния $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 30^\circ$ ъглополовящата $AL$ ($L \in BC$) е $12\text{ cm}$. Намерете катета $BC$ и разстоянието от точка $L$ до хипотенузата $AB$. | В правоъгълния $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$) $CD \perp AB$ ($D \in AB$). Ако $BD = 4\text{ cm}$, намерете дължините на $BC$, $AB$ и $AD$. Докажете, че $\Delta BCD$ е наполовина равностранен. |
| 8 | В правоъгълния $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $CM$ е медиана към хипотенузата $AB$. Ако $\angle A = 35^\circ$, намерете ъглите $\angle AMC$, $\angle BMC$ и $\angle BCM$. | В правоъгълния $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) $CD$ е височина, а $CM$ е медиана към $AB$. Докажете, че $\angle DCM = \mid \angle A – \angle B \mid$. Ако $\angle A = 20^\circ$, намерете мярката на $\angle DCM$. |
| 9 | В $\Delta ABC$ височините са $AP \perp BC$ ($P \in BC$) и $BQ \perp AC$ ($Q \in AC$). Ако $AP = BQ$, докажете, че $\Delta ABP \cong \Delta BAQ$ и че $\Delta ABC$ е равнобедрен. | В правоъгълния $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 30^\circ$ е прекарана ъглополовящата $AL$ ($L \in BC$). Спуснат е перпендикуляр $LH \perp AB$ ($H \in AB$). Докажете, че $\Delta ACL \cong \Delta AHL$ и че $BL = 2 \cdot CL$. |
| 10 | В правоъгълния $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) с $\angle A = 15^\circ$ височината $CH = 5\text{ cm}$ ($H \in AB$), а $M$ е средата на $AB$. Докажете, че $\Delta CMH$ е правоъгълен с ъгъл $30^\circ$ и намерете хипотенузата $AB$. | В $\Delta ABC$ с $\angle ABC = 60^\circ$ ъглополовящите $AD$ ($D \in BC$) и $CE$ ($E \in AB$) се пресичат в точка $O$. Докажете, че $\Delta AEO \cong \Delta AKO$ (където $OK$ е ъглополовяща на $\angle AOC$, $K \in AC$) и докажете равенството $AE + CD = AC$. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!