7.45 Признак за еднаквост на два правоъгълни триъгълника. Общо упражнение еднаквост

№	Вариант А	Вариант Б (+10–15% трудност)
1	В $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$ ( $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ ) е дадено, че $AC = A_1C_1 = 6\text{ cm}$ и $BC = B_1C_1 = 8\text{ cm}$ . Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$ (по КК) и намерете $AB$ , ако $A_1B_1 = 10\text{ cm}$ .	В правоъгълните $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$ ( $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ ) имаме $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1 = 35^\circ$ . Докажете еднаквостта им. Ако периметърът на $\Delta ABC$ е $24\text{ cm}$ и $AB = 10\text{ cm}$ , намерете сбора $BC + B_1C_1$ .
2	В $\Delta ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) $CH$ е височина към $AB$ . В $\Delta A_1B_1C_1$ ( $\angle C_1 = 90^\circ$ ) $C_1H_1$ е височина към $A_1B_1$ . Ако $AB = A_1B_1 = 12\text{ cm}$ и $\angle A = \angle A_1 = 40^\circ$ , докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$ (по ХО).	В правоъгълните $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$ ( $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ ) хипотенузите са $AB = A_1B_1$ , а ъглополовящите $AL$ и $A_1L_1$ са равни ( $AL = A_1L_1$ ). Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$ .
3	В правоъгълните $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$ ( $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$ ) е известно, че $AB = A_1B_1 = 15\text{ cm}$ и $BC = B_1C_1 = 9\text{ cm}$ . По кой признак са еднакви триъгълниците? Намерете $\angle B_1$ , ако $\angle A = 37^\circ$ .	В $\Delta ABC$ ( $AC = BC$ ) точки $M$ и $N$ са среди съответно на $AC$ и $BC$ . Спуснати са перпендикуляри $MP \perp AB$ и $NQ \perp AB$ ( $P, Q \in AB$ ). Докажете, че $\Delta AMP \cong \Delta BNQ$ (по IV признак КХ) и че $MP = NQ$ .
4	Точка $P$ лежи във вътрешността на $\angle AOB$ . Спуснати са перпендикулярите $PM \perp OA$ и $PN \perp OB$ . Ако $PM = PN = 5\text{ cm}$ , докажете, че $\Delta OPM \cong \Delta OPN$ (по КХ) и че $OP$ е ъглополовяща на $\angle AOB$ .	В $\Delta ABC$ ъглополовящата на $\angle A$ пресича $BC$ в точка $L$ . От $L$ са спуснати перпендикуляри $LM \perp AB$ и $LN \perp AC$ . Докажете, че $\Delta AML \cong \Delta ANL$ . Ако $AL = 10\text{ cm}$ и $\angle A = 60^\circ$ , намерете сбора $LM + LN$ .
5	В равнобедрен $\Delta ABC$ ( $AC = BC$ ) са прекарани височините $AP \perp BC$ и $BQ \perp AC$ . Докажете, че $\Delta ABP \cong \Delta BAQ$ (по ХО) и че височините към бедрата са равни ( $AP = BQ$ ).	В равнобедрен $\Delta ABC$ ( $AC = BC$ ) височините $AP \perp BC$ и $BQ \perp AC$ се пресичат в точка $O$ . Докажете, че $\Delta AOK \cong \Delta BOK$ (където $OK \perp AB$ , $K \in AB$ ) и че отсечките $AO$ и $BO$ са равни.
6	В $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е медиана към $AB$ . Спуснати са перпендикулярите $AP \perp CD$ и $BQ \perp CD$ ( $P, Q$ лежат на правата $CD$ ). Докажете, че $\Delta ADP \cong \Delta BDQ$ (по ХО) и че $AP = BQ$ .	В $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е медиана към $AB$ . Перпендикулярите от $A$ и $B$ към правата $CD$ са $AP = 4\text{ cm}$ и $BQ = 4\text{ cm}$ . Докажете, че правата $CD$ разполовява отсечката $PQ$ и че $\Delta APC \cong \Delta BQC$ , ако $\angle ACD = \angle BCD$ .
7	В $\Delta ABC$ симетралите на страните $AC$ и $BC$ се пресичат в точка $O$ . Спуснати са перпендикулярите $OM \perp AC$ и $ON \perp BC$ . Докажете еднаквостта на правоъгълните триъгълници $\Delta AMO \cong \Delta CMO$ .	В $\Delta ABC$ ъглополовящите на външните ъгли при върховете $A$ и $B$ се пресичат в точка $J$ . Докажете, че перпендикулярите, спуснати от $J$ към правите $AB$ , $AC$ и $BC$ , са равни, като използвате еднаквост на правоъгълни триъгълници.

№	Вариант А (НВО І модул)	Вариант Б (НВО ІІ модул)
1	[НВО 2021, зад. 14] В ΔABC ъглополовящата AL (L ∈ BC) сключва с BC ъгъл 70°. Ако ∠ABC = 30°, намерете ъглите на ΔABC. Докажете, че ако K е точка върху AB такава, че AK = AC, то ΔACL ≅ ΔAKL.	[НВО 2021, зад. 22] В равнобедрения ΔABC (AC = BC) ъглополовящите AL и BK се пресичат в точка O. Ако ∠ACB = 40°, намерете ъглите на ΔAOB и докажете, че OL = OK и ΔAOK ≅ ΔBOL.
2	[НВО 2018, зад. 18] В равнобедрения ΔABC (AC = BC) симетралата на бедрото AC пресича другото бедро BC в точка M. Ако периметърът на ΔABM е 18 cm и AB = 7 cm, намерете AC и докажете, че ΔAMO ≅ ΔCMO (където O е средата на AC).	[НВО 2018, зад. 23] В ΔABC симетралата на AB пресича AC в точка M, а симетралата на BC пресича AC в точка N. Ако MN = 5 cm и периметърът на ΔBMN е 14 cm, намерете AC и докажете, че ΔAMB ≅ ΔBNC при ∠A = ∠C.
3	[НВО 2022, зад. 19] В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) с ∠A = 30° ъглополовящата AL пресича катета BC в точка L. От L е спуснат перпендикуляр LH ⊥ AB (H ∈ AB). Докажете, че ΔACL ≅ ΔAHL (по IV признак КХ) и че BL = 2.CL.	[НВО 2022, зад. 23] В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) с ∠A = 30° е прекарана ъглополовящата AL. Точка M е среда на AL и MP ⊥ AB (P ∈ AB). Докажете, че ΔAMP ≅ ΔACL и намерете съотношението MP : BC.
4	[НВО 2020, зад. 16] В ΔABC симетралите на страните AB и AC се пресичат в точка O, която лежи върху страната BC. Докажете, че ΔAOB и ΔAOC са равнобедрени и че ΔAOB ≅ ΔAOC, ако AB = AC.	[НВО 2020, зад. 23] В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) CD е височина към хипотенузата, а ъглополовящата на ∠BCD пресича AB в точка L. Докажете, че ΔALC е равнобедрен и че ΔCDL ≅ ΔCOL (при O ∈ AC и OL ⊥ AC).
5	[НВО 2019, зад. 15] В ΔABC медианата CM към страната AB е равна на половината от AB (CM = 1/2.AB). Върху продължението на CM зад M е нанесена точка D така, че CM = MD. Докажете, че ΔAMC ≅ ΔBMD и че AC \|\| BD.	[НВО 2019, зад. 24] В ΔABC ъглополовящата CL (L ∈ AB) дели ∠C на два ъгъла по 30°. Ако AL ⊥ BC (L1 ∈ BC) и CL = 12 cm, докажете еднаквост на получените правоъгълни триъгълници и намерете периметъра на ΔABC.
6	[НВО 2017, зад. 17] В равнобедрения ΔABC (AC = BC) височините AP (P ∈ BC) и BQ (Q ∈ AC) се пресичат в точка H. Докажете, че ΔAPC ≅ ΔBQC и че ΔAHQ ≅ ΔBHP.	[НВО 2017, зад. 23] В равнобедрения ΔABC (AC = BC, ∠C < 60°) височините AP и BQ се пресичат в точка H. Правата CH пресича AB в точка M. Докажете, че ΔAHM ≅ ΔBHM и че CH ⊥ AB.
7	[НВО 2016, зад. 18] В ΔABC (∠C = 90°, ∠A = 30°) CL е ъглополовяща (L ∈ BC), а CD е медиана към AB. От L е спуснат перпендикуляр LH ⊥ AB. Докажете, че ΔACL ≅ ΔAHL и че ΔCDL е равнобедрен.	[НВО 2016, зад. 24] В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°, ∠A = 30°) CD е височина към AB, а CL е ъглополовяща. Ако LH ⊥ AC (H ∈ AC), докажете, че ΔCHL ≅ ΔCDL и намерете ∠DHL.
8	[НВО 2023, зад. 18] В ΔABC точка D лежи на AC така, че ∠ABD = ∠C. От D са спуснати перпендикуляри DE ⊥ AB и DF ⊥ BC. Ако DE = DF, докажете, че ΔBED ≅ ΔBFD (по IV признак КХ) и че BD е ъглополовяща на ∠ABC.	[НВО 2023, зад. 23] В ΔABC с ∠ABC = 60° ъглополовящите AP и CQ се пресичат в точка O. Докажете, че ΔAEO ≅ ΔAKO (където K ∈ AC е избрана така, че OK е ъглополовяща на ∠AOC) и че OP = OQ.
9	[Олимпиада 2020, Общински кръг] В ΔABC с ∠BAC = 120° ъглополовящите AD (D ∈ BC) и BE (E ∈ AC) се пресичат в точка O. Върху AB е избрана точка K така, че ∠AOK = 60°. Докажете, че ΔAEO ≅ ΔAKO и че OK = CD.	[Олимпиада 2022, Областен кръг] В ΔABC с ∠ABC = 60° ъглополовящите AD и CE се пресичат в точка O. Докажете, че ΔAEO ≅ ΔAKO (където K ∈ AC е такава, че OK е ъглополовяща на ∠AOC) и докажете равенството AE + CD = AC.
10	[Олимпиада 2019, Общински кръг] В правоъгълния ΔABC (∠C = 90°) с ∠A = 15° височината към хипотенузата е CH = 4 cm, а M е средата на AB. Докажете, че ΔCMH е правоъгълен с ъгъл 30° и намерете хипотенузата AB.	[Олимпиада 2021] В ΔABC (∠C = 90°, ∠A = 15°) CM е медиана към AB. Перпендикулярът от M към AC пресича AC в точка P. Ако MP = 3 cm, намерете хипотенузата AB и докажете, че ΔAMP ≅ ΔCMP по катети.