7.43.Т Перпендикуляр от точка до права. Правоъгълен триъгълник с ъгъл 30

Перпендикуляр и разстояние от точка до права

Перпендикуляр ( $PH \perp g$ ): Отсечката от точка $P$ до права $g$ , която сключва ъгъл $90^\circ$ с правата. Точка $H$ се нарича пета на перпендикуляра.
Наклонена ( $PA$ ): Всяка отсечка от точка $P$ до точка $A \in g$ , различна от петата $H$ .
Основно свойство: Перпендикулярът е най-кратката отсечка от точката до правата ( $PH < PA$ ).
Разстояние от точка до права: Дължината на перпендикуляра $PH$ . Когато в задача се иска „намерете разстоянието от точка $P$ до права $g$ “, първата стъпка винаги е да се спусне перпендикуляр $PH \perp g$ .

Теорема за правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°

Това е една от най-често използваните теореми в училищната геометрия:

Пряка теорема: В правоъгълен триъгълник с ъгъл $30^\circ$ , катетът срещу този ъгъл е равен на половината от хипотенузата.

$\text{За } \Delta ABC (\angle C = 90^\circ): \text{ ако } \angle A = 30^\circ \implies BC = \frac{AB}{2}$
Обратна теорема (Признак): Ако в правоъгълен триъгълник един от катетите е равен на половината от хипотенузата, то ъгълът срещу този катет е $30^\circ$ .

$\text{За } \Delta ABC (\angle C = 90^\circ): \text{ ако } BC = \frac{AB}{2} \implies \angle A = 30^\circ$

Основни архетипи задачи и комбинации

Комбинация с медиана към хипотенузата ( $CD$ ): Тъй като $CD = \frac{AB}{2}$ , се образува равнобедрен $\Delta BCD$ ( $CD = BD$ ). Ако $\angle A = 30^\circ$ , то $\angle B = 60^\circ$ , което прави $\Delta BCD$ равностранен със страна $\frac{AB}{2}$ .
Височина към хипотенузата ( $CH \perp AB$ ): При $\angle A = 30^\circ$ , в правоъгълния $\Delta ACH$ катетът $CH$ лежи срещу $30^\circ$ , затова $CH = \frac{AC}{2}$ .
Равнобедрен триъгълник с ъгъл 120° при върха: Ъглите при основата са по $30^\circ$ . Височината към основата го разделя на два правоъгълни триъгълника с ъгъл $30^\circ$ , в които бедрото е хипотенуза, а височината е катет срещу $30^\circ$ (т.е. $h = \frac{b}{2}$ ).
Разстояние от точка до страна: Често се търси разстояние от точка върху ъглополовяща или симетрала до дадена страна. Построява се перпендикулярът и се търси образуван правоъгълен триъгълник с ъгъл $30^\circ$ .