7.27 Теория Задачи от работа

Това са задачи, в които някой върши работа (човек, машина, кран, тръба и т.н.) за определено време.

Основната идея е: Колкото по-бързо работиш, толкова по-малко време ти трябва. Също като домашното.

1. Формулата

За да решим такава задача, използваме зависимостта:

A = P \cdot t

$A$ (Работа): Цялата извършена работа. Ако тя не е зададена като конкретно число (например 20 детайла), приемаме, че целият обект е 1 (една цяла работа).
$P$ (Производителност): Колко работа се върши за единица време (час, ден). Това е най-важният елемент.
$t$ (Време): Времето, за което се извършва работата.

2. Производителност ( $P$ )?

Ако знаем, че някой сам свършва една работа за $x$ часа, то неговата производителност е $\frac{1}{x}$ (част от работата за 1 час).

Пример:

Ако Иван боядисва една стена за 5 часа, неговата производителност е 1/5 стена на час.
Ако Петър я боядисва за 3 часа, неговата производителност е 1/3 стена на час.
Aко Димитър решава 15 задачи за половин час, неговата производелност е 30 задачи на час.

Производителност = работа за единица време

Тя много прилича на скоростта от формулата за път и време.

3. Алгоритъм за решаване (с таблица)

Най-лесният начин е да си начертаете таблица с колони: Производителност ( $P$ ), Време ( $t$ ) и Работа ( $A$ ).

Субект	Производителност (P)	Време (t)	Работа (A=P⋅t)
Работник 1	$1/x$	$t_1$	$\frac{t_1}{x}$
Работник 2	$1/y$	$t_2$	$\frac{t_2}{y}$

Уравнението се съставя въз основа на извършената работа:

A_1 + A_2 = \text{Общата работа}

(Обикновено сумата от частите е равна на 1)

4. Примерна задача

Условие: Една тръба може да напълни басейн за 6 часа, а втора тръба – за 12 часа. За колко часа двете тръби заедно ще напълнят басейна?

Решение:

Първа тръба: производителност $P_1 = 1/6$ .
Втора тръба: производителност $P_2 = 1/12$ .
Време заедно: означено с $x$ .
Уравнение:
$\frac{x}{6} + \frac{x}{12} = 1$
Намираме общ знаменател (12):
$2x + x = 12 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$

Отговор: Двете тръби ще напълнят басейна за 4 часа.

За какво да внимаваш?

Мерни единици: Винаги превръщай минутите в часове (напр. 20 мин = 20/60 = 1/3 ч.), преди да смяташ.
Различни времена: Често един работник започва по-рано. Тогава неговото време в таблицата ще бъде $x + \text{разликата}$ .
Празнене на басейн: Ако една тръба пълни, а друга източва, работата на втората се пише с минус (напр. $\frac{x}{6} - \frac{x}{12} = 1$ ).