Това е систематичен детективски процес: първо намираме поне един кандидат-корен чрез делителите, а след това „сгъваме“ квадратното уравнение до вида $(ax + b)(cx + d) = 0$.
Ще използваме ‘наготово’ две теореми, които се учат в гимназия, Теоремата за рационалните корени и Формулите на Виет.
Ето пълната методика, организирана стъпка по стъпка:
Методика за решаване чрез теоремата за корените
Пример в действие
Да приложим методиката върху уравнението $2x^2 + 5x – 3 = 0$:
-
Каноничен вид: Уравнението вече е във вида $Ax^2 + Bx + C = 0$, където $A = 2, B = 5, C = -3$.
-
Кандидати за корени:
-
Делители на $C = -3$: $p \in \{\pm 1, \pm 3\}$
-
Делители на $A = 2$: $q \in \{1, 2\}$
-
Възможни корени $\frac{p}{q}$: $\pm 1, \pm 3, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{3}{2}$
-
-
Проверка:
-
За $x = 1 \implies 2(1)^2 + 5(1) – 3 = 4 \neq 0$
-
За $x = -3 \implies 2(-3)^2 + 5(-3) – 3 = 18 – 15 – 3 = 0$ $\checkmark$
-
Намерихме първия корен: $x_1 = -3$. Следователно едната скоба е $(x + 3)$.
-
-
Намиране на втория корен (по Виет):
$$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A} \implies -3 \cdot x_2 = \frac{-3}{2} \implies x_2 = \frac{1}{2}$$ -
Преминаване към $(ax + b)(cx + d) = 0$:
По формулата $A(x – x_1)(x – x_2) = 0$:
$$2(x + 3)\left(x – \frac{1}{2}\right) = 0 \implies (x + 3)(2x – 1) = 0$$
© София-Мат ЕООД
