| № | Условие | Тип А (Средно / Повишено ниво) | Тип Б (Трудно / Предизвикателно ниво) |
| 1 | (Преговор 6. кл.) Пресметнете стойността на израза | $-2{,}5 \cdot \left(\frac{2}{5} – 1{,}2\right) + \left(-\frac{3}{4}\right) : \frac{1}{2}$ | $\left(-1 \frac{1}{3}\right)^2 : \left(\frac{5}{6} – 2\right) – 3{,}5 \cdot \left(-\frac{2}{7}\right)$ |
| 2 | (Преговор 6. кл.) Пресметнете и запишете като степен | $\frac{2^8 \cdot 16^2}{4^5 \cdot 2^3}$ | $\frac{(-8)^4 \cdot 32^2}{(-2)^7 \cdot 64^2}$ |
| 3 | (Преговор 6. кл.) Намерете неизвестния член $x$ | $\frac{x – 1}{3{,}5} = \frac{4}{7}$ | $\frac{2x + 1}{1 \frac{1}{3}} = \frac{3x – 2}{2 \frac{2}{3}}$ |
| 4 | (Преговор 6. кл.) Пресметнете геометричния елемент | Намерете $C$ на кръг, ако $S = 154\text{ cm}^2$ ($\pi \approx \frac{22}{7}$) | Намерете $S_1$ на цилиндър с $r = 3\text{ cm}$ и $V = 45\pi\text{ cm}^3$ |
| 5 | Разкрийте скобите $(a \pm b)^2$ с дроби и степени | $\left(3x^2 – \frac{1}{3}y\right)^2$ | $\left(-2a^3b + 0{,}5ab^2\right)^2$ |
| 6 | Разкрийте скобите $(a – b)(a + b)$ | $\left(4x^3 – 0{,}2y\right)\left(4x^3 + 0{,}2y\right)$ | $\left(\frac{2}{3}a^2b – 3c^3\right)\left(3c^3 + \frac{2}{3}a^2b\right)$ |
| 7 | Разложете на множители по формулата $A^2 – B^2$ | $25x^4 – 49y^2$ | $0{,}04a^6b^2 – \frac{81}{100}c^4$ |
| 8 | Разложете тричлена до точен квадрат | $16x^2 – 24xy + 9y^2$ | $25a^4b^2 + 20a^2bc + 4c^2$ |
| 9 | Опростете израза с квадрати | $(2x – 3)^2 – (2x + 1)(2x – 1) + 12x$ | $(3x + 2)^2 – 2(3x + 2)(x – 4) + (x – 4)^2$ |
| 10 | Пресметнете рационално с формули за квадрат | $103^2 – 2 \cdot 103 \cdot 3 + 3^2$ | $\frac{73^2 – 27^2}{53^2 + 2 \cdot 53 \cdot 47 + 47^2}$ |
| 11 | Разкрийте скобите по формулата $(a \pm b)^3$ | $(2x^2 – 3)^3$ | $\left(3a^2b + \frac{1}{3}c\right)^3$ |
| 12 | Разложете на множители по формулата $a^3 \pm b^3$ | $64x^3 – 27y^3$ | $125a^6b^3 + \frac{1}{8}c^9$ |
| 13 | Разложете напълно с изнасяне пред скоби | $3x^4 – 24x$ | $2a^5b^2 + 16a^2b^5$ |
| 14 | Опростете израза с кубове | $(x – 2)^3 – (x – 2)(x^2 + 2x + 4)$ | $(2x + 1)^3 – 8x(x + 1)^2 + 1$ |
| 15 | Пресметнете числената стойност с кубове | $x^3 – 6x^2 + 12x – 8$ при $x = 12$ | $\frac{58^3 + 42^3}{58^2 – 58 \cdot 42 + 42^2}$ |
| 16 | Решете уравнението след унищожаване на $x^3$ | $(x + 2)^3 – x^2(x + 6) = 16$ | $(2x – 1)^3 – 8x(x – 1)^2 = 13$ |
| 17 | Разложете на множители чрез групиране и ФСУ | $x^3 – 8 + 3x – 6$ | $a^3 + b^3 + a^2 – ab + b^2$ |
| 18 | Разложете на множители разлика от квадрати | $(2x + 3)^2 – (x – 1)^2$ | $(3x^2 – 2)^2 – (x^2 + 4)^2$ |
| 19 | Отделете точен квадрат и намерете НМС/НГС | Намерете НМС на $A = x^2 – 10x + 31$ | Намерете НГС на $B = -4x^2 + 12x – 5$ |
| 20 | Докажете, че за всяко $x$ изразът има определен знак | $x^2 – 8x + 17 > 0$ | $-9x^2 + 12x – 5 < 0$ |
| 21 | Разложете четиричлен (тричлен до точен квадрат $- y^2$) | $x^2 – 6x + 9 – y^2$ | $4a^2 – b^2 + 4b – 4$ |
| 22 | Намерете стойността без намиране на $x$ и $y$ | Намерете $x^2 + y^2$, ако $x + y = 7$, $xy = 10$ | Намерете $a^3 – b^3$, ако $a – b = 5$, $ab = 6$ |
| 23 | Решете уравнението чрез разлагане ($A \cdot B = 0$) | $x^3 – 16x = 0$ | $27x^4 – 8x = 0$ |
| 24 | (Трудна) Разложете на множители (Софи Жермен) | $x^4 + 4$ | $a^4 + 64b^4$ |
| 25 | (Трудна) Разложете чрез добавяне и изваждане | $x^4 + x^2 + 25$ | $a^3 + b^3 + c^3 – 3abc$ |
| 26 | (Трудна) Намерете променливите при сума от квадрати $= 0$ | $x^2 + y^2 – 6x + 8y + 25 = 0$ | $4a^2 + 9b^2 – 12a + 12b + 13 = 0$ |
| 27 | (Трудна) Решете уравнението с кубове | $(x + 1)^3 – (x – 1)^3 = 6x^2 + 6x$ | $(x + 2)^3 – (x – 1)^3 = 9x^2 + 27$ |
| 28 | (Трудна) Докажете делимостта на числов израз | $55^3 + 45^3$ се дели на $1000$ | $3^{12} – 2^{12}$ се дели на $35$ |
| 29 | (Трудна) Докажете делимост за всяко цяло $n \in \mathbb{Z}$ | $(n + 3)^3 – n^3$ се дели на $3$ | $n^3 + 5n$ се дели на $6$ |
| 30 | (Трудна) Отделете точни квадрати и намерете НМС | $M = x^2 + y^2 – 4x + 6y + 18$ | $N = 2x^2 + y^2 – 4x + 2xy + 5$ |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!