7.6.2 Преговор: отношения и пропорции

Отношение: Частното на две числа $a$ и $b$ ($b \neq 0$), записано като $a : b$ или $\frac{a}{b}$.

• Какво показва: Колко пъти първото число е по-голямо от второто или каква част от второто число е първото.

• Основно свойство: Отношението не се променя, ако умножим или разделим двата му члена с едно и също число, различно от нула.

Пример: Отношението $12 : 18$ е същото като $2 : 3$ (след съкращаване на 6).

Пропорция: Равенство на две отношения:

Намиране на неизвестен член (умножение ‘на кръст’):

• Ако търсим $a$:

  $$a = \frac{b \cdot c}{d}$$

• Ако търсим $b$:

  $$b = \frac{a \cdot d}{c}$$

Права пропорционалност ($y = k \cdot x$)

• Зависимост: Ако едната величина се увеличи $n$ пъти, другата също се увеличи $n$ пъти.

• Примери: * Количество стока $\leftrightarrow$ Обща цена.

  • Път $\leftrightarrow$ Време (при постоянна скорост).

• Решаване: Записва се директна пропорция: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$.

Обратна пропорционалност ($y = \frac{k}{x}$ или $x \cdot y = k$)

• Зависимост: Ако едната величина се увеличи $n$ пъти, другата намалява $n$ пъти.

• Примери:

  • Брой работници $\leftrightarrow$ Време за свършване на работата.

  • Скорост $\leftrightarrow$ Време за изминаване на едно и също разстояние.

• Решаване: Отношението на едната величина е равно на обърнатото отношение на другата: $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_2}{y_1}$.

Мащаб: Отношението на дължината на отсечка от картата (плана) към действителната и дължина.

• Златно правило: Преди да пресмятате, винаги превръщайте двете дължини в еднакви мерни единици (обикновено в сантиметри!).

• Например от метри (m) в сантиметри (cm) $\rightarrow$ добавяме 2 нули ($1 \text{ m} = 100 \text{ cm}$).

Разпределяне на число в дадено отношение

Когато трябва да разделим числото $A$ в отношение $m : n$:

1. Намираме общия брой части: $m + n$.

2. Намираме стойността на една част ($k$): $k = \frac{A}{m + n}$.

3. Намираме двете части: Първата е $m \cdot k$, втората е $n \cdot k$.