Продължете към съдържанието

(Не)вероятности

Добре дошли в света на математическата магия! Комбинаториката и вероятностите са като „шпионски кодове“ – те ни помагат да преброим всички възможности, без да ги изписваме една по една, и да предвидим бъдещето (е, почти).

 Краткият наръчник на младия комбинатор

Това е твоят пълен наръчник по комбинаторика и вероятности, преведен от езика на висшата математика на езика на победителите в състезания.

1. Основите: Правила за Събиране и Умножение

Това са „тухлите“, с които строиш всяко решение. Всичко опира до думичките „ИЛИ“ и „И“.

  • Правило за събиране („ИЛИ“): Използваш го, когато избираш само едно нещо от няколко групи. Ако имаш 3 ябълки и 2 круши, и искаш да изядеш едно парче плод, имаш $3 + 2 = 5$ начина.

  • Правило за умножение („И“): Използваш го, когато избираш по едно нещо от всяка група, за да направиш комплект. Ако имаш 3 вида хляб И 2 вида сирене, можеш да направиш $3 \times 2 = 6$ различни сандвича.

Примерна задача: В училищния стол предлагат 4 вида основни ястия и 3 вида десерти.

  • А) По колко начина можеш да си избереш само едно ястие (основно или десерт)?

  • Б) По колко начина можеш да си направиш обяд от основно и десерт, ако обядът струва 4,50 €?

Решение: > * А) Избираме едно: $4 + 3 = 7$ начина.

  • Б) Правим комплект: $4 \times 3 = 12$ различни обяда. Цената няма значение!

2. Нареждане в редица: Факториел ($n!$)

Когато имаш група обекти и искаш да ги подредиш всичките в редица, броят на начините се нарича пермутация. Използваме символа ! (факториел).

$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$

  • Логиката: За първото място имаш $n$ избора, за второто $n-1$ (защото един вече е седнал) и т.н.

Примерна задача: По колко начина 5 деца могат да се подредят за снимка в редица?

Решение: Прилагаме $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ начина.

3. Вариации срещу Комбинации (Редът е важен?)

Това е най-тънкият момент в състезателната математика. Трябва да прецениш: ако разменим местата на избраните, променя ли се резултатът?

  • Вариации (Редът е важен): Избираме хора за конкретни роли (Президент, Секретар).

  • Комбинации (Редът НЕ е важен): Избираме група/екип, където всички са равни (двама приятели за кино).

    • Формула за избор на 2-ма от $n$ души: $C = \frac{n \times (n-1)}{2}$

Примерна задача: В клас от 10 ученици трябва да се избере екип от двама за олимпиада. Таксата за участие е 5,50 € на дете. Колко различни двойки могат да се формират?

Решение: Редът няма значение (Ани и Боби са същата двойка като Боби и Ани).

Използваме комбинации: $\frac{10 \times 9}{2} = 45$ възможни двойки.

Тоест ако редът не е важен, броят възможности трябва да намалее. Ако имаме екипи от двама души: делим на 2. Ако имаме екипи от трима души, делим на 3.2 = 6, ако екипите са от 4 души – делим на 4.3.2 = 24 и т.н.

4. Принципът на Дирихле (Гълъбите и клетките)

Този принцип не ти казва колко са точно възможностите, а гарантира, че нещо със сигурност ще се случи.

  • Правило: Ако разпределяш $n+1$ предмета в $n$ кутии, поне в една кутия ще има поне 2 предмета.

Примерна задача: Колко най-малко ученици трябва да има в една стая, за да сме сигурни, че поне двама от тях са родени в един и същи месец?

Решение: Месеците са 12 (нашите „кутии“). За да сме сигурни, че ще има „сблъсък“, ни трябват $12 + 1 = 13$ ученици.

5. Вероятност: Математиката на шанса

Вероятността ($P$) е число между 0 и 1 (или 0% и 100%), което показва колко е възможно едно събитие да се случи.

$$P = \frac{\text{Брой благоприятни случаи (какво искаме)}}{\text{Общ брой възможни случаи (всичко)}} $$

Примерна задача: Хвърляш зар. Каква е вероятността да се падне число, което се дели на 3?

Решение: > 1. Възможни случаи: {1, 2, 3, 4, 5, 6} -> общо 6.

2. Благоприятни (делят се на 3): {3, 6} -> общо 2.

3. $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \$ тоест 1 от 3.

Обобщение за шампиони

Ситуация Правило / Инструмент
Избирам това ИЛИ онова Събиране ($+$)
Избирам това И онова Умножение ($\times$)
Подреждам всички в редица Факториел ($n!$)
Избирам екип (редът не е важен) Комбинация 
Търся „най-малко за сигурност“ Принцип на Дирихле
Търся „какъв е шансът“ Вероятност ($P = \frac{\text{искам}}{\text{всичко}}$)

Задача 1: Подреждане на шампиони (Пермутации) На почетната стълбичка трябва да се качат Ани, Боби, Вики и Гого. По колко начина могат да се разпределят местата, ако знаем, че Гого винаги печели златото (1-во място)?

    1. Тъй като 1-вото място е заето от Гого, ни остават 3 места (2-ро, 3-то и 4-то).

    2. Трябва да подредим останалите 3 деца (Ани, Боби, Вики) на тези 3 места.

    3. Прилагаме факториел: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

  • Отговор: 6 начина.

Задача 2: Избор на меню (Комбинации) В училищния бюфет предлагат 5 вида плодове. Едно плодово смути се прави от точно 2 вида плода. Колко различни вида смути могат да се направят, ако цената на всяко е 2,50 €?

  • Решение:

    1. Тук редът на плодовете не е важен (ябълка + банан е същото като банан + ябълка).

    2. Използваме формулата за комбинации за два елемента: $\frac{n \times (n-1)}{2}$, където $n=5$.

    3. Пресмятаме: $\frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

  • Отговор: 10 вида смути.

Задача 3: Шансът за късмет (Вероятност) Хвърляме два стандартни зара. Каква е вероятността сборът от точките да е точно 10?

    1. Всички възможности: Всеки зар има 6 страни, така че $6 \times 6 = 36$ общо комбинации.

    2. Благоприятни случаи (сбор 10):

      • (4 и 6)

      • (5 и 5)

      • (6 и 4)

      • Общо 3 случая.

    3. Вероятност: $P = \frac{3}{36}$. Съкращаваме дробта: $P = \frac{1}{12}$.

  • Отговор: $\frac{1}{12}$ (или 1 от 12).

Задача 4: Сигурност в тъмното (Дирихле) В кутия има 8 червени, 10 сини и 12 зелени чорапа. Колко най-малко чорапа трябва да извадиш със затворени очи, за да си абсолютно сигурен, че имаш поне един чифт от един и същи цвят?

    1. Използваме „принципа на лошия късмет“.

    2. Представи си, че вадиш първия – червен, втория – син, третия – зелен. (Вече имаш по един от всеки цвят).

    3. Четвъртият чорап, който и да е той, задължително ще направи чифт с някой от вече извадените.

    4. Математически: Брой цветове + 1 = $3 + 1 = 4$.

  • Отговор: 4 чорапа.

 

Основни задачи

Задача А Задача Б
1. Колко са двуцифрените числа с цифри 1 и 2? 2. Хвърляш монета. Каква е вероятността да се падне „Ези“?
3. В кутия има 5 сини и 3 червени топчета. Какъв е шанса да извадя, без да гледам, зелено топче? 4. Мама купува 2 ябълки по 0,50 € и 1 круша за 0,80 €. Общо?
5. Колко различни трицифрени числа могат да се съставят от 7, 8, 9 без повторение? 6. Колко са двуцифрените числа, на които сумата от цифрите е точно 4?
7. Имаш 4 цвята моливи. По колко начина ще оцветиш 2 квадратчета? 8. Купуваш сок за 1,25 € и вафла за 0,45 €. Колко ресто от 2,00 €?
9. Колко пътя водят от град А до В през Б, ако пътищата А-Б са 3, а Б-В са 4? 10. Хвърляш зар. Дай ми вероятността да се падне числото 6.
11. Хвърляш стандартен зар. Каква е вероятността да се падне число, по-голямо от 4? 12. Имаш монети от 0,10 €, 0,20 € и 0,50 €. Колко различни суми можеш да съставиш, като избереш точно две от тях?
13. На опашка са Ани, Боби и Вики. Колко са подредбите им? 14. Вероятност да се падне четно число при хвърляне на зар?
15. Колко са двуцифрените числа, сумата от цифрите на които е 5? 16. Книга струва 12,60 €. Намалена е с 2,00 €. Нова цена?
17. В торба има 10 бонбона. 3 са люти. Вероятност да не вземеш лют? 18. Имаш монети от 0,10 €, 0,20 € и 0,50 €. Колко различни суми от по две монети можеш да направиш?
19. Колко триъгълника има в един квадрат с два диагонала? 20. В торба има 3 червени, 2 сини и 5 зелени топчета. Вероятност да извадиш синьо?
21. Начертай всички отсечки с краища 4 точки. Колко са? 22. Колко са двуцифрените числа с различни цифри?
23. Вероятност да изтеглиш червено топче от 4 червени и 4 бели? 24. Топка струва 9,99 €. Колко струват две такива?
25. Колко начина има да избереш 2 ученици от група от 4? 26. Ако днес е вторник, каква е вероятността утре да е сряда?
27. Напиши всички числа с цифри 0, 1, 2 (без повторение). 28. Вафла е 0,60 €. Колко вафли купуваш с 3,00 €?
29. Колко пъти в денонощието се застъпват стрелките за час и минути? 30. Вероятност при зар да падне число, по-малко от 3?
31. (Ср) Колко са трицифрените числа с произведение на цифрите 6? 32. (Ср) В кутия има 10 бели, 5 черни и 2 зелени чорапа. Колко най-малко трябва да вземеш „на сляпо“, за да имаш чифт?
33. (Ср) Обяд струва 6,45 €. Плащаш с 10,00 €. Колко ресто? 34. (Ср) Колко са петцифрените числа, които се четат еднакво отпред и отзад?
35. (Ср) Вероятност при два зара сумата да е 12? 36. (Ср) Имаш 5 тениски. По колко начина можеш да избереш 3 за екскурзия?
37. (Ср) Билет за кино е 8,50 €, а пуканки са 4,20 €. Колко за трима души? 38. (Ср) Колко са пътищата в 3х3 мрежа от долния ляв до горния десен ъгъл?
39. (Ср) Вероятност при хвърляне на две монети да се паднат еднакви страни? 40. (Ср) Колко двуцифрени числа нямат цифра 5 в себе си?
41. (Ср) Торта е 24,00 €. Парче е 1/8. Колко струват 3 парчета? 42. (Ср) Колко са четирицифрените числа, съставени само от 1 и 0?
43. (Ср) Вероятност да изтеглиш число, делящо се на 5, от 1 до 20? 44. (Ср) В група от 10 деца всеки поздравява всеки. Колко са здрависванията?
45. (Ср) Едно евро е 1,96 лв. Колко лева са 5,00 €? 46. (Ср) Колко са трицифрените числа със сума на цифрите 3?
47. (Ср) В кутия има карти с числа от 1 до 50. Вероятност да изтеглиш точен квадрат? 48. (Ср) 4 молива и 3 гуми струват 5,50 €. 4 молива и 5 гуми са 6,50 €. Колко е една гума?
49. (Ср) Колко са диагоналите в правилен шестоъгълник? 50. (Ср) Вероятност при зар да падне просто число?

Разни бележки за

1. Подреждане в кръг (Циклични ‘пермутации’)

Когато подреждаме $n$ обекта в редица, отговорът е $n!$. Но в кръг, ако завъртим всички с едно място, подредбата остава същата. Затова „заковаваме“ един човек на мястото му и подреждаме останалите около него.

  • Формула: $(n – 1)!$

  • Пример: По колко начина 4 деца могат да седнат около кръгла маса?

    • Решение: „Заковаваме“ едно дете. Остават 3 места за останалите 3 деца.

    • Смятаме $(4 – 1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ начина.

2. Подреждане с „неразделни приятели“ (Блокиране)

Често в задачите се казва, че двама души искат задължително да са един до друг.

  • Методът: Разглеждаме двамата приятели като един общ блок (един „голям“ човек).

  • Пример: Ани, Боби, Вики и Гого се подреждат в редица. Ани и Боби искат да са винаги един до друг.

    • Стъпка 1: Броим (Ани+Боби) за 1 човек. Така имаме 3 обекта: [АБ], Вики, Гого.

    • Стъпка 2: Подреждаме ги: $3! = 6$ начина.

    • Стъпка 3: Вътре в самия блок Ани и Боби могат да си сменят местата (АБ или БА). Това са 2 начина.

    • Общо: $6 \times 2 = 12$ начина.

3. Подреждане с ограничение „Никога един до друг“

Тук използваме стратегията на допълнителната вероятност.

  • Методът: Всички възможности МИНУС случаите, в които са заедно.

  • Пример: 4 деца се подреждат в редица. По колко начина Ани и Боби няма да са съседи?

    • Всички начини: $4! = 24$.

    • Когато са заедно: (сметнахме го по-горе) = 12.

    • Резултат: $24 – 12 = 12$ начина.

4. Решетъчни пътища (Движение в мрежа)

Представи си мрежа (като на тетрадка по математика). Трябва да стигнеш от долния ляв ъгъл до горния десен, като се движиш само надясно (Н) и нагоре (Г).

  • Методът на Паскал: Във всеки възел на мрежата записваш сбора от числата, които идват отляво и отдолу.

  • Пример: В мрежа 2х2 квадрата:

    • От (0,0) до (2,2) има точно 6 пътя.

    • Това съответства на числото от Триъгълника на Паскал за избор на 2 движения „нагоре“ от общо 4 движения.

По-трудни задачи (За математически нинджи)

  1. Колко са трицифрените числа, в които има поне една цифра 7?

  2. Вероятност при хвърляне на три монети да се падне точно едно „Ези“?

  3. Имаш 6 цвята. По колко начина можеш да оцветиш стените на куб (всяка стена различен цвят)?

  4. В магазин има 3 вида пасти за 1,20 €, 1,50 € и 2,10 €. По колко начина можеш да похарчиш точно 5,00 € (ако можеш)?

  5. Колко са начините да се качиш по стълба с 10 стъпала, ако можеш да прекрачваш по 1 или 2 стъпала наведнъж?

  6. Вероятност при хвърляне на два зара сумата да е просто число?

  7. Колко са четирицифрените числа, чиито цифри са в растящ ред (например 1247)?

  8. Разполагаш с 5 монети от 0,50 € и 10 монети от 0,20 €. По колко начина можеш да платиш сметка от 2,60 €?

  9. Колко са трицифрените числа $ABC$, за които $A + B = C$?

  10. Вероятност в група от 5 души поне двама да са родени в един и същи ден от седмицата?

  11. Колко са правоъгълниците на чертеж с мрежа 4х4 квадрата?

  12. Имаш цифри 0, 1, 2, 3, 4. Колко четни трицифрени числа с различни цифри можеш да направиш?

  13. Вероятност при теглене на две карти от тесте (52), и двете да са „Пика“?

  14. В една стая има 12 души. Всеки се е здрависал с точно трима. Възможно ли е това?

  15. Колко са начините да разпределиш 7 еднакви ябълки между 3 деца, така че всяко да получи поне една?

  16. Ако средната цена на 5 шоколада е 1,80 €, а на 3 от тях е 2,00 €, колко е средната цена на останалите 2?

  17. Вероятност при хвърляне на зар 3 пъти, сборът да е 4?

  18. Колко са петцифрените числа, които не съдържат цифрата 0 и цифрата 9?

  19. По колко начина можеш да подредиш 5 книги на рафт, ако две от тях трябва задължително да са една до друга?

  20. Вероятност случайна точка в квадрат със страна 10 cm да попадне в кръг, вписан в него?

Предизвикателни задачи

  1. Колко са десетцифрените числа със сума на цифрите 2?

  2. Принцип на Дирихле: Колко най-малко деца трябва да има в клас, за да сме сигурни, че поне 4 са родени в един и същи месец?

  3. Вероятност при хвърляне на два зара разликата между точките им да е 2?

  4. Колко са трицифрените числа, които се делят на 3 и съдържат цифрата 3?

  5. Имаш 10 точки в равнината, никои три от които не лежат на една права. Колко триъгълника образуват?

  6. Вероятност при случайна подредба на буквите А, А, Б, Б да се получи думата „ААББ“?

  7. Колко са начините да представиш числото 10 като сбор от три естествени числа (редът има значение)?

  8. Ако вероятността да вали утре е 0,4, а вероятността да е ветровито е 0,7, каква е минималната вероятност да се случат и двете?

  9. Колко са четирицифрените числа с различни цифри, чийто сбор е 10?

  10. По колко начина 8 топчета могат да се сложат в 3 кутии, ако кутиите са различни, а топчетата еднакви?

  11. Вероятност при 10 хвърляния на монета да се паднат точно 5 „Ези“? (Използвай триъгълника на Паскал).

  12. Колко са пътищата от (0,0) до (4,4) в координатна система, ако се движиш само нагоре и надясно и не минаваш през (2,2)?

  13. На парти всеки чука чаши с всеки. Има 66 наздравици. Колко са хората?

  14. Вероятност случаен делител на числото 120 да е четно число?

  15. Колко са трицифрените числа, които имат поне две еднакви цифри?

  16. Имаш 20,00 €. Един жетон за игра е 0,80 €. След колко игри ще ти останат точно 12,00 €, ако печелиш по 0,20 € на всяка трета игра?

  17. Колко са подмножествата на множество с 5 елемента?

  18. Вероятност при хвърляне на два зара сумата да е по-голяма от произведението?

  19. По колко начина можеш да избереш 4 карти от тесте (52), така че да са от различни бои?

  20. Колко са осемцифрените числа, съставени само от 1 и 2, в които няма две единици една до друга?

  21. Вероятност при теглене на 3 числа от 1 до 10, тяхната сума да е четна?

  22. Колко са начините да се боядисат клетките на таблица 2х2 в два цвята, така че да няма изцяло едноцветен ред?

  23. В кутия има 100 топчета с номера от 1 до 100. Вероятност изтегленото число да съдържа цифрата 7?

  24. Колко са решенията на $x + y + z = 15$ в естествени числа?

  25. Вероятност при подреждане на 5 души в кръг, двама конкретни да са един до друг?

  26. Колко са трицифрените числа, които са кратни на 5, но не и на 10?

  27. Ако хвърлиш 4 зара, каква е вероятността сборът им да е точно 5?

  28. По колко начина можеш да размениш местата на 2 топа на шахматна дъска, така че да не се „бият“?

  29. Колко са естествените числа до 1000, които не се делят нито на 2, нито на 3, нито на 5?

  30. Вероятност при избор на три върха на правилен седмоъгълник, те да образуват равнобедрен триъгълник?

Facebook
X (Twitter)
Copy link
URL has been copied successfully!