Подготовка за Олимпиада 2025 - Школа по математика София-Мат

Тренировъчен комплект 1 (улеснен)

задача 1.

Намерете числата $A$ , $B$ и $C$ , ако:

$A$ е стойността на израза: $(150 \cdot 6 - 50) + 2025 : 5$ .
$B$ е неизвестното число $x$ от равенството: $900 - x = 200 \cdot 4 + 70$ .
$C$ е най-голямото четирицифрено число, записано с различни цифри, чиято цифра на хилядите е $5$ .

Намерете стойността на израза: $A + (B : 3) - C$ .

задача 2.

Квадрат има обиколка $36$ см.

Намерете дължината на страната на квадрата.
Правоъгълник има дължина, която е $5$ пъти по-голяма от страната на квадрата, и ширина, която е с $2$ см по-малка от страната на квадрата. Намерете обиколката на правоъгълника.
Намерете лицето на този правоъгълник в квадратни сантиметри.

задача 3.

За 2 кутии бонбони и 3 шоколада общо са платени $17$ лева. За $2$ кутии бонбони и $1$ шоколад общо са платени $9$ лева.

Колко струва един шоколад?
Колко струва една кутия бонбони?
Колко лева ще са необходими за закупуване на $3$ кутии бонбони и $5$ шоколада?

Тренировъчен комплект 2 (улеснен)

задача 1.

Намерете числата $A$ , $B$ и $C$ , ако:

$A$ е стойността на израза: $(2025 : 5 + 10 \cdot 5) - 30$ .
$B$ е сборът на най-малкото трицифрено число с най-голямото двуцифрено число.
$C$ е числото, което е с $40$ по-малко от частното на $880$ и $8$ .

Намерете разликата между най-голямото и най-малкото от числата $A$ , $B$ и $C$ .

задача 2.

Дадена е правоъгълна градина $G1$ с дължина $20$ метра и ширина $8$ метра. Втора правоъгълна градина $G2$ има дължина $2$ пъти по-голяма от ширината на $G1$ и ширина $2$ пъти по-малка от дължината на $G1$ .

Намерете обиколката на градина $G2$ .
Намерете лицето на градина $G1$ в квадратни метри.
С колко лицето на градина $G1$ е по-малко от лицето на градина $G2$ ?

задача 3.

В един склад има общо $45$ кашона с портокали и банани. Броят на кашоните с портокали е $4$ пъти по-голям от броя на кашоните с банани.

Колко са кашоните с банани?
Колко са кашоните с портокали?
Ако във всеки кашон има по $10$ кг плодове, колко килограма портокали и банани има общо в склада?

…

Комплект за подготовка 1

задача 1. Голяямото пресмятане

Дадени са числата $A$ , $B$ и $C$ .

$A$ е стойността на израза: $3200 : 40 + 2025 \cdot 1 - 25 \cdot 8$ .
$B$ е неизвестното число от равенството: $(B - 4) \cdot 7 = 3500 - 3479$ .
$C$ е най-голямото четирицифрено число, записано с различни четни цифри.

Пресметнете стойността на израза: $2 \cdot A - (B \cdot 10) + C$ .

задача 2. Съставна геометрия

Правоъгълник $ABCD$ е разделен на два правоъгълника: $AMND$ и $MBCN$ , които имат обща страна $MN$ (направи чертеж).

Обиколката на целия правоъгълник $ABCD$ е $140$ см.
Обиколката на правоъгълника $AMND$ е $90$ см.
Дължината на отсечката $AB$ е $50$ см.

Намерете дължината на страната $AD$ .
Намерете дължината на отсечката $MN$ .
Намерете лицето на правоъгълника $MBCN$ в квадратни сантиметри.

задача 3. Зависимости

Магазин „София-мат“ пуснал промоция за ученици. 4 химикалки и 5 молива струват общо 26 лева, а 4 химикалки и 2 молива струват общо 14 лева.

Колко струва един молив?
Колко струва една химикалка?
Ако ученикът има 30 лева, колко най-много молива и химикалки общо може да купи, ако купи два пъти повече моливи, отколкото химикалки?

Комплект за подготовка 2

задача 1. Капани с нулата и свойства на числата

Намерете стойността на израза: $A = (2025 - 25 \cdot 8 - 1825) \cdot 100 + 400$ .
$B$ е най-малкото нечетно четирицифрено число, записано с различни цифри.
$C$ е неизвестното число от равенството: $12 \cdot C : 4 = 630 + 70$ .

След като намерите числата $A$ , $B$ и $C$ , пресметнете: $(A \cdot 2) - B + C$ .

Задача 2. Съставна геометрия

Нива с правоъгълна форма има дължина, която е $3$ пъти по-голяма от нейната ширина.

Обиколката на нивата е $160$ метра.
Цялата нива трябва да бъде оградена с нова ограда, но е предвидено $4$ метра да бъдат оставени за входна врата без ограда.
Покрай едната по-дълга страна на нивата трябва да се засадят дръвчета през разстояние $4$ метра едно от друго (включително в началото и края на страната).

Намерете дължината и ширината на земята.
Колко метра ограда ще са необходими?
Колко дръвчета общо ще бъдат засадени покрай по-дългата страна?

Задача 3. Движение един срещу друг

Разстоянието между градовете А и Б е $180$ км. В $9:00$ ч. сутринта от град А тръгва лека кола със скорост $50$ км/ч, а от град Б тръгва камион със скорост $40$ км/ч.

В колко часа ще се срещнат двата автомобила?
На какво разстояние от град Б ще се срещнат?
Ако леката кола тръгне $30$ минути по-късно, колко километра ще е изминал камионът до момента на срещата им?

Комплект за подготовка 3

задача 1. Сложни изрази и сравнение

Намерете числата $A$ , $B$ и $C$ .

$A$ е стойността на израза: $1000 - (12 \cdot 12 + 1) \cdot 6 + (2025 - 1980) \cdot 2$ .
$B$ е неизвестното число $X$ от равенството: $4500 : 50 + X = 1000 - 879$ .
$C$ е числото, което има $9$ стотици, $15$ десетици и $7$ единици.

Подредете числата $A$ , $B$ и $C$ във възходящ ред (от най-малкото към най-голямото).

задача 2. Съставна геометрия

Правоъгълник има дължина $24$ дм и обиколка $60$ дм.

Намерете ширината на правоъгълника.
Намерете лицето на този правоъгълник в квадратни сантиметри ( $см^2$ ).
Квадрат има обиколка, равна на обиколката на дадения правоъгълник. Намерете лицето на квадрата в квадратни дециметри ( $дм^2$ ) и сравнете двете лица.

задача 3. Време и работа / календар

Иван прочел една книга за 4 дни. Първия ден прочел 18 страници. Всеки следващ ден четял с 5 страници повече от предишния ден.

Колко страници е прочел Иван през четвъртия ден?
Колко страници общо е прочел Иван за четирите дни?
Иван започнал да чете книгата на 29 ноември. Ако всяка следваща книга е с 10 страници по-дълга от предишната и продължава да чете по същия график (първата е тази от 4-те дни), на коя дата ще завърши четенето на третата книга?

Различни варианти на трета задача:

Тройно сравнение

$2$ броя тетрадки, $3$ броя химикалки и $1$ брой молив струват $11$ лв. $2$ тетрадки, $1$ химикалка и $1$ молив струват $9$ лв. $4$ химикалки и $2$ молива струват $12$ лв.

Колко струва един молив?
Колко струва една тетрадка?
Колко лева струват $1$ тетрадка, $1$ химикалка и $1$ молив?

…

Мама купила $5$ еднакви скъпи играчки и $4$ еднакви евтини играчки, като платила общо $66$ лв. Ако беше купила $2$ скъпи играчки и $4$ евтини играчки, щеше да плати $36$ лв.

Колко струва една скъпа играчка?
Колко струва една евтина играчка?
Колко най-много играчки (скъпи и евтини) може да купи с $100$ лв., ако броят на скъпите играчки е равен на броя на евтините?

Съотношение на възрасти

Когато Петър се е родил, баща му е бил на $25$ години. Сега бащата на Петър е два пъти по-млад от дядото на Петър.

Ако общият сбор от годините на Петър, баща му и дядо му сега е $110$ години, на колко години е сега Петър?
На колко години е дядото на Петър?
На колко години е бил дядото на Петър, когато се е родил бащата на Петър?

…

Бащата на Иван е 4 пъти по-възрастен от Иван. Дядото на Иван е с 30 години по-възрастен от бащата на Иван. Сборът от годините на тримата е $120$.

На колко години е Иван сега?
На колко години е бил дядото, когато се е родил бащата на Иван?
След колко години сборът от годините им ще стане $150$ ?

…

Иван е на $8$ години. Неговият баща е $4$ пъти по-възрастен от Иван. Дядото на Иван е с $10$ години по-млад от бащата и майката на Иван, взети заедно.

На колко години е майката на Иван, ако тя е $2$ години по-млада от бащата?
На колко години е бил дядото, когато се е родил бащата на Иван?
Колко години след сегашния момент сборът от годините на Иван, майката и бащата ще бъде $100$ ?

Движение и скорост

Двама велосипедисти тръгват едновременно един срещу друг от два града, разстоянието между които е $120$ км.

Първият велосипедист се движи със скорост $18$ км/ч.
Вторият велосипедист се движи със скорост $12$ км/ч.

Колко километра ще е разстоянието между тях след $3$ часа?
След колко часа двамата велосипедисти ще се срещнат?
Ако първият велосипедист спре да почива за $30$ минути след първия час на пътуване, колко километра ще е изминал вторият велосипедист до момента на тяхната среща?

…

Пешеходец и велосипедист тръгват едновременно от град А към град Б, като разстоянието е $70$ км. Скоростта на пешеходеца е $5$ км/ч, а на велосипедиста е $20$ км/ч.

Колко километра е разстоянието между тях след $2$ часа?
След като изминал половината път, велосипедистът спрял да почива $2$ часа. Колко часа след тръгването си велосипедистът е пристигнал в град Б?
Колко километра ще остават на пешеходеца до град Б в момента, в който велосипедистът пристигне?

…

Велосипедист трябва да измине $72$ км. Първите $4$ часа той се движил с постоянна скорост $12$ км/ч. След това увеличил скоростта си с $4$ км/ч.

Каква част от пътя е изминал през първите $4$ часа? (Отговорът да е дробна част).
Колко часа общо е продължило пътуването?
В колко часа е тръгнал велосипедистът, ако е пристигнал в $15:30$ ч.?

…

Алекс обикаля стадион с обиколка $800$ метра. Той тръгва в $10:00$ ч. и поддържа постоянна скорост $40$ м/мин.

Колко обиколки ще направи Алекс до $11:30$ ч. без да почива?
Ако на всеки $1600$ метра той спира за почивка от $5$ минути, колко обиколки ще е направил до $11:30$ ч.?
В колко часа Алекс е изминал $5$ км?

Баланс и тегло

Имате $5$ еднакви на вид ябълки, като знаете, че $4$ от тях имат едно и също тегло, а петата е малко по-тежка. Разполагате само с везна с две блюда (без теглилки).

Намерете броя на минималните претегляния, необходими, за да откриете по-тежката ябълка.
Опишете как ще процедирате при тези минимални претегляния.
Ако имате $9$ еднакви на вид монети, като едната е по-лека, колко претегляния са ви нужни, за да я откриете?

Работно време и производителност

Двама работници, Петър и Георги, копаят един канал. Петър копае по $15$ метра на ден, а Георги – по $12$ метра на ден. След $3$ дни работа, към тях се присъединява трети работник, Димитър, който копае по $18$ метра на ден. Каналът е дълъг $180$ метра.

Колко метра са изкопали Петър и Георги заедно за първите $3$ дни?
Колко метра остават за довършване на канала?
За колко дни общо е бил изкопан целият канал? (Броим започнат ден като цял!)

„Интересни“ числа

Наричаме „интересно“ всяко трицифрено число, в записа на което нито една цифра не е 0, и цифрата на стотиците е по-голяма от цифрата на единиците.

Колко са всички трицифрени числа, които могат да бъдат записани само с цифрите $1, 2$ и $3$ ?
Колко от тези трицифрени числа са „интересни“?
Колко общо са всички „интересни“ трицифрени числа?

…

Наричаме „интересно“ всяко трицифрено число, в което цифрата на десетиците е сборът на другите две цифри.

Колко са всички „интересни“ числа?
Кое е най-малкото „интересно“ число?
Колко са „интересните“ числа, които са по-малки от $400$ ?

Разпределение на остатък

Дядо Коледа раздавал подаръци. Ако раздаде подаръците на децата в едно село по $5$ на дете, ще му останат $3$ подаръка. Ако раздаде по $6$ подаръка, ще му останат $2$.

Намерете броя на децата в селото, ако знаете, че той е по-малък от 10.
Колко подаръка е имал Дядо Коледа?
Ако Дядо Коледа реши да раздаде подаръците по $7$ на дете, колко подаръка ще му останат?

…

Мария, Георги и Елена отишли на пазар. Мария купила $15$ ябълки, $20$ банана и $25$ портокала.

Мария раздала по равен брой от всеки плод на себе си, Георги и Елена. Колко общо плодове е получил всеки от тях?
Колко ябълки, банана и портокала общо са останали при Мария, ако остатъкът от ябълките го е дала на Георги, а остатъкът от бананите на Елена?
На пазара имало $40$ деца. Мария купила $80$ бонбона. Колко бонбона са останали за Мария, ако тя раздала на всяко момиче по $2$ бонбона, а на всяко момче по $1$ бонбон, и момчетата са били $6$ повече от момичетата?

По-редки (и по-трудни) варианти

а. Комбинаторика и числови свойства

„красиви“ числа (подобна на 2021 г.)

Наричаме „стъпаловидни“ всички четирицифрени числа, записани само с цифрите 1, 2, 3 и 4, в записа на които разликата между всеки две съседни цифри е точно 1.

Колко са всички възможни „стъпаловидни“ числа?
Колко от тези числа започват с цифрата 3?
Колко са четирицифрените „стъпаловидни“ числа, които са четни?

сбор на цифрите

Намерете всички трицифрени числа, чиято цифра на стотиците е $3$, а сборът от цифрите на десетиците и единиците е равен на цифрата на стотиците.

Колко на брой са тези трицифрени числа?
Кое е най-голямото такова число?
Намерете сбора на всички такива числа.

б. Логика на преливане и разпределение

преливане на течности

Разполагаме с две кофи – едната с вместимост $5$ литра, а другата с вместимост $3$ литра. Имаме неограничено количество вода.

Опишете как с тези две кофи можем да отмерим $4$ литра вода.
Колко е минималният брой преливания, необходими за да отмерим $4$ литра? (Едно преливане е пълнене, изпразване или прехвърляне от една кофа в друга.)
Може ли да отмерим $1$ литър и колко преливания са нужни?

разпределение с остатък

Ученици строят кула от кубчета. Ако подредят кубчетата в купове по $8$, остават $3$ кубчета. Ако подредят кубчетата в купове по $5$, остават $3$ кубчета.

Колко е минималният възможен брой кубчета, които имат учениците?
Ако броят на кубчетата е по-голям от 50, но по-малък от 100, колко са кубчетата?
Ако тези кубчета са били $75$ , колко кубчета ще останат, ако ги подредят в купове по $6$ ?

в. Задачи с време и интервали

сложно движение

Разстоянието от къщата на Митко до училището е $1$ км и $200$ метра. Митко тръгва в $7:45$ ч. и изминава разстоянието за $20$ минути.

С колко метра е намалявал пътят си Митко всяка минута, ако е изминавал всяка следваща минута с $10$ метра по-малко от предишната?
В колко часа ще пристигне в училище, ако почива $5$ минути след като е изминал първите $600$ метра?
С колко метра трябва да увеличи скоростта си на час, за да измине разстоянието за $15$ минути?

цикъл и календар

Едно семейство има стара стенен часовник, който изостава с $5$ минути на всеки $3$ часа. На $1$ януари в $12:00$ ч. го настроили точно.

Колко часа ще показва часовникът, когато е реално $12:00$ ч. на $2$ януари?
С колко часа общо ще е изостанал часовникът, когато се навършат $5$ пълни денонощия?
На коя дата и час часовникът ще изостане точно с $1$ час?

г. Логика на разпределение и пари

пропорционално тегло (подобна на 2011 г.)

$5$ еднакви кутии с бонбони тежат колкото $2$ еднакви пакета с вафли. $3$ такива пакета с вафли тежат $1500$ грама.

Колко тежи един пакет с вафли в грамове?
Колко грама тежи една кутия с бонбони?
Колко грама тежат $4$ кутии с бонбони и $6$ пакета с вафли общо?

скрит множител

$4$ кутии с бонбони тежат колкото $5$ кутии с бисквити. $3$ кутии с бисквити тежат колкото $2$ кутии с вафли.

Колко кутии с бисквити тежат колкото $8$ кутии с бонбони?
Колко кутии с вафли тежат колкото $12$ кутии с бисквити?
Колко кутии с бонбони тежат колкото $10$ кутии с вафли?

д. Абстрактна логика

истина или лъжа

Трима приятели – Асен, Борис и Васил – играят. Знае се, че точно един от тях винаги казва истината (И), а другите двама винаги лъжат (Л).

Техните твърдения са:

Асен (А): „Борис е лъжец.“
Борис (Б): „Асен и Васил казват истината“
Васил (В): „Борис казва истината“

Кой казва истината?
Какво е вярното твърдение за Васил? (Казва истина или лъжа)
Ако Борис каже: „Най-малко един от нас двамата с Асен казваме истината“, истина или лъжа е това?

…

геометрична комбинаторика

Имате правоъгълник с размери $4$ см на $3$ см, покрит с квадратни плочки със страна $1$ см.

Колко най-много $L$ -образни фигури, съставени от $3$ плочки $1$ см х $1$ см, могат да се изрежат от правоъгълника?
Колко различни правоъгълника можете да намерите в дадения правоъгълник $4$ см на $3$ см (броейки и самия него)?
Колко правоъгълника с обиколка $10$ см могат да бъдат намерени във вътрешността на правоъгълника $4$ см на $3$ см?