Уравнение на равнина. Уравнения на права в 3d. Направляващи косинуси.

Живеем в тримерно пространство. Правата и равнината са най-основните геометрични обекти в $\mathbb{R}^3$ . Чрез техните уравнения ние можем да моделираме и анализираме физически обекти и явления (например, траектория на полет, равнина на хоризонта, посока на сила).

Уравнение на равнина

Равнина в $\mathbb{R}^3$ се определя еднозначно от нормален вектор (перпендикулярен на равнината) $\vec{N} = (A, B, C)$ и една точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$ , през която минава.

1. Общо (Нормално) уравнение на равнина

Общото уравнение е:

Ax + By + Cz + D = 0

където $A, B, C$ са координатите на нормалния вектор $\vec{N}$ . Коефициентът $D$ се определя от точката $M_0$ .

2. Уравнение на равнина през точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$

Ако се знае точката $M_0$ и нормалният вектор $\vec{N}(A, B, C)$ , уравнението е:

A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0

3. Уравнение на равнина през три точки (допълн. бележки)

Три неколинеарни точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$, $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и $M_3(x_3, y_3, z_3)$ определят единствена равнина. Уравнението ѝ се намира, като се използва условието за компланарност на трите вектора $\vec{M_1M}$, $\vec{M_1M_2}$, и $\vec{M_1M_3}$. Това се изразява чрез смесено произведение равно на нула:

\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0

Уравнения на права в 3D

Праа $g$ в $\mathbb{R}^3$ се определя от една точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и направляващ вектор $\vec{a} = (a, b, c)$ , който е успореден на правата.

1. Скаларно параметрични уравнения

Те изразяват всяка точка $(x, y, z)$ от правата като функция на параметър $\lambda$ :

g: \begin{cases} x = x_0 + \lambda a \\ y = y_0 + \lambda b \\ z = z_0 + \lambda c \end{cases}

2. Канонично уравнение

Получава се, като се изрази $\lambda$ от параметричните уравнения (при $a, b, c \neq 0$ ):

g: \frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}

Числата $a, b, c$ са направляващите коефициенти.

3. Общо уравнение

Правата е зададена като пресечница на две равнини:

g: \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases}

Направляващи косинуси

Направляващите косинуси дават точна информация за посоката на една права (или вектор) в $\mathbb{R}^3$ . Те са косинусите на ъглите, които направляващият вектор $\vec{a} = (a, b, c)$ сключва с положителните посоки на координатните оси $Ox, Oy, Oz$ .

Нека $\lVert \vec{a} \rVert = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ е дължината на вектора. Направляващите косинуси са:

$\cos \alpha = \frac{a}{\lVert \vec{a} \rVert}$ (ъгъл с $Ox$ ос)
$\cos \beta = \frac{b}{\lVert \vec{a} \rVert}$ (ъгъл с $Oy$ ос)
$\cos \gamma = \frac{c}{\lVert \vec{a} \rVert}$ (ъгъл с $Oz$ ос)

Те имат важното свойство, че сумата от квадратите им е равна на единица:

\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1

Това е еквивалентната концепция на ъгловия коефициент ( $k$ ) от 2D, тъй като те изразяват посоката в три измерения.

V. Някои допълнителни бележки

1. Скаларно произведение ( $\cdot$ )

Използва се за проверка на перпендикулярност (ортогоналност).
- Права с направляващ вектор $\vec{a}$ е успоредна на равнина с нормален вектор $\vec{N}$ , ако $\vec{a} \cdot \vec{N} = 0$ .

2. Векторно произведение ( $\times$ )

Използва се за намиране на перпендикулярен (нормален) вектор.
- Векторът $\vec{N} = \vec{u} \times \vec{v}$ е перпендикулярен на равнината, определена от $\vec{u}$ и $\vec{v}$ .
- Изключително важно е за намиране на нормален вектор на равнина през три точки (като $\vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3}$ ) или направляващ вектор на права, зададена като пресечница на две равнини.

3. Базис и Линейна независимост

Компланарност (лежане в една равнина): Три вектора са компланарни (линейно зависими), ако смесеното им произведение е равно на нула. Това е основата за намиране на уравнение на равнина през три точки.

4. Взаимно положение на две равнини $(\Pi_1, \Pi_2)$

Определя се от връзката между техните нормални вектори $\vec{N_1}$ и $\vec{N_2}$:

| Условие | Геометрично положение | Алгебрично условие (Нормални вектори) |

| :– | :– | :– |

| $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$ | Успоредни | $\vec{N_1} \parallel \vec{N_2}$ (колинеарни) |

| $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$ | Съвпадащи | $\vec{N_1} \parallel \vec{N_2}$ и $D_1/D_2$ еднакво |

| Векторите не са колинеарни | Пресичат се в права | $\vec{N_1} \nVdash \vec{N_2}$ (линейно независими) |

Теоретични въпроси

Каква е геометричната интерпретация на общото уравнение на равнина $Ax + By + Cz + D = 0$ ?
Кой вектор се нарича нормален вектор на равнината и как се определят неговите координати от общото уравнение?
Може ли равнина да бъде определена от точка и вектор, който е успореден на равнината?
Каква е връзката между направляващия вектор на права и нормалните вектори на двете равнини, чиято пресечница е правата?
Формулирайте каноничното уравнение на права в $\mathbb{R}^3$ . Какво представляват числата в знаменателите?
Какво е условието за успоредност на две равнини?
Какво е условието за перпендикулярност на права и равнина?
Дефинирайте направляващи косинуси на права. Какво е основното свойство на техните квадрати?
Как се изчислява ъгълът между две равнини?
Как се изчислява ъгълът между права и равнина?
Кога две прави в $\mathbb{R}^3$ са кръстосани (skew)?

Основни задачи

Намерете общото уравнение на равнина, която минава през точка $M(1, 2, -3)$ и има нормален вектор $\vec{N}=(4, -1, 2)$ .
Намерете уравнението на права, минаваща през точките $A(1, 0, 5)$ и $B(-2, 3, 1)$ . (Използвайте канонична форма).
Дадена е равнината $3x - 2y + z - 6 = 0$ . Намерете координатите на нормалния вектор и точките на пресичане с координатните оси.
Дадена е правата $\frac{x-1}{2} = \frac{y+4}{3} = \frac{z}{-1}$ . Намерете скаларно параметричните уравнения на тази права.
Намерете ъгъла между двете равнини: $\Pi_1: x + y - z + 1 = 0$ и $\Pi_2: 2x - y + 3z - 5 = 0$ .
Намерете направляващите косинуси на правата, зададена с направляващ вектор $\vec{a} = (3, 0, 4)$ .
Проверете дали правата $g: x=1+3\lambda, y=-2-\lambda, z=4+2\lambda$ е успоредна на равнината $\Pi: 2x - 4y - 5z + 10 = 0$ .
Намерете уравнението на равнина, която минава през точка $M(0, 1, 0)$ и е перпендикулярна на правата $\frac{x-2}{1} = \frac{y+5}{2} = \frac{z-3}{-1}$ .
Дадени са три точки $A(1, 0, 0)$ , $B(0, 2, 0)$ и $C(0, 0, 3)$ . Намерете уравнението на равнината, минаваща през тези три точки.
Намерете координатите на точката на пресичане на правата $g: x=2+\lambda, y=1-\lambda, z=3$ и равнината $\Pi: x+y+z = 12$ .

Комбинирани задачи

Линейна независимост и равнина: Дадени са векторите $\vec{v}_1=(1, 2, 3)$ , $\vec{v}_2=(0, 1, 1)$ и $\vec{v}_3=(1, 1, 2)$ . Проверете дали тези вектори са линейно независими. Ако не са, намерете уравнението на равнината, определена от $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ , която минава през началото $O(0, 0, 0)$ .
Скаларно произведение и нормален вектор: Намерете уравнението на равнина, която минава през точка $M(2, 1, 0)$ и е перпендикулярна на вектора $\vec{AB}$ , където $A(1, 0, -1)$ и $B(3, 2, 1)$ .
Базис и права: Даден е базис $\mathcal{B}=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\}$ и правата $g$ , минаваща през точка $P(1, 1, 1)$ с направляващ вектор $\vec{a} = 2\vec{i} - \vec{j} + 3\vec{k}$ . Напишете каноничното уравнение на правата $g$ .
Проекция и равнина: Намерете ортогоналната проекция на вектора $\vec{v}=(4, -2, 3)$ върху нормалния вектор на равнината $x - 3y + 5z = 7$ .
Ъгъл между вектори и права: Намерете ъгъла между направляващия вектор на правата $g: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{\sqrt{2}}$ и вектора $\vec{w}=(1, 1, 0)$ .
Смяна на базис и равнина: Равнината $\Pi$ има нормален вектор $\vec{N}=(1, 2, -1)$ спрямо стандартния базис. Ако точка $P(3, 1, 0)$ лежи в равнината, напишете уравнението ѝ.
Линейна независимост и точка в равнина: Намерете стойността на $m$ , за която четирите точки $A(1, 0, 0)$ , $B(0, 1, 0)$ , $C(0, 0, 1)$ и $D(1, 1, m)$ са компланарни (лежат в една равнина).
Скаларно произведение и перпендикулярност: Намерете уравнението на права, която минава през точка $P(5, 0, 0)$ и е перпендикулярна едновременно на вектора $\vec{u}=(1, 0, 1)$ и на вектора $\vec{v}=(0, 1, 1)$ .
Направляващи косинуси и права: Права $g$ сключва ъгли $\alpha = 45^\circ$ с $Ox$ ос и $\beta = 60^\circ$ с $Oy$ ос. Намерете $\cos \gamma$ (направляващия косинус с $Oz$ ос) и напишете каноничното уравнение на правата, ако минава през $O(0, 0, 0)$ .
Базис и пресечница: Дадени са две равнини: $\Pi_1$ , зададена от нормален вектор $\vec{N}_1 = \vec{i} + 2\vec{j}$ и $\Pi_2$ , зададена от нормален вектор $\vec{N}_2 = \vec{j} - \vec{k}$ . Намерете направляващия вектор на правата $g$ , която е тяхна пресечница, като използвате векторно произведение $\vec{a} = \vec{N}_1 \times \vec{N}_2$ .