Векторна база в равнината и пространството. Разлагане

Векторна база

Векторна база (или просто база) в едно векторно пространство е набор от линейно независими вектори, които генерират цялото пространство.

Това означава, че всеки вектор от пространството може да се представи като линейна комбинация само на векторите от базата, при това по единствен начин.

База в равнината ($\mathbb{R}^2$)

• Определение: В равнината (2-мерно пространство) база е всеки набор от два (2) линейно независими вектора $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$.
• Линейна независимост: Означава, че векторите не са колинеарни (не лежат на една права или не са успоредни).
• Стандартна ортонормирана база (СОБ): Най-често използваната база е СОБ, съставена от два взаимно перпендикулярни (ортогонални) единични (с дължина 1) вектора:
  $$\mathbf{i}=(1,0) \text{ и } \mathbf{j}=(0,1) \text{}$$

База в пространството ($\mathbb{R}^3$)

• Определение: В пространството (3-мерно пространство) база е всеки набор от три (3) линейно независими вектора $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$.
• Линейна независимост: Означава, че векторите не са компланарни (не лежат в една равнина).
• Стандартна ортонормирана база (СОБ): Състои се от три взаимно перпендикулярни (ортогонални) единични (с дължина 1) вектора:
  $$\mathbf{i}=(1,0,0) \text{}$$
  $$\mathbf{j}=(0,1,0) \text{}$$
  $$\mathbf{k}=(0,0,1) \text{}$$

Разлагане на вектор

Разлагането на вектор по дадена база е процесът на представяне на този вектор като линейна комбинация на векторите от базата.

Числата, които участват като множители в тази комбинация, се наричат координати (или компоненти) на вектора спрямо тази база.

Разлагане в равнината

Ако $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ е база в равнината, то всеки вектор $\mathbf{a}$ може да бъде разложен по единствен начин като:

• $x$ и $y$ са координатите на вектора $\mathbf{a}$ спрямо базата $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$.
• В този случай записваме $\mathbf{a}=(x,y)$.
• Пример (по СОБ): Ако $\mathbf{a}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}$, то $\mathbf{a}$ има координати $(3,-2)$ спрямо СОБ $(\mathbf{i}, \mathbf{j})$.

Разлагане в пространството

Ако $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$ е база в пространството, то всеки вектор $\mathbf{a}$ може да бъде разложен по единствен начин като:

• $x, y$ и $z$ са координатите на вектора $\mathbf{a}$ спрямо базата $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3)$.
• В този случай записваме $\mathbf{a}=(x,y,z)$.
• Пример (по СОБ): Ако $\mathbf{a}=5\mathbf{i}+\mathbf{j}-4\mathbf{k}$, то $\mathbf{a}$ има координати $(5,1,-4)$ спрямо СОБ $(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$.

Ключово значение: Разлагането на вектори по база ни позволява да превърнем геометричните задачи (с вектори) в алгебрични (с координати), което значително улеснява извършването на изчисления.

Въпроси и задачи:

Въпроси (основни понятия и базис)

1. Колко вектора са необходими, за да образуват база в равнината ($\mathbb{R}^2$)?
2. Какво е задължителното условие за два вектора в $\mathbb{R}^2$, за да образуват база?
3. Кое е условието за линейна независимост на три вектора в пространството ($\mathbb{R}^3$)?
4. Как се наричат коефициентите ($\alpha, \beta$) в разлагането на вектор $\mathbf{a}=\alpha\mathbf{e}_1+\beta\mathbf{e}_2$?
5. В стандартната ортонормирана база в $\mathbb{R}^2$, кой базисен вектор има координати $(0,1)$?
6. Кое твърдение относно разлагането на вектор по база е вярно: „Разлагането е единствено“ или „Разлагането е възможно по много начини“?
7. В $\mathbb{R}^3$, ако даден вектор $\mathbf{a}$ има координати $(a,b,c)$, какво е неговото разлагане по векторите $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$?
8. Колко вектора са необходими за образуването на база в пространството $\mathbb{R}^3$?
9. Ако знаем координатите на два вектора в равнината според база, можем ли да намерим координатите на базисните вектори спрямо СОБ?

Ниво 2: Прости изчисления и проверки

9. Дадени са векторите $\mathbf{a}=(3,6)$ и $\mathbf{b}=(1,2)$ в $\mathbb{R}^2$. Образуват ли те база и защо?
10. Ако $\mathbf{a}$ има координати $(4,-5)$ в стандартната база $(\mathbf{i}, \mathbf{j})$, напишете разлагането на $\mathbf{a}$.
11. В $\mathbb{R}^3$ е даден вектор $\mathbf{a}=(1,-2,3)$. Напишете разлагането му по стандартната база $(\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k})$.
12. В $\mathbb{R}^2$ векторите $\mathbf{e}_1=(1,0)$ и $\mathbf{e}_2=(1,1)$ образуват база. Кои са координатите $(x,y)$ на вектора $\mathbf{a}=(3,2)$ спрямо тази база?
13. В $\mathbb{R}^3$ са дадени векторите $\mathbf{u}=(1,0,0)$, $\mathbf{v}=(0,1,0)$ и $\mathbf{w}=(2,2,0)$. Образуват ли те база и защо?
14. Ако $\mathbf{a}$ има координати $(2,-1)$ и $\mathbf{b}$ има координати $(1,3)$ спрямо една и съща база, кои са координатите на вектора $\mathbf{c}=3\mathbf{a}-2\mathbf{b}$ спрямо тази база?
15. Дадени са базисни вектори $\mathbf{a}=(2,1,0)$, $\mathbf{b}=(0,3,1)$, $\mathbf{c}=(-1,0,1)$ в $\mathbb{R}^3$. Намерете коефициентите $(x,y,z)$ в разлагането на $\mathbf{d}=x\mathbf{a}+y\mathbf{b}+z\mathbf{c}$, ако $\mathbf{d}=(1,7,3)$.
16. Кой е необходимият брой линейно независими вектори, за да генерират цялото пространство $\mathbb{R}^n$?
17. Дадени са векторите $\mathbf{a}=(k,3)$ и $\mathbf{b}=(4,-2)$. За коя стойност на $k$ векторите са колинеарни (т.е. не образуват база)?

Ниво 3: Приложения и трансформация на база

18. Векторите $\mathbf{e}_1=(1,3)$ и $\mathbf{e}_2=(2,1)$ образуват база в $\mathbb{R}^2$. Намерете координатите $(x,y)$ на вектора $\mathbf{a}=(3,-2)$ спрямо тази база.
19. Векторите $\mathbf{a}=(1,1,1)$, $\mathbf{b}=(1,0,0)$ и $\mathbf{c}=(0,1,0)$ образуват база в $\mathbb{R}^3$. Обяснете защо те са линейно независими.
20. В успоредник $ABCD$, ако $(\mathbf{AB}, \mathbf{AD})$ е база, как се разлага векторът на диагонала $\mathbf{AC}$ по тази база?
21. В $\mathbb{R}^3$ векторът $\mathbf{a}=(4,-1,3)$ е даден спрямо стандартната база. Ако се въведе нова база: $\mathbf{e}_1^{\prime}=(1,0,0)$, $\mathbf{e}_2^{\prime}=(1,1,0)$, $\mathbf{e}_3^{\prime}=(1,1,1)$, намерете новите координати $(x^{\prime},y^{\prime},z^{\prime})$ на $\mathbf{a}$ спрямо нея.
22. За векторите $\mathbf{a}=(a_1,a_2)$ и $\mathbf{b}=(b_1,b_2)$ какво трябва да е изпълнено за детерминантата на матрицата, образувана от двата вектора, за да са те база в $\mathbb{R}^2$?
23. В триъгълник $ABC$, точка $M$ е средата на страната $BC$. Ако $(\mathbf{AB}, \mathbf{AC})$ е база, как се разлага векторът на медианата $\mathbf{AM}$ по тази база (изразете с дроби)?
24. Дадени са векторите $\mathbf{a}=(1,2,-1)$, $\mathbf{b}=(0,1,k)$ и $\mathbf{c}=(2,3,0)$. За коя стойност на параметъра $k$ тези вектори не образуват база в $\mathbb{R}^3$?
25. В база $(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$ на $\mathbb{R}^2$, векторът $\mathbf{a}$ има координати $(x,y)$. Ако новата база е $\mathbf{e}_1^{\prime}=\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2$ и $\mathbf{e}_2^{\prime}=\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2$, намерете новите координати $(x^{\prime},y^{\prime})$ на $\mathbf{a}$. (Резултатът да бъде изразен с $x$ и $y$)

Преговорни въпроси (вектори, скалари, координати, зависимост)

26. Проекция на вектор: В $\mathbb{R}^2$, векторът $\mathbf{a}=(3,4)$ е разложен по стандартната база $(\mathbf{i},\mathbf{j})$. Каква е проекцията на вектора $\mathbf{a}$ върху оста $Ox$ (посоката на $\mathbf{i}$)?
27. Координати на вектор: В $\mathbb{R}^2$, намерете координатите на вектора $\mathbf{AB}$, ако координатите на точките са $A(5,-1)$ и $B(2,3)$.
28. Линейна комбинация (събиране): Ако $\mathbf{a}=(3,-1,4)$ и $\mathbf{b}=(-2,5,0)$, намерете координатите на вектора $\mathbf{c}=2\mathbf{a}+\mathbf{b}$.
29. Колинеарност (линейна зависимост в $\mathbb{R}^2$): За коя стойност на $k$ векторите $\mathbf{u}=(4,k)$ и $\mathbf{v}=(-2,3)$ са колинеарни?
30. Скаларно произведение: Какво е скаларното произведение $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ на векторите $\mathbf{a}=(1,2,-3)$ и $\mathbf{b}=(4,-1,2)$?
31. Ортогоналност: Кое от следните твърдения е вярно за два ненулеви вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, ако тяхното скаларно произведение $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$?
32. Модул (дължина) на вектор: Намерете дължината (модула) на вектора $\mathbf{a}=(-3,0,4)$.
33. Линейна зависимост в $\mathbb{R}^3$: Три вектора $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ в $\mathbb{R}^3$ са линейно зависими, ако:
34. Единичен вектор: Намерете единичния вектор $\mathbf{a}_0$, който има същата посока като вектора $\mathbf{a}=(6,-8)$.
35. Разлагане по база (геометрично): В трапец $ABCD$ $(\mathbf{AB}||\mathbf{CD})$, ако $\mathbf{e}_1=\mathbf{AD}$ и $\mathbf{e}_2=\mathbf{AB}$ са базисни вектори, и $M$ е средата на $BC$, как се разлага векторът $\mathbf{DM}$ по тази база, ако $|\mathbf{AB}|=2|\mathbf{CD}|$?