Вектори – въведение

Един вектор е математически обект, който има едновременно големина (дължина) и посока. Той се използва за представяне на величини като сила, скорост или преместване. В геометрията векторът често се представя като насочена отсечка (стрелка).

Координати

Координатите ни помагат да опишем точно местоположението на една точка или компонентите на един вектор в пространството.

2D Пространство (Двумерно)

• В двумерно пространство (равнината) използваме две взаимно перпендикулярни оси: $x$-ос (хоризонтална) и $y$-ос (вертикална).
• Вектор $\mathbf{v}$ се задава с две компоненти: $\mathbf{v} = \langle v_x, v_y \rangle$.
• Например, вектор $\langle 3, 4 \rangle$ започва от началото на координатната система (0, 0) и отива 3 единици надясно и 4 единици нагоре.

3D Пространство (Тримерно)

• В тримерно пространство добавяме трета ос: $z$-ос, която е перпендикулярна на $x$ и $y$ осите.
• Вектор $\mathbf{v}$ се задава с три компоненти: $\mathbf{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle$.
• Например, $\langle 2, -1, 5 \rangle$.

Големина (Модул) на Вектор

Големината (наричана още модул или дължина) на един вектор, $|\mathbf{v}|$, се изчислява чрез обобщение на Питагоровата теорема. Тя показва колко е дълга стрелката, представляваща вектора.

• В 2D: За $\mathbf{v} = \langle v_x, v_y \rangle$:
  $$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$$
• В 3D: За $\mathbf{v} = \langle v_x, v_y, v_z \rangle$:
  $$|\mathbf{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$$

Основни Операции с Вектори

Нека имаме два вектора: $\mathbf{a} = \langle a_x, a_y \rangle$ и $\mathbf{b} = \langle b_x, b_y \rangle$ (принципите са същите и за 3D).

Събиране на Вектори

Събирането се извършва покомпонентно.

• Геометрично: Събирането на вектори може да се представи по правилото на триъгълника или правилото на успоредника. Резултантният вектор започва от началото на първия вектор и завършва в края на втория, когато началото на втория е поставено в края на първия.

Изваждане на Вектори

Изваждането също се извършва покомпонентно.

• Геометрично: $\mathbf{a} – \mathbf{b}$ е еквивалентно на $\mathbf{a} + (-\mathbf{b})$, където $-\mathbf{b}$ е вектор със същата големина като $\mathbf{b}$, но с обратна посока. Векторът $\mathbf{a} – \mathbf{b}$ сочи от върха на $\mathbf{b}$ към върха на $\mathbf{a}$ (при общо начало).

Скалари

Скаларът е просто число, което има само големина, но няма посока (например маса, температура, време). Скаларите се използват за мащабиране на вектори.

• Умножение на вектор със скалар ($k$): При умножение на вектор $\mathbf{v}$ с число $k$, всяка компонента на вектора се умножава по $k$.
  $$k \mathbf{v} = \langle k v_x, k v_y \rangle$$

  Резултатът е вектор с променена големина (и евентуално обърната посока, ако $k$ е отрицателно).

Скаларно Произведение (‘Дот’ Произведение)

Скаларното произведение (наричано още дот произведение) е операция, която приема два вектора и връща скалар (число). То е полезно, например, за намиране на ъгъла между два вектора или за изчисляване на работа във физиката.

• Изчисляване по компоненти: За $\mathbf{a} = \langle a_x, a_y \rangle$ и $\mathbf{b} = \langle b_x, b_y \rangle$:
  $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_x b_x + a_y b_y$$

  (В 3D се добавя и $a_z b_z$).

• Геометрична дефиниция: Скаларното произведение е свързано с ъгъла $\theta$ между векторите:
  $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)$$
• Важен Извод: Ако скаларното произведение на два ненулеви вектора е нула ($\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$), то векторите са перпендикулярни (ортогонални), тъй като $\cos(90^\circ) = 0$.

Въпроси

Основни понятия

1. Какво е векторът като математически обект и кои са двете му основни характеристики?
2. Каква е разликата между векторна и скаларна величина? Дайте пример за всяка.
3. Какъв е смисълът на координатите $(x; y)$ на един вектор в равнината?
4. Как се означава един вектор, който започва в точка $A$ и завършва в точка $B$?
5. Какво е нулев вектор и какви са неговите координати?

Координати и големина

6. Как се намират координатите на вектора $\vec{AB}$, ако са дадени началната му точка $A(x_1; y_1)$ и крайната му точка $B(x_2; y_2)$?
7. Как се изчислява големината (дължината) на един вектор $\vec{a}$ с координати $(x,y)$?
8. Какво представлява единичният вектор (орт) и каква е неговата дължина?
9. Какво трябва да е условието, за да са два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равни?
10. Ако два вектора имат равни координати, какво може да се каже за тяхната посока и големина?

Операции с Вектори и Скалари

11. Какво се получава като резултат от събирането на два вектора: вектор или скалар?
12. Опишете как се извършва събирането на вектори, използвайки техните координати.
13. Какво се случва с посоката на вектор $\vec{a}$, когато той бъде умножен с отрицателен скалар $k$?
14. Как се изразяват координатите на вектора $5\cdot \vec{c}$ ако $\vec{c}$ има координати $(x; y)$?
15. Каква геометрична интерпретация има операцията изваждане на два вектора?

Скаларно Произведение

16. Какво е скаларно произведение на два вектора и какъв е резултатът от тази операция (вектор или скалар)?
17. Как се изчислява скаларното произведение на векторите $\vec{a}=(x_1; y_1)$ и $\vec{b}=(x_2; y_2)$ чрез техните координати?
18. Какво е геометричното условие, при което скаларното произведение на два ненулеви вектора е равно на нула?
19. Какво може да се каже за посоката на два вектора, ако тяхното скаларно произведение е положително?
20. Как се използва скаларното произведение за намиране на дължината на един вектор?
21. Какъв е резултатът от векторното произведение на два вектора: вектор или скалар?
22. В кое пространство (двумерно или тримерно) може да се дефинира векторното произведение?
23. Каква е посоката на вектора, получен от векторното произведение $\vec{a}\times \vec{b}$, спрямо векторите $\vec{a}$ и $\vec{b}$?

Общи

24. Как може да използваш векторите, за да докажеш, че две отсечки са успоредни?
25. Как се намира ъгълът $\phi$ между два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$, използвайки скаларното произведение? (Формула)

Приложения

Във физиката и механиката

1. Как се използва векторът за представяне на сила във физиката? Каква информация дават неговата големина и посока?
2. Ако сила $\vec{F_1}$ и сила $\vec{F_2}$ действат едновременно върху едно тяло, коя векторна операция се използва за намиране на равнодействащата сила?
3. Какво се случва с вектора на скоростта на едно тяло, когато той се умножи със скалара, представляващ изминалото време, за да се намери векторът на преместването?
4. В кой случай се казва, че векторите на скоростта и на ускорението са колинеарни (лежат на една права)?
5. Как може да се използва скаларното произведение на вектора на силата $\vec{F}$ и вектора на преместването $\vec{s}$ за изчисляване на механичната работа $(W)$?

В геометрията

6. Как векторите се използват за доказване, че четириъгълникът $ABCD$ е успоредник? (Трябва да се използват равни вектори).
7. Как чрез вектори може да се определи дали три точки $A$, $B$ и $C$ лежат на една права (са колинеарни)?
8. Какво показва резултатът от скаларното произведение на два вектора, които представляват страните на триъгълник, за ъгъла между тези страни?
9. Как се използва координатното представяне на вектори за намиране на средата на отсечката $AB$? (Необходимо е събиране и деление със скалар).
10. Ако две прави са перпендикулярни, какво е условието за скаларното произведение на техните нормални вектори?

Координати и Разширения

11. Какво допълнително се използва при векторите в тримерното пространство $(x; y; z)$, за да се опишат процеси в реалния свят (например полети на самолети)?
12. Какво е радиус-вектор $\vec{r}$ и каква е връзката му с координатите на точката, която определя?
13. Как се изразява координатно линейна комбинация на два вектора, например $2\cdot \vec{a}+3\cdot \vec{b}$?
14. Какво е значението на посочните косинуси на един вектор в тримерното пространство? (Свързани са с ъглите, които векторът сключва с координатните оси).
15. Каква е разликата между положенията на две точки, дадени с техните радиус-вектори $\vec{r_A}$ и $\vec{r_B}$, и как се намира векторът на преместването между тях?

Задачи

Ниво 1: Основни

1. Координати на вектор: Дадени са точки $A(2; 1)$ и $B(5; 7)$. Намерете координатите на вектора $\vec{AB}$.
2. Дължина на вектор: Намерете дължината (големината) на вектора $\vec{a}$ с координати $(-3; 4)$.
3. Събиране на вектори: Дадени са векторите $\vec{u}(1; -2)$ и $\vec{v}(4; 3)$. Намерете координатите на вектора $\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}$.
4. Умножение със скалар: Векторът $\vec{b}$ има координати $(6; -9)$. Намерете координатите на вектора $\frac{1}{3}\cdot \vec{b}$.
5. Скаларно произведение: Изчислете скаларното произведение на векторите $\vec{a}(2; 5)$ и $\vec{b}(-1; 3)$.

Ниво 2: Средни

6. Изваждане на вектори: Намерете координатите на вектора $\vec{m}=2\cdot \vec{p}-\vec{q}$, ако $\vec{p}(3; 0)$ и $\vec{q}(-1; 5)$.
7. Равенство на вектори: Дадени са точки $A(x; 4)$, $B(5; 1)$ и $C(0; 2)$, $D(3; -1)$. Намерете стойността на $x$ така че вектор $\vec{AB}$ да е равен на вектор $\vec{CD}$.
8. Единичен вектор: Намерете координатите на единичния вектор (орта) $\vec{e}$ със същата посока като вектора $\vec{d}(8; -6)$.
9. Колинеарност: Определете дали векторите $\vec{a}(-2; 6)$ и $\vec{b}(1; -3)$ са колинеарни (лежат на една права).
10. Перпендикулярност: Даден е вектор $\vec{u}(4; y)$. Намерете $y$, така че $\vec{u}$ да бъде перпендикулярен на вектора $\vec{v}(-2; 1)$.
11. Приложение в геометрията: Дадени са три върха на успоредник $A(1; 0)$, $B(4; 2)$, $C(5; 5)$. Намерете координатите на четвъртия връх $D$.
12. Комбинирана операция: Дадени са вектори $\vec{k}(2; 3)$ и $\vec{l}(-1; 4)$. Намерете дължината на вектора $\vec{r}=3\cdot \vec{k}+\vec{l}$.

Ниво 3: Предизвикателни

13. Ъгъл между вектори: Намерете косинуса на ъгъла $\phi$ между векторите $\vec{a}(1; 1)$ и $\vec{b}(0; 2)$.
14. Проекция: Намерете дължината на ортогоналната проекция на вектора $\vec{u}(6; 0)$ върху вектора $\vec{v}(3; 4)$.
15. Линейна комбинация: Намерете скаларите $x$ и $y$, така че векторът $\vec{w}(7; 4)$ да бъде представен като линейна комбинация на $\vec{a}(1; 2)$ и $\vec{b}(3; 1)$, тоест $\vec{w}=x\cdot \vec{a}+y\cdot \vec{b}$.
16. Векторно приложение: В триъгълник $ABC$ е дадено, че $\vec{AM}=\frac{1}{2}\cdot \vec{AB}$ и $\vec{AN}=\frac{1}{3}\cdot \vec{AC}$. Изразете вектора $\vec{MN}$ чрез $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.
17. Точка върху отсечка: Отсечката $AB$, с $A(-1; 5)$ и $B(4; 0)$ е разделена от точка $P$ в отношение $2:3$, тоест $\vec{AP}=\frac{2}{5}\cdot \vec{AB}$. Намерете координатите на точка $P$.
18. Задача от физиката: Две сили $\vec{F_1}(-3; 5)$ и $\vec{F_2}(7; 1)$ действат върху една точка. Намерете големината на равнодействащата сила $\vec{R}$.
19. Вектори в пространството: Дадени са вектори в пространството $\vec{u}(1; 2; 3)$ и $\vec{v}(-1; 4; 0)$. Намерете координатите на вектора $2\cdot \vec{u}-\vec{v}$.
20. Скаларно произведение в пространството: Дадени са вектори $\vec{a}(3; 0; -2)$ и $\vec{b}(1; 5; 4)$. Изчислете скаларното произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$.

Ниво 3+: Предизвикателни

21. Ъгъл Между Вектори

    Намерете ъгъла $\phi$ между векторите $\vec{u}=\langle1,1\rangle$ и $\vec{v}=\langle0,2\rangle$.

22. Векторно Произведение ($\mathbb{R}^3$)

    В тримерното пространство, намерете векторното произведение $\vec{a}\times \vec{b}$, ако $\vec{a}=\langle1,0,3\rangle$ и $\vec{b}=\langle2,-1,0\rangle$.

23. Лице на Успоредник ($\mathbb{R}^2$)

    Намерете лицето на успоредника, образуван от векторите $\vec{u}=\langle2,4\rangle$ и $\vec{v}=\langle1,3\rangle$.

24. Линейна Комбинация

    Разложете вектора $\vec{c}=(8,1)$ по векторите $\vec{a}=\langle2,3\rangle$ и $\vec{b}=(4,-1)$, т.е., намерете скаларите $x$ и $y$ така, че $\vec{c}=x\vec{a}+y\vec{b}$.

25. Намиране на Скалар $(k)$

    Дадени са векторите $\vec{a}=\langle k,3\rangle$ и $\vec{b}(-2,5)$. Намерете $k$, така че скаларното произведение $\vec{a}\cdot \vec{b}$ да е равно на 9.

26. Косинус на Ъгъл в Триъгълник

    Триъгълникът $ABC$ е зададен с върхове $A(1,1)$, $B(4,1)$ и $C(3,5)$. Намерете косинуса на ъгъла при върха $A$ (ъгъла между векторите $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$).

27. Неравенство на Коши-Шварц (Доказателство)

    Докажете, че за всеки два вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ е изпълнено неравенството на Коши-Шварц:

    $$|\vec{a} \cdot \vec{b}|\leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$$
28. Обем на Паралелепипед (Смесено Произведение)

    Намерете обема на паралелепипеда, построен върху векторите $\vec{a}=(1,2,0)$, $\vec{b}=\langle0,1,1\rangle$ и $\vec{c}=\langle3,0,1\rangle$.