Какво учим в пети клас по математика - Школа по математика София-Мат

Накратко учебната програма по математика по теми:

Кратно и делител на естествено число

Кратно на естествено число е всяко число, което се получава при умножението на даденото число по друго естествено число. Например, кратните на 3 са 3, 6, 9, 12 и т.н. (3х1, 3х2, 3х3, 3х4).
Делител на естествено число е всяко число, на което даденото число се дели без остатък. Например, делителите на 12 са 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Делимост на сбор и произведение

Делимост на сбор: Ако всяко събираемо в един сбор се дели на дадено число, то и сборът се дели на това число. Например, ако 6 се дели на 3 и 9 се дели на 3, то (6+9)=15 също се дели на 3.
Делимост на произведение: Ако поне един от множителите в едно произведение се дели на дадено число, то и произведението се дели на това число. Например, ако 4 се дели на 2, то (4х5)=20 също се дели на 2.

Признаци за делимост на 2, 5, 10, 3 и 9

На 2: Едно число се дели на 2, ако последната му цифра е четна (0, 2, 4, 6, 8).
На 5: Едно число се дели на 5, ако последната му цифра е 0 или 5.
На 10: Едно число се дели на 10, ако последната му цифра е 0.
На 3: Едно число се дели на 3, ако сборът от цифрите му се дели на 3.
На 9: Едно число се дели на 9, ако сборът от цифрите му се дели на 9.

Прости и съставни числа

Просто число е естествено число, по-голямо от 1, което има точно два делителя: 1 и самото себе си. Примери: 2, 3, 5, 7, 11…
Съставно число е естествено число, по-голямо от 1, което има повече от два делителя. Примери: 4 (делители: 1, 2, 4), 6 (делители: 1, 2, 3, 6)…
Числото 1 не е нито просто, нито съставно.

Представяне на естествените числа като произведение от прости множители

Всяко съставно число може да се представи по единствен начин като произведение от прости множители. Този процес се нарича разлагане на прости множители. Например, $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$ .

НОД и НОК на естествени числа

НОД (Най-голям общ делител): Най-голямото естествено число, на което се делят без остатък две или повече дадени естествени числа. За да го намерим, разлагаме числата на прости множители и вземаме общите множители на най-ниска степен. Например, НОД(12, 18) = 6.
НОК (Най-малко общо кратно): Най-малкото естествено число, което е кратно на две или повече дадени естествени числа. За да го намерим, разлагаме числата на прости множители и вземаме всички множители на най-висока степен. Например, НОК(12, 18) = 36.

Обикновени дроби. Правилна и неправилна дроб

Обикновена дроб е израз от вида $b a$ , където $a$ е числител, $b$ е знаменател, а $b \neq = 0$ . Знаменателят показва на колко равни части е разделено цялото, а числителят – колко такива части са взети.
Правилна дроб: Дроб, при която числителят е по-малък от знаменателя ( $a < b$ ). Например, $5 3$ . Стойността на правилната дроб е между 0 и 1.
Неправилна дроб: Дроб, при която числителят е по-голям или равен на знаменателя ( $a \geq b$ ). Например, $4 7$ или $5 5$ . Стойността на неправилната дроб е по-голяма или равна на 1.

Основно свойство на дробите. Разширяване и съкращаване на дроби

Основно свойство на дробите: Стойността на една дроб не се променя, ако умножим или разделим числителя и знаменателя с едно и също естествено число, различно от нула.
Разширяване на дроби: Умножаване на числителя и знаменателя на дроб с едно и също естествено число, за да получим еквивалентна дроб с по-голям знаменател. Например, $2 1 = 2 \times 3 1 \times 3 = 6 3$ .
Съкращаване на дроби: Делене на числителя и знаменателя на дроб с общ делител, за да получим еквивалентна дроб с по-малък знаменател. Например, $8 4 = 8 \div 4 4 \div 4 = 2 1$ . Дробта е несъкратима, когато числителят и знаменателят нямат общи делители, освен 1.

Привеждане на обикновени дроби към общ знаменател

За да събираме, изваждаме или сравняваме дроби с различни знаменатели, трябва да ги приведем към общ знаменател. Най-често се използва най-малък общ знаменател (НОЗ), който е НОК на знаменателите. Например, за $3 1$ и $4 1$ , НОЗ е 12. Тогава $3 1 = 12 4$ и $4 1 = 12 3$ .

Сравняване на обикновени дроби и изобразяване на обикновени дроби върху числов лъч

Сравняване: За да сравним дроби, ги привеждаме към общ знаменател. Дробта с по-голям числител е по-голяма. Ако имат равни знаменатели, сравняваме числителите.
Изобразяване върху числов лъч: За да изобразим дроб $b a$ върху числов лъч, разделяме отсечката от 0 до 1 на $b$ равни части и отброяваме $a$ такива части от 0.

Събиране и изваждане на обикновени дроби с равни знаменатели

Събиране: Събираме числителите, а знаменателят остава същият. Например, $7 2 + 7 3 = 7 2 + 3 = 7 5$ .
Изваждане: Изваждаме числителите, а знаменателят остава същият. Например, $7 6 - 7 3 = 7 6 - 3 = 7 3$ .

Смесени числа. Преминаване от смесено число в неправилна дроб и обратно

Смесено число се състои от цяла част и правилна дроб. Например, $2 3 1$ .
От смесено число в неправилна дроб: Умножаваме цялата част по знаменателя и добавяме числителя. Резултатът става нов числител, а знаменателят остава същият. Например, $2 3 1 = 3 2 \times 3 + 1 = 3 7$ .
От неправилна дроб в смесено число: Делим числителя на знаменателя. Частното е цялата част, а остатъкът е новият числител на дробта, чийто знаменател остава същият. Например, $3 7 = 2$ с остатък $1$ , така че $3 7 = 2 3 1$ .

Събиране и изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели

Първо привеждаме дробите към общ знаменател, а след това събираме или изваждаме числителите, както при дроби с равни знаменатели. Например, $2 1 + 3 1 = 6 3 + 6 2 = 6 5$ .

Умножение и деление на обикновени дроби

Умножение: Умножаваме числител по числител и знаменател по знаменател. Може да се съкращава на кръст преди умножението. Например, $3 2 \times 5 4 = 3 \times 5 2 \times 4 = 15 8$ .
Деление: Умножаваме първата дроб по реципрочната (обърнатата) на втората дроб. Например, $3 2 \div 5 4 = 3 2 \times 4 5 = 12 10 = 6 5$ .

Част от число. Основни задачи

Намирането на част от число означава умножаване на числото по дадената дроб.

Намиране на част от цяло: $5 2$ от 20 е $5 2 \times 20 = 8$ .
Намиране на цяло по дадена част: Ако $5 2$ от числото е 8, то числото е $8 \div 5 2 = 8 \times 2 5 = 20$ .

Десетични дроби. Четене и писане на десетични дроби

Десетична дроб е начин за записване на дроб със знаменател степен на 10 (10, 100, 1000 и т.н.). Разделителят на цялата от дробната част е десетична запетая (или точка).

Четене: $0.5$ се чете „нула цяло и пет десети“; $3.25$ се чете „три цяло и двадесет и пет стотни“.
Писане: Броят на цифрите след запетаята показва степента на 10 в знаменателя.

Сравняване и изобразяване на десетични дроби

Сравняване: Първо сравняваме целите части. Ако са равни, сравняваме цифрите след десетичната запетая отляво надясно. Можем да добавяме нули в края на десетичната дроб, без да променяме стойността ѝ, за да изравним броя на цифрите след запетаята. Например, $0.5$ е по-голямо от $0.45$ , защото $0.50 > 0.45$ .
Изобразяване: Подобно на обикновените дроби, десетичните дроби се изобразяват върху числов лъч, като се разделят съответните интервали на десети части.

Закръгляване

Закръгляването е процес на приближаване на дадено число до най-близкото число с по-малко цифри или до определен разред.

Ако първата отпадаща цифра е 5 или по-голяма, предишната цифра се увеличава с 1.
Ако първата отпадаща цифра е по-малка от 5, предишната цифра остава същата. Например, $3.1415$ закръглено до стотни е $3.14$ . $3.145$ закръглено до стотни е $3.15$ .

Събиране и изваждане на десетични дроби

Подреждаме числата така, че десетичните запетаи да са една под друга. Извършваме операцията, сякаш числата са цели, и поставяме десетичната запетая на същото място. Може да се добавят нули в края на дробната част, за да се изравнят броят на цифрите. Пример: $2.5 + 1.35 = 2.50 + 1.35 = 3.85$ .

Умножение и деление на десетични дроби

Умножение: Умножаваме числата, сякаш са цели, без да обръщаме внимание на запетаите. В крайния резултат броят на цифрите след запетаята е равен на сбора от броя на цифрите след запетаята в множителите. Например, $0.2 \times 0.3 = 0.06$ (една цифра + една цифра = две цифри след запетаята).
Деление: При деление на десетична дроб на десетична дроб, преместваме десетичната запетая в делителя докрай вдясно, като преместваме и в делимото със същия брой позиции. След това извършваме делението, сякаш делителят е цяло число. Например, $1.2 \div 0.4 = 12 \div 4 = 3$ .

Умножение и деление на десетична дроб с 10, 100, 1000 и т.н.

Умножение: Преместваме десетичната запетая надясно с толкова позиции, колкото са нулите в множителя (10, 100, 1000…). Например, $3.14 \times 100 = 314$ .
Деление: Преместваме десетичната запетая наляво с толкова позиции, колкото са нулите в делителя (10, 100, 1000…). Например, $314 \div 100 = 3.14$ .

Преминаване от една мерна единица в друга

Включва преобразуване на величини между различни мерни единици (например, сантиметри в метри, грамове в килограми). Това често включва умножение или деление с 10, 100, 1000 и т.н.

$1 m = 100 cm$
$1 kg = 1000 g$

Превръщане на десетични дроби в обикновени и обратно

Десетична в обикновена: Записваме числото без запетаята като числител, а в знаменател пишем 1, последвана от толкова нули, колкото са цифрите след запетаята. След това съкращаваме дробта. Например, $0.25 = 100 25 = 4 1$ .
Обикновена в десетична: Делим числителя на знаменателя. Например, $4 3 = 3 \div 4 = 0.75$ .

Процент. Основни задачи

Процент (%) означава „на сто“ или „стотна част“. Едно число $p %$ е равно на $100 p$ .

Намиране на процент от число: Умножаваме числото по процента, записан като десетична или обикновена дроб. Например, 20% от 50 е $0.20 \times 50 = 10$ .
Намиране на цяло по даден процент: Ако 20% от число е 10, то числото е $10 \div 0.20 = 50$ .
Намиране на какъв процент е едно число от друго: Делим първото число на второто и умножаваме по 100%. Например, 10 от 50 е $50 10 \times 100% = 20%$ .

Основни геометрични фигури

Преговор на основни понятия като точка, права, отсечка, лъч, ъгъл, равнина.

Перпендикулярни прави. Разстояние от точка до права

Перпендикулярни прави: Две прави, които се пресичат под ъгъл от $9 0^{\circ}$ (прав ъгъл).
Разстояние от точка до права: Дължината на отсечката, спусната перпендикулярно от точката към правата. Това е най-късото разстояние от точката до правата.

Триъгълник. Елементи. Видове триъгълници

Триъгълник: Геометрична фигура с три страни и три ъгъла.
Елементи: Върхове, страни, ъгли.
Видове триъгълници:
- Според страни:
  - Разностранен: Всички страни са с различна дължина.
  - Равнобедрен: Има две равни страни (бедра) и ъгли при основата са равни.
  - Равностранен: Всички страни са равни и всички ъгли са $6 0^{\circ}$ .
- Според ъгли:
  - Остроъгълен: Всички ъгли са остри (по-малки от $9 0^{\circ}$ ).
  - Правоъгълен: Има един прав ъгъл ( $9 0^{\circ}$ ). Страните, образуващи правия ъгъл, се наричат катети, а срещулежащата страна е хипотенуза.
  - Тъпоъгълен: Има един тъп ъгъл (по-голям от $9 0^{\circ}$ ).

Лице на правоъгълен и произволен триъгълник

Лице на правоъгълен триъгълник: $S = 2 1 \times катет_{1} \times катет_{2}$ .
Лице на произволен триъгълник: $S = 2 1 \times основа \times височина$ . Височината е перпендикулярът от върха към срещулежащата страна (основа).

Успоредни прави, успоредник, ромб

Успоредни прави: Две прави в една равнина, които не се пресичат.
Успоредник: Четириъгълник, на който срещуположните страни са успоредни и равни, а срещуположните ъгли са равни.
Ромб: Успоредник с четири равни страни. Диагоналите му са взаимно перпендикулярни и разполовяват ъглите.

Лице на успоредник и ромб

Лице на успоредник: $S = страна \times височина към тази страна$ .
Лице на ромб: $S = 2 1 \times d_{1} \times d_{2}$ , където $d_{1}$ и $d_{2}$ са дължините на диагоналите. Може да се намери и като лице на успоредник.

Трапец. Видове. Обиколка на трапец

Трапец: Четириъгълник, който има точно две успоредни страни (основи) и две неуспоредни страни (бедра).
Видове трапец:
- Разностранен: Всички страни са с различна дължина.
- Равнобедрен: Бедрата са равни, ъглите при основите са равни, диагоналите са равни.
- Правоъгълен: Има поне един прав ъгъл. Едно от бедрата е перпендикулярно на основите.
Обиколка на трапец: $P = сбор от дължините на всички страни$ .

Лице на трапец

Лице на трапец: $S = 2 a + b \times h$ , където $a$ и $b$ са дължините на основите, а $h$ е височината (перпендикулярното разстояние между основите).

Куб. Елементи и развивка

Куб: Триизмерно тяло (многостен) с шест квадратни стени (лица), дванадесет ръба и осем върха. Всички ръбове са равни по дължина.
Елементи: Върхове, ръбове, стени (лица).
Развивка: Плоска фигура, която може да се сгъне, за да образува куба. Състои се от шест квадрата, свързани по ръбовете си.

Лице на повърхнина и обем на куб. Мерни единици за обем

Нека $a$ е дължината на ръба на куба.

Лице на повърхнина (S): Сбор от лицата на всички стени. $S = 6 \times a^{2}$ .
Обем (V): Мярка за пространството, заемано от тялото. $V = a^{3}$ .
Мерни единици за обем: кубически милиметри ( $m m^{3}$ ), кубически сантиметри ( $c m^{3}$ ), кубически дециметри ( $d m^{3}$ ), кубически метри ( $m^{3}$ ). $1 dm^{3} = 1 l$ .

Правоъгълен паралелепипед. Елементи и развивка

Правоъгълен паралелепипед: Триизмерно тяло с шест правоъгълни стени (лица). Има дължина ( $a$ ), ширина ( $b$ ) и височина ( $c$ ). Срещуположните стени са равни.
Елементи: Върхове, ръбове, стени (лица).
Развивка: Плоска фигура, състояща се от шест правоъгълника, които при сгъване образуват паралелепипеда.

Лице на околна повърхнина, лице на повърхнина и обем на правоъгълен паралелепипед

Нека $a$ , $b$ , $c$ са дължините на ръбовете на правоъгълен паралелепипед.

Лице на околна повърхнина ( $S_{околн .}$ ): Сбор от лицата на четирите странични стени (без основите). $S_{околн .} = 2 (a \times c + b \times c) = 2 c (a + b)$ .
Лице на повърхнина (S): Сбор от лицата на всички шест стени. $S = 2 (a \times b + a \times c + b \times c)$ .
Обем (V): Произведението на дължина, ширина и височина. $V = a \times b \times c$ .