Джон Наш, математик и Нобелов лауреат по икономика, загива при катастрофа с такси на 23 май; на 86. Съпругата му Алисия е с него и също не оцеля в катастрофата. Те се прибират в Принстън от Норвегия, където Джон е отличен като носител (заедно с Луис Ниренберг) на тазгодишната награда Абел по математика. Благодарение на „Красив ум“, хрониката на Силвия Насар за живота на Наш и нейната филмова адаптация с Ръсел Кроу в главната роля, Наш беше един от малкото математици, добре известни извън залите на академичните среди. Широката общественост може би си спомня историята за психичното заболяване на Неш и неговото възстановяване от параноидна шизофрения.
Но влиянието на Наш надхвърля холивудската версия на биографията му. Неговите колеги смятат неговите математически иновации, особено в некооперативните игри (работата, която ще му спечели Нобеловата награда), сред великите икономически идеи на 20-ти век.
Наш е най-известен с работата си в теорията на игрите. В математиката една ‘игра’ включва двама или повече „играчи“, които печелят награди или наказания в зависимост от действията на всички участници. Някои се наричат игри с нулева сума, което означава, че печалбата на един играч е загуба на друг играч. Работата на Неш се прилага за некооперативни игри. В тези ситуации играчите могат едностранно да променят стратегията си, за да подобрят (или влошат) собствения си резултат, без да засягат останалите играчи.
Прототипният пример за такава игра е основната ‘дилема на затворника’. Двама престъпници са заловени и държани в отделни килии, без да могат да общуват помежду си. Прокурорите нямат достатъчно доказателства, за да ги осъдят по основното обвинение, но могат да ги осъдят по по-леко обвинение, което идва с една година присъда. На затворниците се предлага сделка: да свидетелстват срещу другия обвиняем (т.е. да го предадат) и да бъдат освободени, докато той служи три години. Ако обаче и двамата подсъдими се предадат, и двамата ще излежат две години. Ако никой не предаде другия (т.е. сътрудничат), тогава и двамата ще бъдат осъдени за по-лекото обвинение и ще излежат една година. Резултатите могат да бъдат обобщени в матрица.
Това, което Наш открива, е, че всяка такава игра има стратегия, сега наречена равновесие на Наш, при която всяка едностранна промяна в стратегията от играч води до по-лош резултат за този играч. В случая с дилемата на затворника има две такива равновесия, горния ляв и долния десен квадрат в матрицата. Наистина, в ситуацията в долния десен ъгъл, ако някой от играчите промени стратегията си едностранно и реши да не дезертира, той ще увеличи наказанието си и по този начин ще завърши с по-лош изход. Този пример е особено неприятен, защото горната лява стратегия очевидно е най-добрият начин за затворниците (те трябва да мълчат), но чисто рационалните играчи ще се озоват в долната дясна позиция. Теорията на игрите има приложения в много области, включително икономика и политически науки.
Много сценарии в международните отношения могат да бъдат моделирани като игри без сътрудничество. Например, развитието на ядрените програми по време на Втората световна война може да се моделира като вид дилема на затворника, в която двете страни решават да развията атомната бомба от страх, че другата страна ще го направи. Това, разбира се, доведе до по-малко желания резултат на разпространение на ядрени оръжия, аналогичен на дезертирането на двамата затворници.
Въпреки че Неш е най-известен в световен мащаб с работата си по теория на игрите, повечето математици смятат резултатите му за вграждане на риманови многообразия като негови най-иновативни и важни. В тази подспециалност на геометрията n-многообразието е пространство, което локално изглежда като n-измерно евклидово пространство (типичните три пространствени измерения, които сме използвали, за да образуваме 3-измерно евклидово пространство). Например повърхност, като сфера или куха поничка, е 2-многообразие, тъй като всяка точка на повърхността има малък диск около себе си; за малка буболечка, стояща в точката, повърхността изглежда като плоска двуизмерна равнина (оттук и древното вярване, че Земята е плоска).
Многообразието е риманово, ако има глобално последователен начин за дефиниране на ъгли между вектори, допирателни към многообразието в точка. По-специално, това ни позволява да дефинираме разстояния между точките на колектора и да намерим дължините на кривите, вградени в колектора. Евклидовото пространство с неговото обичайно понятие за ъгъл и разстояние е най-простият пример. Сега си представете, че се опитвате да поставите абстрактно риманово многообразие в евклидовото пространство. Може да го изкривите и да правите всякакви странни неща, които в крайна сметка изкривяват ъглите между допирателните вектори на вашия колектор.
Теоремата за вграждане на Nash-Kuiper твърди, че винаги можем да коригираме този проблем; тоест можем да намерим реализация на риманово многообразие с размерност n в евклидово пространство с размерност n+1, така че ъглите да се запазят. След това можете по-лесно да изчислявате разстояния между точки на многообразието, като използвате риманова структура, наследена от евклидовото пространство. Това може да не звучи разтърсващо, но проблемът е измъчвал математиците повече от век. Това, че размерът на евклидовото пространство не може да бъде направен по-малък от n+1, е познат на всеки, който е изучавал карта – повърхността на сфера не може да бъде сплескана в равнина без изкривяване на ъгли. Има много контраинтуитивни следствия от теоремата на Наш.
Например, това предполага, че всяка затворена повърхност може да бъде реализирана вътре в произволно малка топка в 3-измерно пространство.
На Неш също се приписва изобретяването на игра, в крайна сметка пусната на пазара от Parker Brothers като настолна игра, наречена Hex. Тази игра, която се играе на поле с форма на паралелограм от шестоъгълни клетки, е открита независимо в Дания приблизително по същото време. В Принстън я наричат Nash, на името на неговия създател или Джон, двоен смисъл, включващ факта, че се играе върху плочките в мъжката тоалетна на факултета по математика. Има двама играчи, всеки от които има жетони от един цвят (червен и син, да речем). Целта е да се образува непрекъснат път от едната страна на дъската до другата, преди опонентът да направи същото в обратната посока. Има онлайн версии на играта. Първият играч винаги има печеливша стратегия; това означава, че играчът, който прави първия ход, винаги може да спечели, при условие че изпълни правилната последователност от ходове.
Във всеки един век има шепа математици, които се открояват, чиято работа е толкова оригинална и новаторска, че става част от езика. Както посочи журналистът Ерика Кларайх, никой вече не цитира документите на Наш, защото „равновесието на Наш“ е стандартен речник; всеки математик знае какво означава. Въпреки че публикува само малка шепа статии, Джон Наш ще бъде запомнен като един от най-оригиналните и влиятелни математици на 20-ти век, чиято работа продължава да вдъхновява нови резултати и изследователски насоки.
