| № | Вариант А | Вариант Б (+10% трудност) |
| 1 | Дадени са $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$. Посочете съответните равни страни и ъгли. Ако $AB = 7\text{ cm}$ и $\angle C = 55^\circ$, намерете дължината на $A_1B_1$ и градусната мярка на $\angle C_1$. | Дадени са $\Delta ABC \cong \Delta MNP$. Ако периметърът на $\Delta ABC$ е $24\text{ cm}$, $MN = 7\text{ cm}$ и $NP = 9\text{ cm}$, намерете страната $AC$ и $\angle M$, ако $\angle A = 50^\circ$. |
| 2 | Отсечките $AB$ и $CD$ се разполовяват в точка $O$. Докажете по I признак (СЪС), че $\Delta AOC \cong \Delta BOD$. | Отсечките $AB$ и $CD$ се пресичат в точка $O$, така че $AO = BO$ и $CO = DO$. Докажете, че $\Delta AOC \cong \Delta BOD$, и намерете $AC$, ако $BD = 12,5\text{ cm}$. |
| 3 | В $\Delta ABC$ отсечката $CH$ е височина ($CH \perp AB$) и $\angle ACH = \angle BCH$. Докажете по II признак (КСК), че $\Delta AHC \cong \Delta BHC$. | В $\Delta ABC$ отсечката $CL$ е ъглополовяща и $CL \perp AB$. Ако $AL = 6\text{ cm}$ и периметърът $P_{\Delta ABC} = 32\text{ cm}$, намерете дължините на бедрата $AC$ и $BC$. |
| 4 | Върху симетралата на отсечката $AB$ е взета точка $M$, а $O$ е средата на $AB$. Докажете, че $\Delta AOM \cong \Delta BOM$ и че $MA = MB$. | Лъчът $CL$ е ъглополовяща на $\angle ACB$. Върху раменете $CA$ и $CB$ са нанесени отсечки $CM = CN$. Докажете, че $\Delta CML \cong \Delta CNL$ и че $LM = LN$. |
| 5 | Правите $a \parallel b$ са пресечени от права $l$ в точки $A \in a$ и $B \in b$. Точка $O$ е среда на $AB$. Права през $O$ пресича $a$ в $M$ и $b$ в $N$. Докажете, че $\Delta AOM \cong \Delta BON$. | В четириъгълника $ABCD$ е известно, че $AB \parallel CD$ и $AB = CD$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta CDA$, и намерете $BC$, ако $AD = 8,4\text{ cm}$. |
| 6 | В равнобедрения $\Delta ABC$ ($AC = BC$) точка $M$ е среда на основата $AB$. Докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta BMC$ и че $CM \perp AB$. | В равнобедрения $\Delta ABC$ ($AC = BC$) върху бедрата $AC$ и $BC$ са взети точки $P$ и $Q$ така, че $CP = CQ$. Докажете, че $\Delta APB \cong \Delta BQA$. |
| 7 | Известно е, че $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$. Отсечките $CD$ и $C_1D_1$ са медиани съответно към $AB$ и $A_1B_1$. Докажете, че $\Delta ADC \cong \Delta A_1D_1C_1$. | В $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$ отсечките $CD$ и $C_1D_1$ са медиани съответно в двата триъгълника. Докажете, че съответните медиани са равни ($CD = C_1D_1$). |
| 8 | Даден е $\angle AOB$ и точка $P$ от неговата ъглополовяща. Върху раменете $OA$ и $OB$ са нанесени отсечки $OA = OB$. Докажете, че $\Delta AOP \cong \Delta BOP$. | Даден е $\angle AOB$. Върху раменете $OA$ и $OB$ са взети точки $M$ и $N$ ($OM = ON$), а $P$ е точка от ъглополовящата. Докажете, че $\angle OMP = \angle ONP$ и $PM = PN$. |
| 9 | В $\Delta ABC$ ъглополовящата $CL$ е и височина ($CL \perp AB$). Докажете, че $\Delta ACL \cong \Delta BCL$, и намерете $AC$, ако $BC = 9,5\text{ cm}$. | В $\Delta ABC$ ъглополовящата $CL$ е и медиана ($AL = BL$). Докажете, че $\Delta ACL \cong \Delta BCL$, и намерете градусната мярка на $\angle ALC$. |
| 10 | В $\Delta ABC$ отсечката $CM$ е медиана. На продължението на $CM$ отвъд $M$ е нанесена отсечка $MD = CM$. Докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta BMD$. | В $\Delta ABC$ отсечката $CM$ е медиана. На продължението на $CM$ отвъд $M$ е нанесена $MD = CM$. Докажете, че $AD = BC$ и че правата $AD \parallel BC$. |
| 11 | Върху раменете на $\angle XOY$ са нанесени отсечки $OA = OC$ върху $OX$ и $OB = OD$ върху $OY$. Докажете по I признак, че $\Delta OAD \cong \Delta OCB$. | Върху раменете на $\angle XOY$ са нанесени $OA = OC$ върху $OX$ и $OB = OD$ върху $OY$. Правите $AD$ и $BC$ се пресичат в точка $P$. Докажете, че $AD = BC$ и $\Delta ABP \cong \Delta CDP$. |
| 12 | В равнобедрения $\Delta ABC$ ($AC = BC$) са прекарани височините $AN$ ($N \in BC$) и $BM$ ($M \in AC$). Докажете, че $\Delta ABN \cong \Delta BAM$. | В равнобедрения $\Delta ABC$ ($AC = BC$) са прекарани височините $AP$ ($P \in BC$) и $BQ$ ($Q \in AC$). Докажете, че $AP = BQ$ и че $CP = CQ$. |
| 13 | Доказано е, че $\Delta ABC \cong \Delta KMN$. Ако $AB = 2x + 3$, $KM = x + 7$ и $BC = 12\text{ cm}$, намерете стойността на $x$ и дължината на страната $MN$. | Доказано е, че $\Delta ABC \cong \Delta DFE$. Страните са $AB = 3x – 2$, $DF = x + 8$ и $BC = 2x + 1$. Намерете $x$ и периметъра на $\Delta DFE$. |
| 14 | Точка $M$ лежи във вътрешността на $\angle AOB$ и е на равни разстояния от раменете му ($MP \perp OA, MQ \perp OB, MP = MQ$). Докажете, че $\Delta OPM \cong \Delta OQM$. | Точка $M$ е вътрешна за $\angle AOB$ така, че $MP \perp OA$, $MQ \perp OB$ и $MP = MQ$. Докажете, че лъчът $OM$ е ъглополовяща на $\angle AOB$ и $OP = OQ$. |
| 15 | Ъгълът $\alpha$ в $\Delta ABC$ е корен на уравнението $2(x + 10^\circ) = 100^\circ$. Ако $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$ и $\angle B = 70^\circ$, намерете ъглите на $\Delta A_1B_1C_1$. | Ъгълът $\alpha$ в $\Delta ABC$ е по-големият корен на $\vert{}x – 50^\circ\vert{} = 20^\circ$. Ако $\Delta ABC \cong \Delta MNP$ и $\angle N = 2\alpha – 80^\circ$, намерете всички ъгли на двата триъгълника. |
| 16 | В $\Delta ABC$ медианата $CM$ е удължена до точка $D$ ($MD = MC$). Ако $AC = 3x – 1$, $BD = x + 7$ и $\angle A = 50^\circ$, намерете $x$, страната $AC$ и $\angle ABD$. | В $\Delta ABC$ медианата $CM$ е удължена до $D$ ($MD = MC$). Ако $AC = 2x + 5$, $BD = 4x – 3$, $\angle ABC = 65^\circ$ и $\angle BAC = 45^\circ$, намерете $x$, $AC$ и ъглите на $\Delta ABD$. |
| 17 | Отсечките $AC$ и $BD$ се разполовяват в точка $O$. Докажете, че $\Delta AOB \cong \Delta COD$. Ако $AB = 10\text{ cm}$ и височината към $AB$ в $\Delta AOB$ е $h = 4\text{ cm}$, намерете лицето на $ABCD$. | В четириъгълника $ABCD$ диагоналите се пресичат в точка $O$ така, че $AO = CO$ и $BO = DO$. Докажете, че $\Delta AOB \cong \Delta COD$. Ако лицето $S_{\Delta AOB} = 15\text{ cm}^2$, намерете $S_{ABCD}$. |
| 18 | Дадени са правите $a \parallel b$. Права $l_1$ ги пресича в $A$ и $B$, а $l_2$ ги пресича в $C$ и $D$. Ако средата $O$ на $AB$ е и среда на $CD$, докажете че $\Delta AOC \cong \Delta BOD$ и $AC = BD$. | Правите $AB \parallel CD$ и $AD \parallel BC$ се пресичат в върховете на $ABCD$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta CDA$. Ако $\angle A = 2x + 10^\circ$ и $\angle B = 3x – 10^\circ$, намерете $x$ и ъглите на триъгълниците. |
| 19 | В $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$ страната $AB$ е равна на стойността на израза $(x + 2)^2 – (x – 2)^2$ при $x = 1,5$. Ако $B_1C_1$ е с $25\%$ по-дълга от $A_1B_1$, намерете $BC$. | В $\Delta ABC \cong \Delta MNP$ страната $AB$ е стойността на $A = (2x + 1)^2 – 4x(x + 1) + 5$. Ако $BC$ е с $20\%$ по-кратка от $AB$, а $AC = BC + 2\text{ cm}$, намерете периметрите на двата триъгълника. |
| 20 | В $\Delta ABC$ ъглополовящата $CL$ ($L \in AB$) е прекарана. Върху $AC$ и $BC$ са взети точки $M$ и $N$ така, че $CM = CN$. Докажете, че $\Delta CML \cong \Delta CNL$. Ако $\angle CML = 110^\circ$, намерете $\angle CNL$. | В равнобедрения $\Delta ABC$ ($AC = BC$) през средата $M$ на медианата $CD$ е издигнат перпендикуляр към $CD$, пресичащ $AC$ в $P$ и $BC$ в $Q$. Докажете, че $\Delta CMP \cong \Delta CMQ$ и $CP = CQ$. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!