Задачи за тъждествено преобразуване и приложения
| № | Задание / Текст на задачата | Тип А (Основно / Средно ниво) | Тип Б ( Предизвикателство) |
| 1 | Опростете израза: | $(2x – 3)^2 – (x – 2)(x + 2) – 3x^2$ | $(3x – 1)^2 – 2(2x – 1)^2 + (x – 3)^2$ |
| 2 | Опростете израза: | $(x – 1)^3 – x(x – 2)^2 + x^2$ | $(2x – 1)^3 – 8x(x – 1)^2 – 6x^2$ |
| 3 | Опростете израза: | $(x – 2)(x^2 + 2x + 4) – (x + 1)^3$ | $(2x + 1)(4x^2 – 2x + 1) – (2x – 1)^3$ |
| 4 | Докажете тъждеството: | $(a + b)^2 – (a – b)^2 = 4ab$ | $(a + b + c)^2 – (a + b – c)^2 = 4c(a + b)$ |
| 5 | Докажете тъждеството: | $(x + y)^3 – (x – y)^3 = 2y(3x^2 + y^2)$ | $(x + y)^3 – 3xy(x + y) = x^3 + y^3$ |
| 6 | Докажете тъждеството: | $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ | $(a + b)(b + c)(c + a) + abc = (a + b + c)(ab + bc + ca)$ |
| 7 | Докажете, че стойността на израза не зависи от $x$: | $(x – 3)^2 – (x – 2)(x – 4)$ | $(2x – 1)^3 – 8x(x – 1)^2 – 6x^2$ |
| 8 | Пресметнете рационално: | $101^2 – 99^2$ | $2026^2 – 2 \cdot 2026 \cdot 2025 + 2025^2$ |
| 9 | Пресметнете числената стойност на израза: | $A = (2x – 1)^2 – (2x – 3)(2x + 3)$ при $x = -0{,}5$ | $B = (3x – 2)(9x^2 + 6x + 4) – 27(x – 1)^3$ при $x = \frac{1}{9}$ |
| 10 | Намерете стойността на $a^2 + b^2$: | ако $a + b = 7$ и $ab = 10$ | ако $a – b = 6$ и $ab = 7$ |
| 11 | Намерете стойността на $a^3 \pm b^3$: | $a^3 + b^3$, ако $a + b = 4$ и $ab = 3$ | $a^3 – b^3$, ако $a – b = 5$ и $ab = 2$ |
| 12 | Намерете стойността на $a^4 + b^4$: | ако $a + b = 3$ и $ab = 1$ | ако $a – b = 4$ и $ab = 2$ |
| 13 | Пресметнете стойността на израза: | $x^2 + \frac{1}{x^2}$, ако $x + \frac{1}{x} = 5$ | $x^3 + \frac{1}{x^3}$, ако $x + \frac{1}{x} = 4$ |
| 14 | Пресметнете стойността на израза: | $x^2 + \frac{1}{x^2}$, ако $x – \frac{1}{x} = 3$ | $x^3 – \frac{1}{x^3}$, ако $x – \frac{1}{x} = 3$ |
| 15 | Намерете търсеното отношение / израз: | отношението $\frac{a}{b}$, ако $a^2 – 5ab + 6b^2 = 0$ ($b \ne 0$) | стойността на $\frac{2a + 3b}{a – 2b}$, ако $4a^2 – 9ab + 2b^2 = 0$ |
| 16 | Докажете условното тъждество при $a + b + c = 0$: | $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ | $a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ca)$ |
| 17 | Намерете НМС и стойността на $x$, за която се достига: | $A = x^2 – 6x + 13$ | $B = 2x^2 – 12x + 25$ |
| 18 | Намерете НГС и стойността на $x$, за която се достига: | $A = -x^2 + 8x – 10$ | $B = 15 – 3x^2 + 12x$ |
| 19 | Намерете НМС на израза: | $A = x^2 + y^2 – 4x + 6y + 15$ | $B = 2x^2 + y^2 – 4x – 4y + 18$ |
| 20 | Намерете НГС на израза: | $A = 7 – x^2 – y^2 + 2x – 4y$ | $B = 12 – 4x^2 – 9y^2 + 12x + 6y$ |
| 21 | Докажете делимостта на израза: | $7^{10} – 7^9 + 7^8$ се дели на $43$ | $3^{n+3} – 2 \cdot 3^{n+1} + 3^n$ се дели на $22$ ($n \in \mathbb{N}$) |
| 22 | Докажете делимостта на израза: | $15^3 – 5^3$ се дели на $130$ | $27^4 – 8^4$ се дели на $35$ |
| 23 | Докажете делимостта за всяко цяло число $n \in \mathbb{Z}$: | $n^3 – n$ се дели на $6$ | $n^5 – n$ се дели на $30$ |
| 24 | Докажете делимостта на израза: | $(n+1)^2 – (n-1)^2$ се дели на $4$ за всяко $n \in \mathbb{Z}$ | $n^3 + 3n^2 – n – 3$ се дели на $48$ за всяко нечетно $n \in \mathbb{Z}$ |
| 25 | Докажете неравенството: | $x^2 – 4x + 5 > 0$ за всяко $x \in \mathbb{R}$ | $x^2 – xy + y^2 > 0$ за всички $(x; y) \ne (0; 0)$ |
| 26 | Изпълнете условието при $A = 0$: | Намерете $x$ и $y$, ако $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 5 = 0$ | Докажете: ако $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$, то $a = b = c$ |
| 27 | Преобразувайте / Докажете равенството: | Представете $2x^2 + 2y^2$ като сбор от два квадрата | $(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad – bc)^2$ |
| 28 | Решете уравнението чрез разлагане: | $x^3 – 4x = 0$ | $x^3 – 3x^2 – 4x + 12 = 0$ |
| 29 | Решете уравнението чрез тъждествено преобразуване: | $x^2 – 6x + 9 = 0$ | $(x^2 + 2x)^2 – 2(x^2 + 2x) – 3 = 0$ |
| 30 | Изпълнете условието: | Разложете $x^4 + 4$ и докажете, че $x^4 + 4 = 0$ няма реални корени | Ако $x + y + z = 0$, докажете $2(x^4 + y^4 + z^4) = (x^2 + y^2 + z^2)^2$ |
Справочник с теми и кратки жокери
| № | Тема / Акцент | Кратки жокери / Упътвания |
| 1 | Опростяване чрез $(a \pm b)^2$ | Приложете формулите за точен квадрат, разкрийте скобите и съберете подобните едночлени. |
| 2 | Опростяване чрез $(a \pm b)^3$ | Приложете $(a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3$ и внимавайте с минусите пред скобите. |
| 3 | Приложение на $a^3 \pm b^3$ | Разпознайте непълния квадрат $(x^2+2x+4)$ и го съберете до $x^3 – 8$. |
| 4 | Доказване на тъждество чрез $a^2 – b^2$ | Използвайте разлика на квадрати $A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)$ за лявата страна. |
| 5 | Доказване на тъждество с кубове | За А: Приложете $A^3 – B^3$. За Б: Разкрийте скобата $3xy(x+y)$ и групирайте. |
| 6 | Доказване на тъждество с 3 променливи | Разкрийте скобите от двете страни или изразете сбора на двойните произведения. |
| 7 | Независимост на стойността от $x$ | След пълно разкриване на скобите всички членове, съдържащи $x$, трябва да дадат сбор $0$. |
| 8 | Рационално пресмятане с големи числа | За А: Приложете $A^2 – B^2$. За Б: Разпознайте точния квадрат $(A – B)^2$. |
| 9 | Пресмятане на числена стойност | Първо опростете израза алгебрично — променливата ще се съкрати или значително ще олекне. |
| 10 | Намиране на $a^2 + b^2$ | Използвайте тъждеството $a^2 + b^2 = (a \pm b)^2 \mp 2ab$. |
| 11 | Намиране на $a^3 \pm b^3$ | Използвайте тъждеството $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)^3 \mp 3ab(a \pm b)$. |
| 12 | Намиране на $a^4 + b^4$ | Първо намерете $a^2 + b^2$, след което повдигнете получения резултат отново на квадрат. |
| 13 | Взаимнообратни изрази ($x + \frac{1}{x}$) | Повдигнете даденото равенство на квадрат (за А) или на куб (за Б), като $x \cdot \frac{1}{x} = 1$. |
| 14 | Взаимнообратни изрази ($x – \frac{1}{x}$) | Използвайте $(x – \frac{1}{x})^2 = x^2 – 2 + \frac{1}{x^2}$ и формулата за куб на разлика. |
| 15 | Хомогенни равенства | Разделете равенството на $b^2 \ne 0$ и положете $t = \frac{a}{b}$, за да получите квадратна структура. |
| 16 | Условно тъждество ($a + b + c = 0$) | Заместете $c = -(a+b)$ или приложете тъждеството $a^3+b^3+c^3 – 3abc = (a+b+c)(…)$. |
| 17 | НМС чрез отделяне на точен квадрат | Запишете във вида $a(x – x_0)^2 + k$ ($a > 0$). НМС е $k$ при $x = x_0$. |
| 18 | НГС чрез отделяне на точен квадрат | Запишете във вида $-a(x – x_0)^2 + k$ ($a > 0$). НГС е $k$ при $x = x_0$. |
| 19 | НМС с две променливи | Отделете два самостоятелни точни квадрата: $(x – x_0)^2 + (y – y_0)^2 + k$. |
| 20 | НГС с две променливи | Отделете два отрицателни точни квадрата: $k – (ax – x_0)^2 – (by – y_0)^2$. |
| 21 | Делимост чрез изнасяне на множител | Изнесете най-малката степен пред скоби ($7^8$ за А; $3^n$ за Б) и пресметнете числото в скобите. |
| 22 | Делимост на кубове и степени 4 | Разложете чрез $a^3 – b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ или $a^4 – b^4 = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$. |
| 23 | Делимост на последователни числа | Разложете $n^3 – n = (n-1)n(n+1)$ — произведение на 3 последователни цели числа (дели се на $2 \cdot 3 = 6$). |
| 24 | Делимост за нечетно $n$ | За Б: Разложете $n^3+3n^2-n-3 = (n-1)(n+1)(n+3)$. При нечетно $n$ имаме 3 последователни четни числа. |
| 25 | Доказване на неравенство ($A > 0$) | За А: $(x – 2)^2 + 1 > 0$. За Б: Умножете по 2 и представете като сбор от квадрати. |
| 26 | Определяне на стойности при $A = 0$ | За А: $(x-1)^2 + (y+2)^2 = 0$. За Б: Умножете по 2 и групирайте $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$. |
| 27 | Представяне като сбор от квадрати | За А: $2x^2+2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$. За Б: Тъждество на Брамагупта-Фибоначи (разкрийте скобите). |
| 28 | Приложение в уравнения от III степен | Изнесете общ множител / групирайте и ползвайте $A \cdot B \cdot C = 0 \iff A=0 \cup B=0 \cup C=0$. |
| 29 | Приложение в уравнения чрез точен квадрат | За А: $(x-3)^2 = 0$. За Б: Направете полагане $t = x^2 + 2x$. |
| 30 | Олимпиадни тъждества на степен IV | За А: Софи Жермен $x^4+4 = (x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$. За Б: Положете $z = -(x+y)$ и разкрийте. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!