Части, отношения и пропорции 3-4 - Школа по математика София-Мат

1. Какво е това „Отношение“?

Представи си, че правиш сок от сироп. На етикета пише: „1 част сироп към 4 части вода“.

Това означава, че ако сложиш 1 чаша сироп, трябва да сложиш 4 чаши вода.
Ако сложиш 2 чаши сироп, ще сложиш 8 чаши вода.
Математически го записваме като $1:4$

В състезанията рядко се казва „отношение“. Вместо това се казва: „Числото А е 3 пъти по-голямо от числото Б“. Това е същото като $A:B = 3:1$ .

Важно правило: Можеш да направиш модел с отсечки (чертички)! Едната чертичка е една „част“.

Официалният език

Тук вече ползваме термина пропорция. Ако две отношения са равни ( $a:b = c:d$ ), те са в „равновесие“. Основното свойство е твоят най-добър приятел: Произведението на крайните членове е равно на произведението на средните.

2. Задачи

1.

Задача за сока: За да направиш кана със сок, ти трябват 1 част сироп и 5 части вода. Ако каната събира 12 чаши течност, колко чаши сироп са ти нужни?
- Решение: Общо частите са $1 + 5 = 6$ . Понеже $12 : 6 = 2$ , значи всяка „част“ е 2 чаши. Трябват ти 2 чаши сироп.
Задача за животните: В една ферма отношението на овцете към козите е $3:1$ . Ако овцете са с 12 повече от козите, колко са всички животни?
- Подсказка: Овцете имат 3 части, козите – 1 част. Разликата е 2 части. 2 части = 12 животни. 4 части = 24 животни са всички.

2.

Мащаб: На карта на съкровище мащабът е $1:2000$ . Ако разстоянието от Стария дъб до Пещерата на картата е $5\text{ cm}$ , колко метра е то в действителност?
- Решение: $5 \cdot 2000 = 10\ 000\text{ cm}$ . Превръщаме в метри: $10\ 000 : 100 = 100\text{ m}$ .
Подялба: Двама приятели, Ани и Боби, събрали 35 кестена. Те решили да ги разделят в отношение $2:3$ . Колко кестена ще получи всеки?
- Решение: Общо части $2 + 3 = 5$ . Един дял е $35 : 5 = 7$ кестена. Ани взема $2 \cdot 7 = 14$ , Боби – $3 \cdot 7 = 21$ .

3.

Обратна пропорция: 4 багера изкопават изкоп за 6 часа. За колко часа ще го изкопаят 8 багера?
- Внимавай: Повече багери = по-малко време! Това е обратна пропорционалност. $4 \cdot 6 = 8 \cdot x$ . Отговор: 3 часа.
Сложни отношения: Ако $A:B = 2:3$ и $B:C = 4:5$ , намери $A:B:C$ .
- Хитрина: Направи $B$ да бъде едно и също число в двете отношения (най-малкото общо кратко на 3 и 4 е 12).
- $A:B = 8:12$ , $B:C = 12:15 \Rightarrow A:B:C = 8:12:15$ .

3. Таблица за бърза тренировка

Тип задача	Описание (Какво търсим?)	Ключ към решението
Смеси	Смесване на бои, ядки, захарен сироп.	Събираме частите ( $1+2+3...$ ).
Геометрия	Страните на триъгълник са $3:4:5$ .	Периметърът се дели на сбора на частите.
Възраст	Годините на баща и син са $7:2$ .	Разликата в годините винаги е една и съща!
Пари	Печалба, разделена според сумата.	Директна пропорция.

Когато видиш задача с отношение на състезание, веднага си кажи: „1 част = $x$ “.

Ако страните са $3:4$ , те са $3x$ и $4x$ .
Уравнението ще те спаси от объркване!

I. Основни задачи – „Магията на частите“

Тук използваме термина „части“, за да обясним отношенията.

За един лимон сок ти трябват 2 лъжици захар. Колко лъжици захар трябват за 5 лимона?
В един букет има 1 червена и 3 бели рози. Колко бели рози има в 4 такива букета?
Ани има 2 пъти повече бонбони от Боби. Ако Боби има 10, колко има Ани?
В кутия отношението на сините към червените моливи е 1:4. Ако сините са 5, колко са червените?
На 2 котки се полагат 6 рибки. Колко рибки трябват за 5 котки?
За 1 час кола изминава 80 км. Колко ще измине за 3 часа със същата скорост?
В един клас момичетата са 2 пъти повече от момчетата. Ако момчетата са 8, колко са всички ученици?
За 3 палачинки трябват 1 яйце. Колко яйца трябват за 12 палачинки?
Отсечка А е дълга 4 см, а отсечка Б е 3 пъти по-дълга. Колко е Б?
Сборът на две числа е 20, а едното е 3 пъти по-голямо от другото. Колко е малкото число?
На чертеж 1 см отговаря на 10 метра. Колко метра са 5 см на чертежа?
В зоопарка има заек и лисица. Заекът тежи 2 кг, а лисицата 6 кг. Колко пъти лисицата е по-тежка?
Отношението на ябълките към крушите в коша е 1:1. Ако има 15 ябълки, колко са плодовете общо?
За 4 лв. купуваш 2 сладоледа. Колко струват 5 сладоледа?
Куче и коте тежат общо 12 кг. Кучето е 2 пъти по-тежко. Колко тежи котето?
Страните на правоъгълник са 2 см и 5 см. Какво е отношението им?
В рецепта пише: 1 чаша ориз към 3 чаши вода. Ако сложиш 2 чаши ориз, колко вода трябва?
Трима приятели си разделили 12 ябълки поравно. Какво е отношението на ябълките на един приятел към всички ябълки?
В кутия има 20 топчета – черни и бели в отношение 1:3. Колко са черните?
На всеки 5 момчета в парка има 1 куче. Ако има 15 момчета, колко са кучетата?
Майка е на 30 години, а синът на 5. Колко пъти майката е по-възрастна?
Кола изминава 10 км за 5 минути. Колко ще измине за 10 минути?
Отношението на страните на квадрат е винаги ___?
За боядисване на 2 стаи трябват 10 литра боя. Колко литра трябват за 1 стая?
Един шоколад струва 3 лв. Колко шоколада можеш да купиш с 18 лв.?
В отбор има 6 момчета и 4 момичета. Какво е отношението момчета:момичета? (Опрости)
Колко е половин част от 100?
Ако разделиш 10 лв. в отношение 1:4, колко е по-малката сума?
В един паркинг има 3 сини коли на всеки 2 червени. Ако има 6 сини, колко са червените?
Периметърът на квадрат е 20 см. Какво е отношението на страната към периметъра?

II. По-трудни задачи – „Методът на чертичките“

Тук ученикът трябва да разделя общо количество на части.

Сборът на две числа е 48. Те се отнасят като 1:3. Намерете числата.
Периметърът на правоъгълник е 60 см. Страните му се отнасят като 2:3. Намерете страните.
Разстоянието между два града на карта с мащаб 1:50 000 е 4 см. Колко км е в действителност?
В сплав медта и цинкът са в отношение 5:2. Ако медта е с 90 г повече, колко тежи сплавта?
Три числа се отнасят като 1:2:3. Сборът им е 120. Кое е най-голямото число?
За 6 кг портокали платили 15 лв. Колко ще струват 10 кг?
Ани, Боби и Вики си разделили бонбони в отношение 2:3:5. Вики взела 20 бонбона. Колко са общо?
Мащабът на чертеж е 5:1 (увеличение). Ако детайл е дълъг 2 мм, колко см е на чертежа?
Разликата на две числа е 24, а отношението им е 5:2. Намерете числата.
За 4 часа майстор прави 12 стола. За колко часа ще направи 18 стола?
В магазин има ябълки и круши в отношение 7:4. Ябълките са с 15 кг повече. Колко кг са крушите?
Един ъгъл е 3 пъти по-малък от друг. Сборът им е 160 градуса. Намерете ги.
Отношението на спестените пари на двама братя е 4:9. Ако малкият има 36 лв., колко има големият?
В една школа момичетата са 60% от всички ученици. Какво е отношението момичета към момчета?
Смесени са два вида бонбони в отношение 3:2. От първия вид има 600 г. Колко тежи цялата смес?
Колоездач изминава 12 км за 40 минути. Колко ще измине за 1 час (60 мин)?
Страните на триъгълник се отнасят като 3:4:5, а периметърът е 48 см. Намерете страните.
Раздели 100 на две части, така че едната да е с 20 повече от другата (превърни в отношение).
В сок отношението на плод към вода е 2:7. Колко литра плод има в 18 литра сок?
Ако 5 машини изработват 5 детайла за 5 минути, колко детайла ще изработят 10 машини за 10 минути?

III. Състезателни задачи – „Логика и стратегия“

Подходящи за подготовка за олимпиади.

Възраст: Сега бащата е 4 пъти по-възрастен от сина си. След 20 години бащата ще бъде 2 пъти по-възрастен. На колко години са сега?
Обратна пропорция: 6 работници свършват работа за 4 дни. За колко дни ще я свършат 3-ма работници?
Сложни смеси: В 200 г сок има 10% захар. Колко вода трябва да добавим, за да стане захарта 5%?
Верижно отношение: Ако $A:B = 2:3$ и $B:C = 6:5$ , колко е отношението $A:C$ ?
Геометрия: Лицето на два квадрата се отнасят като 1:4. Как се отнасят техните страни?
Работа: Ани може да боядиса една ограда за 3 часа, а Боби за 6 часа. За колко часа ще я боядисат заедно? (Използвай части от работата).
Логика: В един клас, ако 3 момичета отсъстват, момчетата и момичетата стават поравно. Ако 3 момчета отсъстват, момичетата са 2 пъти повече от момчетата. Колко са учениците?
Мащаб на площ: Карта има мащаб 1:100. Ако една стая на картата е с площ 4 кв. см, колко е реалната площ в кв. метри?
Златното сечение (опростено): Отсечка от 40 см е разделена на две части в отношение 3:5. По-голямата част е разделена в отношение 1:4. Колко е най-малката получена част?
Движение: Двама пешеходци тръгват един срещу друг. Скоростите им се отнасят като 3:2. Ако разстоянието е 50 км, на какво разстояние от началната точка на по-бързия ще се срещнат?
Сплави: Сплав А има мед и цинк 1:2, а сплав Б – 1:3. Смесваме равни количества от двете. Какво е новото отношение?
Проценти и части: Цената на стока е увеличена в отношение 5:4 (стара:нова е 4:5). С колко процента е увеличена цената?
Зъбни колела: Колело с 24 зъба е зацепено за колело с 36 зъба. Когато малкото направи 15 оборота, колко прави голямото?
Книги: Иван прочел 1/4 от една книга, а след това още 20 страници. Оказало се, че прочетеното към непрочетеното е 1:2. Колко страници е книгата?
Три числа: Сборът на три числа е 100. Първото към второто е 2:3, а второто към третото е 3:5. Намерете числата.
Време: Ако три котки изяждат три мишки за три минути, за колко минути 100 котки ще изядат 100 мишки?
Басейни: Една тръба пълни басейн за 2 часа, а друга го изпразва за 3 часа. Ако работят заедно, за колко часа ще се напълни?
Тегло: Бутилка с олио тежи 900 г. Олиото към теглото на празната бутилка е в отношение 8:1. Колко грама тежи олиото?
Захар: В 400 г чай има 20 г захар. Какво е отношението на захарта към чая? Какъв процент е захарта?
Финално предизвикателство: Отношението на парите на Петър и Иван е 7:5. Петър похарчил 20 лв. и сега двамата имат поравно. Колко пари са имали първоначално?