Основни задачи: графика на линейни и квадратни функции

Линейна функция

Линейната функция има общ вид $y = ax + b$ . Графиката ѝ е права линия.

Задача 1: Анализ на права линия

Дадена е линейната функция $y = 2x - 3$ .

Намерете точките, в които графиката пресича координатните оси (нулите на функцията).
Какъв е наклонът на правата?
Постройте графиката, като използвате намерените точки.

Решение:

1. Пресичане с $y$-ос (когато $x=0$):$y = 2(0) – 3 = -3$. Точката е (0, -3). Това е свободният член $b$.
2. Пресичане с $x$-ос (когато $y=0$):$0 = 2x – 3 \implies 2x = 3 \implies x = 1.5$. Точката е (1.5, 0).
3. Наклонът: Наклонът е коефициентът $a$ , т.е. $a = 2$ . Тъй като $2 > 0$ , правата е растяща.
4. Построяване: Нанасяте точките (0, -3) и (1.5, 0) и прекарвате права през тях.

Квадратна функция

Квадратната функция има общ вид $y = ax^2 + bx + c$ . Графиката ѝ е парабола.

Задача 2: Идентифициране на парабола

Дадена е квадратната функция $y = x^2 - 4x + 3$ .

Намерете посоката на отваряне на параболата.
Намерете координатите на върха (екстремума) на параболата.
Намерете точките, в които параболата пресича $x$ -оста (корените).

Решение:

Посока на отваряне: Коефициентът пред $x^2$ е $a=1$ . Тъй като $a > 0$ , параболата е отворена нагоре (има минимална стойност).
Връх $(x_v, y_v)$ :
- $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$ .
- $y_v = f(x_v) = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$ .
- Върхът е (2, -1).
Пресичане с $x$-ос (корени, когато $y=0$):Решаваме уравнението $x^2 – 4x + 3 = 0$.Можем да използваме формулата за корени или да разложим: $(x-3)(x-1) = 0$.Корените са $x_1 = 3$ и $x_2 = 1$.
Точките на пресичане са (3, 0) и (1, 0).

Задача 3: Влияние на коефициента $a$

Дадени са функциите $y = x^2$ и $y = -2x^2$ .

Как се различават графиките им по отношение на посоката на отваряне?
Как се различават по отношение на „ширината“?

Решение:

Посока на отваряне:
- За $y = x^2$ , $a=1$ (положително) $\implies$ отворена нагоре.
- За $y = -2x^2$ , $a=-2$ (отрицателно) $\implies$ отворена надолу.
„Ширина“ (разтягане/свиване):
- Колкото по-голяма е абсолютната стойност на $a$ (в случая $|-2|=2 > |1|=1$ ), толкова параболата е по-тясна (по-силно „свита“ по хоризонтала). $y = -2x^2$ е по-тясна от $y = x^2$ .

Задачи:

А. Линейни Функции ( $y = ax + b$ )

Идентифициране на графиката: Какво представлява графиката на функцията $y = -5x + 2$ ?
Коефициент на наклон: Кой е коефициентът на наклона ( $a$ ) на функцията $y = 3x - 11$ ?
Пресичане с $y$ -оста: В коя точка функцията $y = 4x + 9$ пресича $y$ -оста?
Посока: Функцията $y = -0.5x + 7$ растяща ли е или намаляваща?
Нула на функцията: Намерете нулата на функцията $y = x - 5$ .
Стойност на функцията: Намерете $f(3)$ за функцията $f(x) = 2x - 1$ .
Успоредни прави: Коя права е успоредна на $y = -4x + 1$ ? (Изберете: $y = 4x + 1$ или $y = -4x - 5$ ).
Константна функция: Начертайте графиката на функцията $y = -2$ .
Проверка на точка: Точката $(2, 6)$ лежи ли върху графиката на $y = 3x$ ?
Намиране на $b$ : Намерете $b$ , ако графиката на $y = 5x + b$ минава през точката $(1, 8)$ .
Права през началото: Напишете уравнението на правата, която минава през началото $(0, 0)$ и точката $(2, 10)$ .
Хоризонтална права: Колко е наклонът на хоризонтална права?
Линейна функция: Коя е най-високата степен на $x$ в уравнението на линейна функция?
Наклон 1: Какъв ъгъл сключва с $x$ -оста права с наклон $a=1$ ?
Нула на функцията: Намерете $x$ , за което $y=0$ за функцията $y = -3x + 9$ .

Б. Квадратни Функции ( $y = ax^2 + bx + c$ )

Идентифициране на графиката: Как се нарича графиката на квадратната функция?
Посока на отваряне (Надолу): Параболата на $y = -3x^2 + 5x - 1$ отворена ли е нагоре или надолу?
Посока на отваряне (Нагоре): Параболата на $y = 0.2x^2 - 1$ отворена ли е нагоре или надолу?
Пресичане с $y$ -оста: В коя точка параболата $y = x^2 + 2x - 7$ пресича $y$ -оста?
$x$ -координата на върха: Намерете $x$ -координатата на върха за функцията $y = x^2 - 6x + 8$ .
$y$ -координата на върха: Намерете $y$ -координатата на върха за функцията $y = x^2 - 2x + 5$ .
Ос на симетрия: Кое е уравнението на оста на симетрия за параболата $y = 2x^2 + 8x - 3$ ?
Екстремум (Минимум): Ако параболата е отворена нагоре, върхът дава минимална или максимална стойност?
Екстремум (Максимум): Коя е максималната стойност на функцията $y = -x^2 + 9$ ?
Нули на функцията: Намерете нулите на функцията $y = x^2 - 9$ .
Нули на функцията: Намерете нулите на функцията $y = x^2 + 5x$ .
Вид ‘върх’: Намерете координатите на върха за функцията $y = (x + 1)^2 - 4$ .
Най-малка стойност: Намерете най-малката стойност на функцията $y = x^2 - 1$ .
Стойност на функцията: Намерете $f(-1)$ за функцията $f(x) = x^2 - x$ .
По-тясна парабола: Коя парабола е по-тясна: $y = 0.5x^2$ или $y = 4x^2$ ?