Интегрирани задачи за НВО – 10 - Школа по математика и БЕЛ София-Мат

Интегрирани задачи, съобразени с актуалния формат на МОН за Националното външно оценяване (НВО) в 10. клас.

Ниво А.

(Екология и Парникови емисии)

Проучване показва, че градско депо за отпадъци отделя метан, който съставлява 15% от общите парникови емисии на дадена община. Общината планира проект за улавяне на биогаз, който ще намали емисиите от депото с 60%.

А) Ако първоначалните емисии от депото са 3500 тона годишно, колко тона метан ще се отделят годишно след реализирането на проекта?

Б) С какъв процент ще намалеят общите парникови емисии на общината след тази модернизация?
(Физика – Движение и Скорост)

Електрически автомобил ускорява по права линия, като зависимостта на скоростта му $v$ (в m/s) от времето $t$ (в секунди) се описва с функцията $v(t) = 2,4t$ за първите 10 секунди.

А) Намерете скоростта на автомобила в края на 10-ата секунда в km/h.

Б) Изчислете изминатото разстояние за тези 10 секунди (подсказка: използвайте лицето на геометричната фигура под графиката на скоростта).
(Биология – Екосистеми и Температура)

В затворена оранжерия популацията на вид полезни насекоми се променя в зависимост от средната денонощна температура $T$ (в градуси Целзий). Броят на индивидите се оценява по формулата $N(T) = -2T^2 + 80T + 200$ .

А) При каква температура в градуси Целзий популацията на насекомите достига своя максимум?

Б) Колко ще бъде броят на насекомите, ако температурата в оранжерията е 15°C?
(География и Демографска статистика)

В таблицата са представени данни за раждаемостта и смъртността (на 1000 души) в три региона за изминалата година:

Регион	Раждаемост (на 1000 души)	Смъртност (на 1000 души)
Регион А	8,4	14,2
Регион Б	11,2	9,8
Регион В	9,5	15,5

А) Кой от регионите има положителен естествен прираст и колко промила е той?

Б) Ако населението на Регион Б е точно 150 000 души, колко души е реалното увеличение на населението му за годината (без да се отчита миграцията)?

(Химия – Процентна концентрация на разтвори)

За дезинфекция на лаборатория се приготвя хлорен разтвор. В 14 литра вода се разтварят 600 грама активно вещество.

А) Каква е процентната концентрация на активното вещество в този разтвор (приемете, че 1 литър вода има маса 1 kg)? Закръглете отговора до де десетите.

Б) Колко литра чиста вода трябва да се добавят към този разтвор, за да се получи нова концентрация от точно 2%?
(Физика – Оптика и Снелиус)

Светлинен лъч преминава от въздух в прозрачна стъклена плоча. Ъгълът на падане е 45°, а Ъгълът на пречупване вътре в стъклото е 30°.

А) Като използвате закона на Снелиус ( $n_1 \sin \alpha = n_2 \sin \beta$ ), намерете показателя на пречупване на стъклото $n_2$ , ако за въздуха $n_1 = 1$ .

Б) Ако дебелината на стъклената плоча е 8 cm, намерете дължината на пътя на лъча вътре в стъклото с помощта на тригонометрична функция.
(Финанси и Възобновяема енергия)

Производствено предприятие инвестира в соларна инсталация на покрива си. Цялостното изграждане струва 24 000 €, а годишната икономия от електрическа енергия се оценява на 3800 €. Годишната поддръжка на панелите възлиза на 200 €.

А) За колко години предприятието ще възвърне напълно първоначалната си инвестиция?

Б) Каква ще бъде чистата финансова полза (спестени средства минус разходи за инвестиция и поддръжка) след точно 8 години експлоатация?
(Биология – Генетика и Вероятности)

При кръстосване на два хетерозиготни грахови стръка с червени цветове (Aa), вероятността за поява на рецесивен белег (бели цветове, аа) в поколението се подчинява на законите на Мендел.

А) Каква е математическата вероятност (в проценти) произволно избрано растение от първото поколение да притежава бели цветове?

Б) Ако в експериментална леха са отгледани общо 480 растения, колко от тях се очаква теоретично да бъдат с доминантния червен цвят?
(Физика – Електричество и Мощност)

Мощността $P$ (във ватове), консумирана от електрически нагревател със съпротивление $R = 50\ \Omega$ , зависи от протичащия ток $I$ (в ампери) по формулата $P = I^2 \cdot R$ .

А) Изчислете мощността на нагревателя, ако през него протича ток с ефективна стойност 3 A.

Б) Каква ефективна стойност на тока в ампери е необходима, за да може уредът да развие мощност от точно 1250 W?
(Химия – Газови закони)

При постоянно налягане обемът на идеален газ $V$ е правопропорционален на неговата абсолютна температура $T$ (Закон на Шарл: $V_1 / T_1 = V_2 / T_2$ ). Газ заема обем от 6 литра при температура 27°C (което съответства на 300 K).

А) Какъв обем в литри ще заеме същият газ, ако се нагрее до температура 127°C (400 K)?

Б) С какъв процент се е увеличил обемът на газа спрямо първоначалния?
(Екология – Филтрация на води)

Пречиствателна станция обработва индустриални отпадни води. На всеки етап от филтрирането количеството на определен тежък метал намалява с 25% спрямо предходния етап.

А) Ако първоначалната концентрация е 800 mg/l, колко mg/l ще бъде тя след 3 последователни етапа на филтрация?

Б) Запишете формула за остатъчната концентрация $C$ след $n$ на брой филтрационни цикъла.
(Физика – Акустични вълни)

Звукова вълна, разпространяваща се в лаборатория, променя налягането на въздуха по закона $p(t) = 0,6 \sin (3000\pi t)$ , където $t$ е времето в секунди.

А) Намерете честотата $\nu$ на звуковата вълна в херци (Hz), ако периодът и е $T = 1 / 1500$ секунди.

Б) Каква е максималната амплитудна стойност на налягането в този модел?
(География и Стереометрия)

Ученици изработват макет на вулкан, който има форма на прав кръгов конус с диаметър на основата 16 cm и образувателна 10 cm.

А) Намерете височината на конуса.

Б) Изчислете обема на изработения макет (закръглете отговора до цяло число, приемете $\pi \approx 3,14$ ).
(Фармация и Експоненциален разпад)

При прием на антибиотик концентрацията му в кръвта на пациент намалява наполовина на всеки 6 часа. Първоначално приетата доза е 120 mg.

А) Колко милиграма от активното вещество ще останат в организма на пациента след 18 часа?

Б) След колко часа количеството на антибиотика в кръвта ще достигне критичното ниско ниво от 7,5 mg?
(Екология – Рециклиране на хартия)

Статистика за разделно събиране на хартия в училищен район показва ежегодно линейно нарастване на предадените количества (аритметична прогресия). През първата година са събрани 80 тона, а през петата година – 180 тона.

А) С колко тона нараства събраното количество хартия всяка година?

Б) Колко тона общо са събрани за целия петгодишен период?
(Физика – Статика и Равнодействаща сила)

При почистване на речно корито два катера теглят паднало дърво. Първият катер тегли със сила $F_1 = 500$ N, а вторият – със сила $F_2 = 1200$ N, като ъгълът между двете въжета е точно 90°.

А) Изчислете големината на равнодействащата сила в нютони, която действа върху дървото.

Б) Намерете синуса на ъгъла, който равнодействащата сила сключва с въжето на първия катер ( $F_1$ ).
(Биология – Физиологично натоварване)

По време на кардио тренировка пулсът на атлет се покачва линейно. Зависимостта на сърдечната честота $H$ (удара в минута) от времето $m$ (в минути) през първите 12 минути се описва с функцията $H(m) = 72 + 6,5m$ .

А) Какъв е бил пулсът на атлета в състояние на покой непосредствено преди старта на тренировката?

Б) В коя минута от натоварването пулсът на спортиста ще достигне точно 137 удара в минута?
(Химия – Металургични сплави)

В леярна се смесват два вида отпадъчни алуминиеви сплави за повторна преработка. Първата сплав съдържа 8% мед, а втората – 18% мед.

А) Ако се претопят 50 kg от първата сплав и 150 kg от втората сплав, колко общо килограма чиста мед ще се съдържат в новата претопена маса?

Б) Какъв е процентният дял на медта в новополучената обща сплав?
(Физика – Хидростатично налягане)

Експериментален стъклен контейнер с форма на правоъгълен паралелепипед и размери на основата 60 cm на 50 cm е напълнен с дестилирана вода до височина 40 cm.

А) Изчислете обема на водата в контейнера в литри ( $1\text{ l} = 1000\text{ cm}^3$ ).

Б) Намерете хидростатичното налягане на дъното на контейнера по формулата $p = \rho \cdot g \cdot h$ , като приемете плътност на водата $\rho = 1000\text{ kg/m}^3$ и земно ускорение $g \approx 10\text{ m/s}^2$ .
(Агрономия – Статистически анализ)

Научен сътрудник изследва добива на нов сорт домати в 6 опитни оранжерийни лехи. Резултатите в килограми от леха са следните: 145, 160, 138, 152, 145, 170.

А) Пресметнете средния добив от една леха.

Б) Намерете медианата на тази извадка от данни.
(География – Картография и Мащаб)

На екологична карта на Природен парк „Витоша“ с мащаб 1:25 000 разстоянието между две изследователски станции е точно 12 cm.

А) Колко километра е действителното разстояние между двете станции на терена?

Б) Ако ботаник се движи пеша по права линия между тях със средна скорост 3 km/h, колко часа ще трае преходът му?
(Енергетика – Кръгови диаграми)

Регион е консумирал общо 60 TWh електроенергия за година. Енергийният микс е разпределен в следните отношения: ТЕЦ – 45%, ВЕЦ – 20%, АЕЦ – 25%, и ВЕИ (слънце и вятър) – останалата част.

А) Колко тераватчаса (TWh) електроенергия са произведени от ВЕИ източници в региона?

Б) Ако през следващата година производството от ВЕЦ нарасне с 15% при запазване на общото количество, колко TWh ще генерират водните централи?
(Физика – Термично разширение)

При нагряване на метална релса в лаборатория дължината и $L$ (в метри) се променя в зависимост от температурата $t$ (в градуси Целзий) по квадратната функция $L(t) = 4 + 0,002t + 0,00001t^2$ .

А) Каква е дължината на релсата при температура 0°C?

Б) Изчислете дължината на релсата, когато тя се нагрее до 60°C.
(Биология – Микробиологичен растеж)

При оптимални условия в чаша Петри колония от бактерии се размножава чрез делене, като общият им брой се удвоява на всеки 20 минути. Първоначално са регистрирани 400 бактерии.

А) Колко бактерии ще съдържа колонията след изтичането на 2 часа?

Б) Запишете математически израз за броя на бактериите след $x$ часа.

Ниво Б / Геометрия:

1. Екология и Хидрология (Подобни триъгълници – 8. клас)

При изследване на замърсяването на река, еколози фиксират четири точки на терена ( $A, B, C$ и $D$ ), така че правите $AB$ и $CD$ се пресичат в точка $O$ . Точките $A$ и $B$ са на единия бряг, а $C$ и $D$ – на отсрещния, като отсечките $AC$ и $BD$ са успоредни. Измервателните уреди показват, че $OA = 120$ m, $OD = 50$ m, а дължината на $OB$ е с 90 m по-голяма от тази на $OC$ .

А) Намерете точните разстояния $OC$ и $OB$ на терена.

Б) Ако разстоянието между двете позиции на левия бряг ( $AB$ ) е 180 m, намерете ширината на замърсената зона на отсрещния бряг ( $CD$ ).

Жокер: Тъй като $AC \parallel BD$ , триъгълниците $\triangle OAC$ и $\triangle OBD$ са подобни.

2. Оптика и Лазерни технологии (Метрични зависимости – 9. клас)

В оптична лаборатория лазерен лъч се изстрелва от източник в точка $C$ перпендикулярно към огледална повърхност $AB$ (правоъгълен триъгълник $\triangle ABC$ с $\angle C = 90^\circ$ ). Лъчът преминава през леща, разположена в точка $H$ , която е петата на височината към хипотенузата $AB$ . Сензорите отчитат, че проекцията на катета $AC$ върху хипотенузата ( $AH$ ) е 9 cm, а проекцията на катета $BC$ ( $BH$ ) е 16 cm.

А) Изчислете дължината на пътя на лазерния лъч от източника до лещата ( $CH$ ).

Б) Намерете разстоянието от източника $C$ до двата края на огледалната повърхност ( $AC$ и $BC$ ).

Жокер: Използвайте метричните зависимости в правоъгълен триъгълник

3. Биомеханика и Роботика (Косинусова теорема – 10. клас)

Инженери проектират бионична протеза на ръка. Двете основни звена (съответстващи на рамо и предмишница) имат дължини съответно $a = 30$ cm и $b = 40$ cm. В момент на максимално разтягане по време на спортна активност, вграденият микропроцесор отчита, че ъгълът между двете звена е точно 120°.

А) Намерете праволинейното разстояние в сантиметри между началната точка на рамото и върха на предмишницата при тази позиция.

Б) Пресметнете синуса на ъгъла, който първото звено сключва с линията на директното разстояние.

4. Агроекология и Геопланиране (Трапецоид и средна отсечка – 8. клас)

Опитен пасищен участък за застрашени видове животни има форма на равнобедрен трапец $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ ). Базата данни сочи, че долната основа $AB = 200$ m, остротата на ъгъла при основата е 60°, а бедрото $AD = 80$ m. Заради сигурността на животните, еколозите трябва да прекарат защитна алея по средната отсечка на трапеца.

А) Намерете дължината на горната основа $CD$ и дължината на защитната алея (средната отсечка).

Б) Пресметнете общата площ на пасищния участък в квадратни метри.

Жокер: Спуснете височината $DM$

5. Възобновяема енергия и Финанси (Тригонометрия – 9. клас)

Архитекти проектират покрив на еко-къща с едноскатна конструкция, върху която ще се монтират фотоволтаични панели. Напречното сечение на покрива е правоъгълен триъгълник. Вертикалната подпора на покрива има височина 3 m, а ъгълът на наклона на ската спрямо хоризонтала е точно 30°. Изграждането на конструкцията и доставката на панелите струва по 150 € на линеен метър по дължината на ската (хипотенузата).

А) Намерете дължината на ската, върху който ще се поставят панелите.

Б) Каква ще бъде общата стойност на инвестицията за този покрив, ако дължината на къщата изисква поставянето на 8 паралелни профила с тази дължина?

6. Кристалография и Нанотехнологии (Правилни полигони – 8./9. клас)

При изследване на наноструктури учените анализират напречно сечение на въглеродна тръба, което представлява правилен шестоъгълник $ABCDEF$ . Около тази структура е развит защитен кръгъл слой (описана окръжност) с радиус $R = 10$ nm.

А) Намерете разстоянието между две най-отдалечени успоредни стени на въглеродната структура (разстоянието между страните $AB$ и $DE$ ).

Б) Изчислете площта на сечението на въглеродната тръба (лицето на шестоъгълника). Изразете отговора с точна стойност, съдържаща радикал.

7. Екологичен мониторинг (Синусова теорема – 10. клас)

Две хидроакустични станции $A$ и $B$ са разположени на разстояние $c = 12$ km една от друга на океанското дъно и улавят сигнали от мигриращ син кит в точка $C$ . В даден момент компютърът изчислява, че $\angle CAB = 45^\circ$ и $\angle ABC = 105^\circ$ .

А) Определете градусната мярка на ъгъл $\angle ACB$ при позицията на кита.

Б) Намерете точното разстояние в километри от станция $A$ до кита ( $BC$ ).

8. Метеорология и Хидродинамика (Стереометрия – 10. клас)

Специализиран дъждомер се състои от горна част с форма на прав кръгов цилиндър и долна утаечна част с форма на прав кръгов конус с обща ос. Цилиндърът и конусът имат еднакви радиуси на основите $r = 6$ cm. Височината на цилиндричната част е 15 cm, а образувателната на конуса е 10 cm.

А) Намерете височината на коничната част на уреда.

Б) Изчислете пълния обем на дъждомера (използвайте $\pi \approx 3,14$ ).

Жокер: Височината на конуса образува правоъгълен триъгълник с радиуса на основата и образувателната

9. Сизмология и Геофизика (Метрични зависимости – 9. клас)

При симулиране на трус, две подземни изследователски сондажни точки $A$ и $B$ образуват правоъгълен триъгълник $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ) с епицентъра на повърхността в точка $C$ . От точка $C$ е спуснат вертикален измервателен кабел $CH$ към правата линия между станциите $AB$ ( $CH \perp AB$ ). Дължината на кабела $CH$ е 120 m, а разстоянието от станция $A$ до петата на кабела ( $AH$ ) е 90 m.

А) Намерете разстоянието от петата на кабела до станция $B$ ( $BH$ ).

Б) Пресметнете директното разстояние през земните пластове между двете изследователски сондажи $A$ и $B$ .

10. Астрономия и Сателитна комуникация (Окръжност и триъгълник – 8./9. клас)

Три комуникационни сателита заемат позиции на орбити, които съвпадат с върховете на триъгълник $\triangle ABC$ , вписан в окръжност (сечение на земната сфера в определена равнина). Страните на триъгълника са $AB = 13$ km, $BC = 14$ km и $AC = 15$ km.

А) Намерете площта на триъгълника, образуван от трите сателита.

Б) Пресметнете радиуса на окръжността на орбиталния сектор (радиуса на описаната окръжност $R$ ).

Жокер: Херонова формула за лице на триъгълник

11. Физика на материалите (Трапец и Питагорова теорема – 8./9. клас)

За нуждите на хидроенергетиката се изработва преграден щит, чието напречно сечение е правоъгълен трапец $ABCD$ ( $\angle A = \angle D = 90^\circ$ ). Горната основа (която е подложена на по-малък натиск) е $CD = 7$ cm, долната основа е $AB = 12$ cm, а наклонената задна стена (бедрото $BC$ ) е 13 cm.

А) Намерете височината на преградния щит (дължината на катета $AD$ ).

Б) Изчислете дължината на вътрешния укрепващ диагонал $AC$ .

Жокер: Спуснете височината $CH$ от върха $C$

12. Еко-архитектура и Оптимизация (Лице на триъгълник – 9. клас)

Проектира се зелен вътрешен двор с форма на равнобедрен триъгълник $\triangle ABC$ ( $AC = BC$ ), чийто периметър е 36 m, а основата му $AB$ е 10 m. Архитектите трябва да покрият централната му част с био-настилка, чиято цена е 40 € за квадратен метър.

А) Намерете дължините на бедрата на триъгълния двор и неговата височина към основата.

Б) Изчислете общата стойност на био-настилката за целия двор в €.

13. Морска навигация (Медиана в правоъгълен триъгълник – 8./9. клас)

Спасителен катер се намира в точка $M$ , която е среда на хипотенузата $AB$ на правоъгълен изследователски сектор $\triangle ABC$ ( $\angle C = 90^\circ$ ). Двата бряга (катетите на триъгълника) имат дължини съответно $AC = 16$ мили и $BC = 12$ мили. Катерът получава сигнал за бедствие от изследователска станция, разположена точно във върха на правия ъгъл (точка $C$ ).

А) Намерете дължината на хипотенузата $AB$ на сектора.

Б) Колко мили трябва да измине катерът по права линия до точка $C$ , за да достигне станцията?

14. Оптика и Огледални системи (Тригонометрични функции – 9./10. клас)

В перископ се използват две огледала. Светлинен лъч преминава през триъгълна конфигурация $\triangle ABC$ , за която е известно, че страната $AB = 8$ cm, страната $AC = 5$ cm, а косинусът на ъгъла между тях е $\cos \angle BAC = \frac{3}{5}$ .

А) Намерете точната дължина на третата страна $BC$ .

Б) Пресметнете лицето на триъгълната система от лъчи.

Жокер: Косинусовата теорема…

15. Стереометрия и Пречиствателни съоръжения (Пирамида – 10. клас)

Подземен резервоар за филтриране на тежки утайки има форма на правилна четириъгълна пирамида $ABCDM$ с връх $M$ , обърнат надолу. Основният ръб (горният отвор на резервоара) има дължина $a = 12$ m, а апотемата на пирамидата е $k = 10$ m.

А) Намерете височината на резервоара.

Б) Пресметнете площта на околната повърхност на резервоара, която трябва да се изолира със специално защитно покритие.

Ниво В / Разни:

1. Геофизика и Вектори (Косинусова теорема)

Два тектонични пласта се застъпват, предизвиквайки сили на натиск върху една и съща точка под ъгъл 120°. Първата сила е с големина 5 N, а втората – 8 N.

А) Намерете големината на равнодействащата сила на натиск в нютони.

Б) Ако ъгълът между двете сили се намали двойно (стане 60°), пресметнете новата големина на равнодействащата сила.

Жокер: Използвайте косинусовата теорема за векторно събиране: $F^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2 \cos\alpha$ . Внимавайте със знака на $\cos 120^\circ$ , който е равен на $-0,5$ .

2. Химия и Алгебрични системи (Концентрация на разтвори)

В лаборатория се провежда двуетапен процес на изпарение и обогатяване. Лаборант разполага с 10 kg разтвор на киселина с концентрация 20%. Първоначално разтворът се нагрява, докато се изпари определено количество чиста вода и концентрацията се покачи на 25%. След това към получилия се нов разтвор се добавя чиста киселина, за да се достигне крайна концентрация от 40%.

А) Колко килограма вода са се изпарили при нагряването?

Б) Колко килограма чиста киселина са добавени на втория етап?

Жокер: Помнете, че при изпарението на вода масата на чистата киселина остава непроменена, а при втория етап добавяте 100% чиста киселина.

3. Екология и Оптимизация (Квадратна функция с ограничение)

Еколози планират да заградят правоъгълен резерват за защитени птици по поречието на права река. Резерватът трябва да бъде разделен на две еднакви зони с вътрешна ограда, перпендикулярна на реката. Откъм реката ограда няма да се поставя. Общата дължина на наличната мрежа за оградата (външна и вътрешна) е точно 400 метра.

А) Изразете общата площ на резервата като функция на дължината на перпендикулярната страна $x$ .

Б) Намерете максималната възможна площ на резервата в квадратни метри.

4. Астрофизика и Ирационални уравнения (Орбитална механика)

В теоретичен модел на нова екзопланетарна система връзката между радиуса на орбитата $x$ и времето за една пълна обиколка се описва с ирационалното уравнение $\sqrt{2x^2 - 3x + 1} = x - 1$ .

А) Намерете реалните корени на уравнението, които определят възможните стабилни орбити.

Б) Обяснете защо стойността $x = 0$ не може да бъде решение, дори и да удовлетворява някои междинни алгебрични преобразувания.

Жокер: Повдигнете двете страни на квадрат, но задължително поставете условието за допустими стойности…

5. Зелена енергия и Прогресии (Финансов анализ)

Инвестиционен фонд влага 10 000 € в изграждане на геотермална централа. Годишната чиста печалба от проекта за първата година е 2000 €, а през всяка следващая година нараства с 10% спрямо предходната (геометрична прогресия).

А) Каква ще бъде чистата печалба на фонда само през третата година от експлоатацията?

Б) За колко години общата сума от печалбите ще надхвърли първоначалната инвестиция от 10 000 €?

Жокер: Използвайте формулата за общия член $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ при частно $q = 1,1$ …

6. Genetics и Комбинаторика (Сложна вероятност)

При изследване на растителен вид се проследяват три независими генетични белега. Вероятността произволно растение да прояви първия белег е 1/2, втория – 1/3, а третия – 1/4.

А) Каква е вероятността едно растение да не прояви нито един от трите белега?

Б) Каква е вероятността едно растение да прояви точно два от трите белега?

Жокер: За подточка А намерете вероятностите за непроявяване на всеки белег (например $1 - 1/2$ )…

7. Физика и Кинематика (Системи квадратни уравнения)

Две сонди за изследване на почвата стартират едновременно една срещу друга от двата края на трасе с дължина 84 метра. Първата сонда се движи равномерно с постоянна скорост 5 m/s. Втората сонда стартира от състояние на покой и се движи равноускорително с ускорение 2 m/s$^2$, като изминатият от нея път се пресмята по формулата $s = t^2$ .

А) След колко секунди двете сонди ще се срещнат?

Б) Какво разстояние ще е изминала всяка от сондите до момента на срещата?

Жокер: Сборът от пътищата на двете сонди в момента на срещата е равен на…

8. Горска екология и Тригонометрия (Синусова теорема)

Две еко-станции, намиращи се на разстояние 10 km една от друга по права линия, засичат гъст дим от горски пожар. Станция А измерва ъгъл между линията на свързване и пожара равен на 45°, а Станция Б измерва ъгъл равен на 60°.

А) Намерете разстоянието от Станция А до огнището на пожара (изразете го с точна стойност, съдържаща радикали).

Б) Намерете синуса на третия ъгъл в триъгълника (ъгъла при самия пожар).

Жокер: За да намерите точната стойност на $\sin 75^\circ$ , може да приложите формулата за синус от сбор…

9. Биохимия и Системи от по-висока степен

При биохимична реакция скоростта на свързване на два ензима зависи от техните концентрации $x$ и $y$ (в mol/l). Оптималният баланс в системата изисква концентрациите да удовлетворяват математическата система:

x + y = 7

x^2 + y^2 = 25

А) Намерете стойностите на концентрациите $x$ и $y$ , ако е известно, че $x > y$ .

Б) Каква ще бъде стойността на произведението $x \cdot y$ ?

Жокер: Това е класическа симетрична система.

10. Екология и Диофантови уравнения (Управление на ресурсите)

За пречистване на токсични емисии фабрика трябва да закупи два типа филтри. Филтър от тип А неутрализира 3 тона вредни емисии на месец, а филтър от тип Б – 5 тона на месец. Мениджърите трябва да подберат такава комбинация от филтри, че общо да се неутрализират точно 34 тона емисии на месец.

А) Намерете всички възможни двойки естествени числа (брой филтри от тип А и тип Б), които изпълняват това условие.

Б) Коя комбинация изисква най-малък общ брой филтри?

Жокер: Съставете уравнението $3x + 5y = 34$

11. Материална физика и Планиметрия (Кристални решетки)

Напречното сечение на въглеродна наноструктура има форма на правилен шестоъгълник, който е вписан в кръгла лабораторна паничка (окръжност) с радиус 6 cm.

А) Намерете периметъра на шестоъгълната структура.

Б) Изчислете точната площ на тази шестоъгълна структура.

12. Електротехника и Рационални уравнения (Паралелно свързване)

Два нагревателни елемента в експериментална физична кутия са свързани успоредно и имат еквивалентно съпротивление 12 $\Omega$ . Известно е, че съпротивлението на единия нагревател е с 10 $\Omega$ по-голямо от това на другия.

А) Съставете дробно-рационално уравнение за намиране на индивидуалните съпротивления.

Б) Намерете съпротивлението на всеки от двата елемента.

Жокер: Формулата за еквивалентно съпротивление при успоредно свързване е $\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{R_{\text{екв}}}$ . Означете по-малкото съпротивление с $x$ , което води до уравнението…

13. Метеорология и Статистически трикове (Средни стойности)

Средната денонощна температура за една пълна седмица (7 дни), измерена от автоматична метеорологична станция, е точно 15°C. Когато от статистическите данни се изключи най-горещият ден (в който е регистриран температурен пик), средната температура на останалите 6 дни пада на 14°C.

А) Колко градуса Целзий е била температурата в най-горещия ден?

Б) Ако в най-студения ден температурата е била 8°C, какъв е размахът на тази извадка от данни за цялата седмица?

14. Хидродинамика и Системи дробни уравнения (Работа)

Резервоар в пречиствателна станция се пълни от две тръби. Ако работят едновременно, те го напълват за 4 часа. Ако първата тръба работи самостоятелно 2 часа, а след това втората работи самостоятелно 3 часа, ще се напълнят точно 3/5 от обема на резервоара.

А) За колко часа всяка тръба може самостоятелно да напълни целия резервоар?

Б) Каква част от резервоара ще остане празна, ако първата тръба работи сама в продължение на 5 часа?