-
2024 г. (№ 14): Точка $P$ лежи на ъглополовящата на $\angle ABC = 60^\circ$. Ако разстоянието от $P$ до рамото $BA$ е $8\text{ cm}$, намерете дължината на отсечката $BP$.
-
2023 г. (№ 14): Правите $a$ и $b$ са успоредни, пресечени с права $c$. Ако единият от кръстните ъгли е $65^\circ$, намерете мярката на неговия съседен ъгъл.
-
2022 г. (№ 16): В $\triangle ABC$ ъгълът при върха $C$ е $90^\circ$, а $\angle BAC = 40^\circ$. През върха $C$ е прекарана права $c \parallel AB$. Намерете острия ъгъл между правата $c$ и катета $BC$.
-
2022 г. (№ 17): В $\triangle ABC$ $\angle A = 50^\circ$ и $\angle B = 70^\circ$. Външните ъглополовящи при върховете $A$ и $B$ се пресичат в точка $M$. Намерете мярката на $\angle AMB$.
-
2021 г. (№ 14): За триъгълниците $ABC$ и $A_1B_1C_1$ е известно, че $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$. По кой признак триъгълниците са еднакви?
-
2020 г. (№ 14): В равнобедрения $\triangle ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при основата $AB$ е $55^\circ$. Намерете ъгъла при върха $C$.
-
2020 г. (№ 17): В четириъгълника $ABCD$ диагоналът $AC$ разделя четириъгълника на два триъгълника. Ако периметърът на $\triangle ABC$ е $22\text{ cm}$, периметърът на $\triangle ADC$ е $26\text{ cm}$ и $AC = 8\text{ cm}$, намерете периметъра на четириъгълника $ABCD$.
-
2019 г. (№ 16): В $\triangle ABC$ ъглополовящите на ъглите при върховете $A$ и $B$ се пресичат в точка $O$. Ако $\angle AOB = 125^\circ$, намерете мярката на $\angle C$.
-
2018 г. (№ 14): Дължините на две от страните на триъгълник са $5\text{ cm}$ и $8\text{ cm}$. Кое от следните числа НЕ може да бъде дължина на третата страна: $4\text{ cm}$, $8\text{ cm}$, $12\text{ cm}$ или $13\text{ cm}$?
-
2017 г. (№ 16): Равнобедрен триъгълник има страни с дължини $4\text{ cm}$ и $9\text{ cm}$. Намерете периметъра на триъгълника.
-
2016 г. (№ 14): Симетралата на страната $AB$ в $\triangle ABC$ пресича страната $AC$ в точка $M$. Ако периметърът на $\triangle MBC$ е $18\text{ cm}$ и $BC = 7\text{ cm}$, намерете дължината на страната $AC$.
-
2015 г. (№ 14): В $\triangle ABC$ ($AC = BC$) симетралата на бедрото $AC$ пресича другото бедро $BC$ в точка $K$. Ако $\angle C = 40^\circ$, намерете мярката на $\angle BAK$.
-
2014 г. (№ 14): В равностранния $\triangle ABC$ точка $D$ е от страната $AB$ така, че $CD \perp AB$. Ако $CD = 6\text{ cm}$, намерете разстоянието от точка $D$ до страната $AC$.
-
2013 г. (№ 14): Външният ъгъл при върха $C$ на $\triangle ABC$ е $110^\circ$. Ако ъглите при върховете $A$ и $B$ се отнасят както $2 : 3$, намерете мярката на най-малкия вътрешен ъгъл на триъгълника.
-
2012 г. (№ 14): Две прави се пресичат в точка $O$. Сумата на два от получените ъгли е $100^\circ$. Намерете мярката на всеки от останалите два ъгъла.
-
2024 г. (№ 22): В остроъгълния $\triangle ABC$ ъглополовящата на $\angle BAC$ пресича страната $BC$ в точка $L$. През точка $L$ е издигнат перпендикуляр към $AL$, който пресича правата $AB$ в точка $P$ и правата $AC$ в точка $Q$.а) Докажете, че $\triangle APQ$ е равнобедрен.б) Ако $\angle B = 50^\circ$ и $\angle C = 60^\circ$, намерете ъглите на $\triangle LPB$.
-
2020 г. (№ 22): В $\triangle ABC$ симетралата на страната $AB$ пресича страната $AC$ в точка $M$, а симетралата на страната $AC$ пресича правата $AB$ в точка $N$. Ако $BM$ е ъглополовяща на $\angle B$ и $\angle A = 40^\circ$:а) Докажете, че $\triangle ABM$ е равнобедрен.б) Намерете ъглите на $\triangle ABC$.в) Докажете, че $MN \parallel BC$.
-
2018 г. (№ 22): В равнобедрения $\triangle ABC$ ($AC = BC$) с остър ъгъл при върха $C$ височините $AD$ ($D \in BC$) и $BE$ ($E \in AC$) се пресичат в точка $H$.а) Докажете, че $\triangle AHE \cong \triangle BHD$.б) Ако $\angle C = 40^\circ$, намерете мярката на $\angle AHB$.в) Докажете, че правата $CH$ е симетрала на отсечката $AB$.
-
2016 г. (№ 22): В $\triangle ABC$ $\angle A = 80^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Ъглополовящата $AL$ ($L \in BC$) и височината $BH$ ($H \in AC$) се пресичат в точка $O$.а) Намерете ъглите на $\triangle ABO$.б) Сравнете по големина отсечките $AH$, $HO$ и $OB$.в) Намерете мярката на $\angle COL$.
-
2012 г. (№ 22): В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$) е прекарана височината $CD$ ($D \in AB$). Точка $M$ е от отсечката $AD$ така, че $CM$ е ъглополовяща на $\angle ACD$.а) Намерете ъглите на $\triangle AMC$.б) Докажете, че $BM = BC$.в) Ако $CD = 9\text{ cm}$, намерете разстоянието от точка $M$ до страната $AC$.
Допълнително упражнение:
-
В правоъгълния $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$) отсечките $CD$ и $CM$ са съответно височина и медиана към хипотенузата $AB$. Ъглополовящата на $\angle ACD$ пресича $AB$ в точка $L$.а) Докажете, че $\triangle BCL$ е равностранен.б) Ако $DL = 4\text{ cm}$, намерете дължината на хипотенузата $AB$.
-
В $\triangle ABC$ ($\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 80^\circ$) симетралата $s_1$ на страната $AB$ пресича $AC$ в точка $M$, а симетралата $s_2$ на страната $BC$ пресича $AC$ в точка $N$.а) Определете подредбата на точките $A, N, M, C$ върху отсечката $AC$ и намерете ъглите на $\triangle BMN$.б) Докажете, че периметърът на $\triangle BMN$ е равен на $AC + MN$.
-
В $\triangle ABC$ с $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$, височината към хипотенузата е $CD$ ($D \in AB$). Перпендикулярната симетрала на катета $AC$ пресича хипотенузата $AB$ в точка $K$.а) Докажете, че $\triangle AKC$ е равнобедрен и че $K$ е средата на хипотенузата $AB$.б) Ако $DK = 3\text{ cm}$, намерете дължината на хипотенузата $AB$.
-
В равнобедрения $\triangle ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при върха $C$ е $120^\circ$. Височината към основата $AB$ е $CH$ ($H \in AB$), а височината към бедрото $AC$ е $BD$ ($D \in AC$).а) Докажете, че $CH = CD$.б) Ако $CD = 5\text{ cm}$, намерете дължината на бедрото $BC$ и доказателството, че $BD < AB$.
-
В правоъгълния $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 30^\circ$) $M$ е средата на хипотенузата $AB$. През $M$ е издигнат перпендикуляр $p \perp AB$, който пресича катета $AC$ в точка $K$ и правата $BC$ в точка $P$.а) Намерете ъглите на $\triangle KBP$.б) Докажете, че $CK = MK$.в) Докажете равенството $MP = 3 \cdot MK$.
-
За ъглите на $\triangle ABC$ е известно, че $\angle A : \angle B : \angle C = 1 : 2 : 3$. Ъглополовящата на $\angle B$ пресича страната $AC$ в точка $L$. През точка $L$ е прекарана права, успоредна на $AB$, която пресича $BC$ в точка $M$.а) Намерете ъглите на $\triangle ABC$ и $\triangle BLM$.б) Докажете, че $\triangle BLM$ е равнобедрен и че $CL = LM$.в) Ако $AB = 3x + 6$, изразете отсечката $MC$ чрез $x$.
-
В остроъгълния $\triangle ABC$ $\angle A = 50^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Симетралата на $AC$ пресича $AB$ в точка $M$, а симетралата на $BC$ пресича $AB$ в точка $N$.а) Намерете ъглите на $\triangle CMN$.б) Ако $CL$ е ъглополовяща на $\angle MCN$ ($L \in AB$), намерете мярката на $\angle CLB$.
-
В правоъгълния $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^\circ$, $\angle B = 60^\circ$) отсечките $CH$, $CL$ и $CM$ са съответно височина, ъглополовяща и медиана към хипотенузата $AB$.а) Докажете, че $\angle HCL = \angle LCM = 15^\circ$.б) Докажете, че $CL$ е ъглополовяща на $\angle HCM$.в) Ако $HM = 9\text{ cm}$, намерете дължината на хипотенузата $AB$.
-
В $\triangle ABC$ с $\angle C = 90^\circ$ и $\angle A = 30^\circ$, ъглополовящата на външния ъгъл при върха $A$ и ъглополовящата на външния ъгъл при върха $B$ се пресичат в точка $J$.а) Намерете мярката на $\angle AJB$.б) Докажете, че $CJ$ е ъглополовяща на $\angle ACB$ и намерете ъглите на $\triangle ACJ$.
-
В $\triangle ABC$ $\angle A = 30^\circ$ и $\angle B = 105^\circ$. Височината $CD$ към правата $AB$ ($D \in AB^{\to}$) има дължина $CD = 6\text{ cm}$.а) Намерете ъглите на $\triangle BCD$ и дължината на страната $AC$.б) Ако $M$ е средата на $AC$, намерете дължината на отсечката $DM$ и ъглите на $\triangle ADM$.в) Докажете, че периметърът на $\triangle BCD$ е по-малък от $24\text{ cm}$.
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!