| № | Вариант А | Вариант Б |
| 1 | Дадени са $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$, за които $AB = A_1B_1 = 7\text{ cm}$, $BC = B_1C_1 = 5\text{ cm}$ и $AC = A_1C_1 = 6\text{ cm}$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$, и намерете $\angle A_1$, ако $\angle A = 45^\circ$. | Дадени са $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$ с равни съответни страни $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$. Докажете, че триъгълниците са еднакви, и намерете $\angle A$ и $\angle C$, ако $\angle B_1 = 70^\circ$ и $\angle C_1 = 50^\circ$. |
| 2 | Четириъгълник $ABCD$ има страни $AB = AD$ и $BC = DC$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta ADC$ и че диагоналът $AC$ е ъглополовяща на $\angle BAD$. | Четириъгълник $ABCD$ има равни противоположни страни: $AB = CD$ и $BC = AD$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta CDA$, и намерете $\angle ABC$, ако $\angle ADC = 110^\circ$. |
| 3 | Две окръжности с центрове $O_1$ и $O_2$ се пресичат в точки $A$ и $B$. Докажете, че $\Delta O_1O_2A \cong \Delta O_1O_2B$. | Две еднакви окръжности с центрове $O_1$ и $O_2$ и радиус $R = 6\text{ cm}$ се пресичат в точки $A$ и $B$. Докажете, че $\Delta O_1AB \cong \Delta O_2AB$, и определете вида на четириъгълника $O_1AO_2B$. |
| 4 | Върху отсечка $AB$ са взети точки $M$ и $N$ така, че $AM = BN$. Вън от $AB$ е взета точка $C$ така, че $AC = BC$ и $MC = NC$. Докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta BNC$. | Върху права $g$ са дадени точки $A, B, C, D$ в този ред, като $AB = CD$. Вън от правата е взета точка $P$ така, че $AP = DP$ и $BP = CP$. Докажете, че $\Delta ABP \cong \Delta DCP$. |
| 5 | Отсечките $AB$ и $CD$ са такива, че $AC = BD$ и $AD = BC$. Докажете, че $\Delta ABD \cong \Delta BAC$, и намерете $\angle BDA$, ако $\angle CAD = 35^\circ$ и $\angle ADC = 75^\circ$. | Отсечките $AC$ и $BD$ се пресичат, като $AD = BC$ и $AC = BD$. Докажете, че $\Delta ABD \cong \Delta BAC$, и намерете ъглите на $\Delta ABC$, ако $\angle DAB = 65^\circ$ и $\angle ABD = 25^\circ$. |
| 6 | В $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е медиана. Върху продължението на $CD$ зад $D$ е нанесена точка $M$ така, че $CD = DM$. Ако $AC = BM$, докажете, че $\Delta ADC \cong \Delta BDM$. | За $\Delta ABC$ и $\Delta ABD$ с обща страна $AB$ е известно, че $AC = BD$ и $BC = AD$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta BAD$ и че $\angle ACB = \angle BDA$. |
| 7 | Върху страните $AC$ и $BC$ на $\Delta ABC$ външно са построени $\Delta AMC$ и $\Delta BNC$ така, че $AM = BN$, $MC = NC$ и $AC = BC$. Докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta BNC$. | Четириъгълник $ABCD$ е такъв, че $AB = BC$ и $AD = CD$. Докажете, че $\Delta ABD \cong \Delta CBD$ и че диагоналите $AC$ и $BD$ са перпендикулярни. |
| 8 | В $\Delta ABC$ точките $P$ и $Q$ са от страните $AC$ и $BC$ съответно, като $AP = BQ$ и $BP = AQ$. Докажете, че $\Delta ABP \cong \Delta BAQ$. | В $\Delta ABC$ точки $P$ и $Q$ са от страните $AC$ и $BC$ съответно, като $AP = BQ$ и $AQ = BP$. Докажете, че $\Delta ABQ \cong \Delta BAP$, и намерете $\angle AQB$, ако $\angle BPA = 105^\circ$. |
| 9 | Триъгълниците $ABC$ и $ABD$ имат обща страна $AB$, като $AC = AD$ и $BC = BD$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta ABD$ и че $AB$ е ъглополовяща на $\angle CAD$. | Триъгълниците $ABC$ и $ABD$ имат обща страна $AB$, като $AC = AD = 8\text{ cm}$ и $BC = BD = 5\text{ cm}$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta ABD$. Ако $\angle ACB = 75^\circ$, намерете $\angle ADB$. |
| 10 | Два триъгълника $ABC$ и $A_1B_1C_1$ имат равни периметри $P = 24\text{ cm}$, $AB = A_1B_1 = 9\text{ cm}$ и $BC = B_1C_1 = 7\text{ cm}$. Докажете, че са еднакви, и намерете $AC$. | За $\Delta ABC$ и $\Delta A_1B_1C_1$ е известно, че $AB = A_1B_1 = 10\text{ cm}$ и $P_{\Delta ABC} = P_{\Delta A_1B_1C_1} = 28\text{ cm}$. Ако $AC = 8\text{ cm}$ и $B_1C_1 = 10\text{ cm}$, докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta A_1B_1C_1$. |
| 11 | В четириъгълник $ABCD$ противоположните страни са равни: $AB = CD$ и $AD = BC$. Докажете, че $\Delta ABD \cong \Delta CDB$ и че $\angle ABD = \angle CDB$. | В четириъгълник $ABCD$ е известно, че $AB = CD$ и $AD = BC$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta CDA$. Ако $\angle CAD = 40^\circ$ и $\angle ACD = 30^\circ$, намерете ъглите на $\Delta ABC$. |
| 12 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) точките $M$ и $N$ са среди съответно на $AC$ и $BC$. Ако $AM = BN$ и $AN = BM$, докажете, че $\Delta ABM \cong \Delta BAN$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) точки $M \in AC$ и $N \in BC$ са такива, че $AM = BN$ и $AN = BM$. Докажете, че $\Delta ANC \cong \Delta BMC$, и намерете $\angle ANC$, ако $\angle BMC = 100^\circ$. |
| 13 | Права $s$ е симетрала на отсечката $AB$. Точки $P$ и $Q$ лежат на $s$. Докажете, че $\Delta APQ \cong \Delta BPQ$. | Права $s$ е симетрала на отсечката $AB$ ($s \cap AB = M$). Точки $P$ и $Q$ са от $s$. Докажете, че $\Delta APQ \cong \Delta BPQ$, и намерете $\angle PAQ$, ако $\angle PBQ = 40^\circ$. |
| 14 | В $\Delta ABC$ отсечката $CL$ е ъглополовяща. Върху $CA$ и $CB$ са нанесени точки $M$ и $N$ така, че $CM = CN$. Точка $P \in CL$ е такава, че $MP = NP$. Докажете, че $\Delta CMP \cong \Delta CNP$. | В $\Delta ABC$ отсечката $CL$ е ъглополовяща. Върху $CA$ и $CB$ са нанесени $M$ и $N$ с $CM = CN$. Точка $P \in CL$ е такава, че $MP = NP$. Ако $AC = BC$, докажете, че $\Delta AMP \cong \Delta BNP$. |
| 15 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) симетралата $s_{AB}$ пресича $AB$ в точка $D$ ($s_{AB} \cap AB = D$). Ако $M$ е среда на $CD$, докажете, че $\Delta ADM \cong \Delta BDM$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) симетралата $s_{AB}$ пресича $AB$ в $D$. Точка $K$ е от $CD$. Докажете, че $\Delta ACK \cong \Delta BCK$, и намерете $P_{\Delta ACK}$, ако $AC = 12\text{ cm}$ и $AK = 7\text{ cm}$. |
| 16 | За $\Delta ABC$ и $\Delta ABD$ с обща страна $AB$ е дадено $AC = AD$ и $BC = BD$. Докажете, че $\Delta ABC \cong \Delta ABD$. Ако външният ъгъл при върха $C$ е $110^\circ$, намерете $\angle ADB$. | За $\Delta ABC$ и $\Delta ABD$ с обща страна $AB$ е известно, че $AC = AD$ и $BC = BD$. Докажете еднаквостта им. Ако $CL$ е ъглополовяща на $\angle ACB$ и $DL$ е ъглополовяща на $\angle ADB$, докажете, че $\Delta ACL \cong \Delta ADL$. |
| 17 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) отсечката $CD$ е височина към основата $AB$. Точка $M$ е от $CD$. Докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta BMC$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) отсечката $CD$ е височина ($D \in AB$). Точка $M$ е от $CD$, а $N$ е от продължението на $CD$ зад $D$. Докажете, че $\Delta AMN \cong \Delta BMN$. |
| 18 | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AB}$ пресича $AB$ в $D$. Върху $s_{AB}$ е взета точка $P$. Докажете, че $\Delta ADP \cong \Delta BDP$ и че $DP$ е ъглополовяща на $\angle APB$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC = 10\text{ cm}$) симетралата $s_{AC}$ пресича $BC$ в $M$. Точка $N$ е от $s_{AC}$ така, че $AN = MC$ и $NC = AM$. Докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta ANC$. |
| 19 | Даден е равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$). Симетралата $s_{AB}$ пресича $AB$ в $D$. Точки $M$ и $N$ са върху $s_{AB}$ така, че $AM = BM$ и $AN = BN$. Докажете, че $\Delta AMN \cong \Delta BMN$. | Права $s$ е симетрала на $AB$ ($s \cap AB = M$). Точка $C \in s$. Отсечката $CD$ е ъглополовяща в $\Delta ABC$. Докажете, че $D$ съвпада с $M$, като използвате еднаквостта на $\Delta ADC$ и $\Delta BDC$. |
| 20 | В $\Delta ABC$ точки $M \in AC$ и $N \in BC$ са избрани така, че $AM = BN$ и $AN = BM$. Докажете, че $\Delta ABM \cong \Delta BAN$ и че $\Delta ABC$ е равнобедрен. | В $\Delta ABC$ отсечките $AN$ и $BM$ са медиани към $AC$ и $BC$. Известно е, че $AN = BM$ и $AM = BN$. Докажете, че $\Delta ABM \cong \Delta BAN$ и че симетралата $s_{AB}$ минава през върха $C$. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!