7.42.1 Задачи от НВО: Многочлени и формули

2024 г. (№ 8): Разложете на множители многочлена $A = x^3 – 4x^2 – 9x + 36$.

2024 г. (№ 10): За коя стойност на параметъра $a$ коефициентът пред $x$ в нормалния вид на многочлена $(2x – a)^2 – (x + 3)(x – 3)$ е равен на $-12$?

2023 г. (№ 18): Даден е изразът $A = (2x – 1)^2 – 2(2x – 1)(x + 3) + (x + 3)^2$.

а) Представете $A$ в нормален вид.

б) Пресметнете числената стойност на $A$ за $x = -\frac{1}{3}$.

2023 г. (№ 7): Разложете на множители израза $B = 9x^2 – y^2 + 6x + 1$.

2022 г. (№ 9): За коя стойност на параметъра $a$ нормалният вид на многочлена $(x – a)(x^2 + 3x – 2) – (x^3 – 4)$ не съдържа член от втора степен ($x^2$)?

2022 г. (№ 12): Ако $x + y = 5$ и $xy = 3$, намерете числената стойност на израза $x^3 + y^3$.

2021 г. (№ 8): Представете като произведение от множители израза $C = x^2 – 4y^2 – 2x + 4y$.

2021 г. (№ 11): Намерете най-голямата стойност на израза $Q = 5 – (2x – 3)^2$ и стойността на $x$, за която тя се получава.

2020 г. (№ 18): Даден е многочленът $M = x^2 – 6x + 13$.

а) Представете $M$ във вида $(x – a)^2 + b$.

б) За коя стойност на $x$ изразът $M$ приема най-малка стойност и коя е тя?

2020 г. (№ 6): Разложете на множители многочлена $D = a^2 – b^2 – a – b$.

2019 г. (№ 9): Разложете на множители многочлена $A = 8x^3 – 27 – (2x – 3)(4x + 1)$.

2019 г. (№ 11): За коя стойност на променливата $x$ числената стойност на многочлена $M = (2x – 1)^2 – 4x(x – 2)$ е равна на $13$?

2018 г. (№ 18): Даден е многочленът $N = (x – 2)^3 – x(x – 3)^2 + 4$.

б) Пресметнете стойността на $N$ за $x = \vert{}1 – \sqrt{5}\vert{} – \sqrt{5}$.

2018 г. (№ 7): Представете като произведение от множители израза $K = x^3 + x^2 – x – 1$.

2017 г. (№ 10): Коефициентът пред $x^2$ в нормалния вид на многочлена $A = (2x – 1)^3 – 3x(x + a)^2$ е равен на 3. Намерете стойността на параметъра $a$.

2017 г. (№ 12): Представете многочлена $A = 2x^2 + 8x + 11$ във вида $a(x + m)^2 + n$ и намерете най-малката му стойност.

2016 г. (№ 8): Разложете на множители израза $B = ax^2 – ay^2 – bx + by$.

2016 г. (№ 9): Представете в нормален вид израза $(x + 2)^3 – (x – 1)(x^2 + x + 1) – 6x^2$.

2015 г. (№ 18): Даден е изразът $P = (3x – 2)^2 – (3x + 1)(3x – 1) + 12x$.

а) Приведете $P$ в нормален вид.

б) Докажете, че за всяко цяло число $x$, стойността на израза $P$ се дели на 5.

2015 г. (№ 6): Намерете свободния член в нормалния вид на многочлена $(2x – 3)^3 – (x – 2)(4x^2 + 2x + 1)$.

2014 г. (№ 10): За коя стойност на $x$ числената стойност на израза $A = (x – 3)^2 – (x – 2)(x + 2)$ е равна на $\vert{}-7\vert{}$?

2013 г. (№ 18): Докажете тъждеството $(a + b + c)^2 – (a + b – c)^2 = 4c(a + b)$.

2012 г. (№ 8): Разложете на множители многочлена $N = x^2 – y^2 + 2x + 1$.

2011 г. (№ 18): Приведете израза $A = (3x – 1)^2 – 2(3x – 1)(x + 2) + (x + 2)^2$ в нормален вид и намерете числената му стойност за $x = -0,5$.

2010 г. (№ 7): Разложете на множители израза $B = x^3 – 2x^2 – x + 2$.

Даден е многочленът $A = (x – 2)^2 – (x – 1)(x + 3) + 5$.

а) Приведете $A$ в нормален вид.

б) Намерете за коя стойност на $x$ числената стойност на $A$ е равна на $-2$.

Даден е изразът $A = (x – 3)^2 – (2x + 1)(x – 3)$.

а) Приведете $A$ в нормален вид.

б) За кои стойности на $x$ числената стойност на $A$ е равна на $0$?

Даден е изразът $M = (2x – 3)^2 – 2(x – 2)(x + 2) – 1$.

а) Приведете $M$ в нормален вид.

б) Намерете най-малката стойност на $M$ и стойността на $x$, за която тя се получава.

Даден е изразът $A = (2x – 1)^2 – (x – 2)(x + 2) – 3x$.

а) Приведете $A$ в нормален вид.

б) Разложете $A$ на множители.

Даден е изразът $A = (x – 3)^3 – x(x – 2)(x + 2) + 9x^2$.

а) Представете $A$ в нормален вид.

б) Пресметнете числената стойност на $A$ за $x = (-1)^3 + \vert{}-2\vert{}$.