| № | Вариант А | Вариант Б |
| 1 | Права $s$ е симетрала на $AB$. Точка $P \in s$ е такава, че $AP = 8\text{ cm}$. Намерете $BP$ и периметъра $P(\Delta PAB)$, ако $AB = 10\text{ cm}$. | Права $s$ е симетрала на $AB$. Точка $P \in s$ е такава, че $P(\Delta PAB) = 28\text{ cm}$ и $AB = 10\text{ cm}$. Намерете отсечките $AP$ и $BP$. |
| 2 | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AB}$ минава през върха $C$. Ако $\angle A = 50^\circ$, намерете $\angle B$, $\angle C$ и вида на триъгълника. | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AB}$ минава през върха $C$. Ако $\angle C = 80^\circ$, намерете $\angle A$ и външния ъгъл при върха $B$. |
| 3 | [Построение] Постройте отсечка $AB = 6\text{ cm}$ и нейната симетрала $s$. Изберете $P \in s$ на разстояние $4\text{ cm}$ от $AB$. Измерете $PA$ и $PB$ с линия, сравнете ги и намерете доказателствено $P(\Delta PAB)$. | [Построение] Постройте отсечка $AB = 8\text{ cm}$ и нейната симетрала $s_{AB} \cap AB = O$. Върху $s$ нанесете $PO = 3\text{ cm}$. Измерете $PA$ и $\angle PAB$ с транспортир. Намерете доказателствено $\angle APB$ и $P(\Delta PAB)$. |
| 4 | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AC}$ пресича $AB$ в точка $M$. Ако $BC = 7\text{ cm}$ и $AB = 11\text{ cm}$, намерете периметъра $P(\Delta MBC)$. | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AC}$ пресича $AB$ в точка $M$. Ако $P(\Delta MBC) = 19\text{ cm}$ и $BC = 8\text{ cm}$, намерете дължината на $AB$. |
| 5 | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AC}$ пресича $AB$ в точка $D$. Ако $P(\Delta ABC) = 24\text{ cm}$ и $BC = 9\text{ cm}$, намерете $P(\Delta DBC)$. | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AC}$ пресича $AB$ в точка $D$. Ако $P(\Delta DBC) = 16\text{ cm}$ и $P(\Delta ABC) = 26\text{ cm}$, намерете страната $AC$. |
| 6 | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AC}$ пресича $AB$ в точка $M$. Ако $\angle A = 35^\circ$, намерете $\angle ACM$ и ъгъла $\angle BMC$. | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AC}$ пресича $AB$ в точка $M$. Ако $\angle BMC = 80^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$, намерете $\angle A$ и $\angle ACB$. |
| 7 | В $\Delta ABC$ $\angle A = 40^\circ, \angle B = 70^\circ$. Симетралата $s_{AC}$ пресича $AB$ в точка $K$. Намерете $\angle ACK$ и $\angle KCB$. | В $\Delta ABC$ $\angle A = 25^\circ, \angle B = 45^\circ$. Симетралата $s_{AC}$ пресича $AB$ в точка $K$. Намерете $\angle BKC$ и докажете, че $KC = KB$. |
| 8 | [Построение] Постройте $\Delta ABC$ със страни $c = 7\text{ cm}, a = 5\text{ cm}, b = 6\text{ cm}$. Постройте $s_{AC} \cap AB = M$. Измерете $BM$ и $MC$, намерете с линия $P(\Delta MBC)$ и го сравнете с аналитичния резултат $P = AB + BC$. | [Построение] Постройте $\Delta ABC$ с $AB = 8\text{ cm}, AC = 6\text{ cm}, BC = 5\text{ cm}$. Постройте $s_{BC} \cap AB = N$. Измерете $P(\Delta ANC)$ с линия и го сравнете с доказателственото равенство $P = AC + AB$. |
| 9 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) симетралата $s_{AC}$ пресича бедрото $BC$ в точка $M$. Ако $\angle A = 70^\circ$, намерете $\angle MAC$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) симетралата $s_{AC}$ пресича бедрото $BC$ в точка $M$. Ако $\angle MAC = 20^\circ$, намерете ъглите на $\Delta ABC$. |
| 10 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC = 10\text{ cm}$) симетралата $s_{AC}$ пресича $BC$ в точка $K$. Ако $P(\Delta ABK) = 16\text{ cm}$, намерете $AB$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) симетралата $s_{AC}$ пресича $BC$ в точка $K$. Ако $P(\Delta ABK) = 18\text{ cm}$ и $AB = 7\text{ cm}$, намерете $P(\Delta ABC)$. |
| 11 | В правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) симетралата $s_{AB}$ пресича катета $AC$ в точка $M$. Ако $\angle A = 30^\circ$, намерете $\angle CBM$. | В правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) симетралата $s_{AB}$ пресича катета $AC$ в точка $M$. Ако $CM = 4\text{ cm}$, намерете $AM$ и $AC$. |
| 12 | [Построение] Постройте правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, AB = 8\text{ cm}, \angle A = 30^\circ$). Постройте $s_{AB} \cap AC = M$. Измерете $CM$ и $AM$, проверете дали $AM = 2CM$ и намерете доказателствено $\angle MBC$. | [Построение] Постройте правоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, BC = 4\text{ cm}, AB = 8\text{ cm}$). Постройте $s_{AB} \cap AC = M$. Измерете $\angle CBM$ и $\angle MBA$ с транспортир и намерете доказателствено техните стойности. |
| 13 | В $\Delta ABC$ $s_{AC} \cap AB = M$ и $s_{BC} \cap AB = N$. Ако $AB = 14\text{ cm}$, намерете периметъра $P(\Delta MNC)$. | В $\Delta ABC$ $s_{AC} \cap AB = M$ и $s_{BC} \cap AB = N$. Ако $P(\Delta MNC) = 18\text{ cm}$ и $MN = 4\text{ cm}$, намерете дължината на $AB$. |
| 14 | В $\Delta ABC$ $s_{AC} \cap AB = M$ и $s_{BC} \cap AB = N$. Ако $\angle A = 40^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$, намерете $\angle MCN$. | В $\Delta ABC$ $s_{AC} \cap AB = M$ и $s_{BC} \cap AB = N$. Ако $\angle MCN = 50^\circ$ и $\angle A = 2\angle B$, намерете ъглите $\angle A$ и $\angle B$. |
| 15 | В $\Delta ABC$ $s_{AC} \cap AB = M$. Ако $CL$ е ъглополовяща на $\angle C$ и $\angle A = 40^\circ, \angle B = 60^\circ$, намерете $\angle MCL$. | В $\Delta ABC$ $s_{AC} \cap AB = M$. Ако $CL$ е ъглополовяща на $\angle C$ и $CM \parallel BC$, докажете, че $\Delta ABC$ е правоъгълен. |
| 16 | Симетралите $s_{AB}$ и $s_{AC}$ се пресичат в точка $O$. Ако $OA = 6\text{ cm}$, намерете дължините на отсечките $OB$ и $OC$. | Симетралите $s_{AB}$ и $s_{AC}$ се пресичат в точка $O$. Ако $\angle AOB = 100^\circ$, намерете ъглите $\angle OAB$ и $\angle OBA$. |
| 17 | [Построение] Постройте остроъгълен $\Delta ABC$ ($AB=6\text{ cm}, BC=5\text{ cm}, AC=7\text{ cm}$). Постройте $s_{AB}$ и $s_{AC} \rightarrow O$. Измерете $OA, OB, OC$, намерете равенството им и обяснете защо $O \in s_{BC}$. | [Построение] Постройте тъпоъгълен $\Delta ABC$ ($\angle C = 110^\circ, AC=4\text{ cm}, BC=5\text{ cm}$). Постройте $s_{AC}$ и $s_{BC} \rightarrow O$. Измерете $OA, OB, OC$, пресметнете $\angle AOB$ с транспортир и го потвърдете доказателствено. |
| 18 | В $\Delta ABC$ $CD \perp AB$. Ако $s_{AC} \cap AB = M$ и $\angle A = 50^\circ$, намерете $\angle MCD$. | В $\Delta ABC$ $CD \perp AB$, а $s_{AC} \cap AB = M$ и $s_{BC} \cap AB = N$. Ако $\angle MCD = 10^\circ$ и $\angle NCD = 20^\circ$, намерете ъглите на $\Delta ABC$. |
| 19 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC=BC$) симетралата $s_{AB}$ минава през $C$. Ако $CD \perp AB$ ($D \in AB$) и $CD = 5\text{ cm}$, намерете $s_{AB} \cap CD$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC=BC$) симетралите $s_{AB}$ и $s_{AC}$ се пресичат в точка $O$. Ако $\angle C = 40^\circ$, намерете $\angle AOB$. |
| 20 | В $\Delta ABC$ $\angle A = 100^\circ$. $s_{AC}$ пресича продължението на $BA$ зад $A$ в точка $P$. Ако $\angle C = 50^\circ$, намерете $\angle APC$. | В $\Delta ABC$ $\angle A = 110^\circ$. $s_{AC}$ пресича продължението на $BA$ зад $A$ в $P$. Ако $\angle APC = 20^\circ$, намерете $\angle B$ и $\angle C$. |
| 21 | Права $s$ е симетрала на $AB$, а точките $M, N \in s$. Докажете по I признак, че $\Delta AMN \cong \Delta BMN$. | Права $s$ е симетрала на $AB$, а $M, N \in s$ са в различни полуравнини спрямо $AB$. Докажете, че $ANBM$ е делтоид ($AM=BM, AN=BN$) и $\angle MAN = \angle MBN$. |
| 22 | [Построение] Постройте равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC=BC=6\text{ cm}, AB=4\text{ cm}$). Постройте $s_{AC} \cap BC = K$. Измерете $\angle AKB$ с транспортир и намерете доказателствено $\angle C$ и $\angle AKB$. | [Построение] Постройте равностранен $\Delta ABC$ със страна $a=5\text{ cm}$. Постройте $s_{AB} \cap AC = M$ и $s_{BC} \cap AC = N$. Измерете $MN$ с линия и намерете доказателствено $MN$. |
| 23 | В $\Delta ABC$ отсечката $CM$ е медиана към $AB$. Симетралата $s_{AC}$ минава през $M$. Докажете, че $AC = BC$. | В $\Delta ABC$ отсечката $CM$ е медиана към $AB$, а $s_{AC} \cap CM = O$. Ако $AO \perp CM$, докажете, че $\Delta ABC$ е равнобедрен или правоъгълен. |
| 24 | В $\Delta ABC$ $s_{AC} \cap AB = M$. Ако $\angle A = x + 15^\circ$ и $\angle BMC = 3x – 10^\circ$, намерете $x$ и $\angle A$. | В $\Delta ABC$ $s_{AC} \cap AB = M$. Ако $\angle A = 2x + 5^\circ$, $\angle B = 3x – 15^\circ$ и $\angle BMC = 5x – 10^\circ$, намерете $x$ и ъглите на $\Delta ABC$. |
| 25 | В $\Delta ABC$ $s_{AC} \cap AB = M$. Ако $AM = 5\text{ cm}$ и $BM = 3\text{ cm}$, намерете $AB$ и сравнете по големина $MC$ с $BM$. | В $\Delta ABC$ симетралата $s_{AC}$ пресича вътрешно отсечката $AB$ в точка $M$. Докажете, че $AB > BC$, ако $\angle B > \angle A$. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!