| № | Вариант А | Вариант Б (+10% трудност) |
| 1 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $\angle C = 40^\circ$. Намерете ъглите $\angle A$ и $\angle B$ при основата. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) външният ъгъл при върха $C$ е $70^\circ$. Намерете ъглите при основата $AB$. |
| 2 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $\angle A = 50^\circ$. Намерете $\angle C$ и външния ъгъл при върха $B$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) външният ъгъл при основата е $135^\circ$. Намерете $\angle C$ и ъгъла между бедрата. |
| 3 | За равностранния $\Delta ABC$ е даден периметър $P = 27\text{ cm}$. Намерете страната $a$ и всички вътрешни ъгли. | В равностранен $\Delta ABC$ с периметър $P = 36\text{ cm}$ отсечката $CD$ е височина. Намерете $AD$, $BD$ и $\angle ACD$. |
| 4 | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при основата е с $30^\circ$ по-голям от ъгъла при върха $C$. Намерете вътрешните ъгли. | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при върха $C$ е $40\%$ от ъгъла при основата. Намерете вътрешните и външните ъгли. |
| 5 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $\angle A = 60^\circ$. Докажете, че $\Delta ABC$ е равностранен и намерете $P$, ако $AB = 8\text{ cm}$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) външният ъгъл при върха $C$ е $120^\circ$. Докажете, че $\Delta ABC$ е равностранен и намерете страната му при $P = 21\text{ cm}$. |
| 6 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $CD$ е височина към основата $AB$. Ако $AB = 14\text{ cm}$ и $\angle ACB = 80^\circ$, намерете $AD$ и $\angle ACD$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $CL$ е ъглополовяща към основата ($L \in AB$). Ако $AL = 6.5\text{ cm}$ и $\angle ACL = 35^\circ$, намерете $AB$, $\angle A$ и $\angle B$. |
| 7 | Периметърът на равнобедрен триъгълник е $32\text{ cm}$, а основата е $10\text{ cm}$. Намерете бедрото на триъгълника. | Периметърът на равнобедрен триъгълник е $48\text{ cm}$, а бедрото се отнася към основата както $5 : 2$. Намерете страните. |
| 8 | В правоъгълен равнобедрен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, AC = BC$) $CD$ е височина към $AB$. Намерете $\angle ACD$ и $\angle ADC$. | В правоъгълен равнобедрен $\Delta ABC$ ($\angle C = 90^\circ, AC = BC$) $CD$ е височина към $AB$. Ако $CD = 7\text{ cm}$, намерете хипотенузата $AB$. |
| 9 | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $\angle C = 100^\circ$. Ъглополовящата $AL$ ($L \in BC$) пресича $CD$ ($D \in AB$) в точка $O$. Намерете $\angle AOC$. | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $\angle C = 110^\circ$. Височината $AH$ ($H \in BC$) и височината $CD$ ($D \in AB$) се пресичат в $O$. Намерете $\angle AOC$. |
| 10 | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) точките $M$ и $N$ лежат върху $AB$ така, че $AM = BN$. Докажете, че $\Delta AMC \cong \Delta BNC$. | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) точките $M \in AC$ и $N \in BC$ са такива, че $AM = BN$. Докажете, че $\Delta ANC \cong \Delta BMC$ и $AN = BM$. |
| 11 | В равностранен $\Delta ABC$ върху страните $AB, BC, CA$ са нанесени равни отсечки $AM = BN = CP$. Докажете, че $\Delta MNP$ е равностранен. | В равностранен $\Delta ABC$ точките $D, E, F$ са среди съответно на $AB, BC, CA$. Докажете, че $\Delta DEF$ е равностранен и намерете $P(\Delta DEF)$, ако $P(\Delta ABC) = 36\text{ cm}$. |
| 12 | Докажете, че ако ъглополовящата на външния ъгъл при върха $C$ на $\Delta ABC$ е успоредна на $AB$ ($l \parallel AB$), то $AC = BC$. | Ъглополовящата на външния ъгъл при $C$ на $\Delta ABC$ сключва ъгъл $50^\circ$ със страната $AC$. Ако тази ъглополовяща е успоредна на $AB$, намерете ъглите на $\Delta ABC$. |
| 13 | В $\Delta ABC$ симетралата $s$ на отсечката $AB$ пресича $AC$ в точка $M$. Ако $BC = 8\text{ cm}$ и $AC = 13\text{ cm}$, намерете периметъра на $\Delta MBC$. | В $\Delta ABC$ симетралата $s$ на $AB$ пресича $AC$ в точка $M$. Ако $P(\Delta MBC) = 22\text{ cm}$ и $BC = 9\text{ cm}$, намерете дължината на $AC$. |
| 14 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $\angle C = 120^\circ$. Намерете ъглите, които височината $AD$ ($D \in BC$) сключва със страните $AC$ и $AB$. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) $\angle C = 120^\circ$ и $AC = 10\text{ cm}$. Височината $AD$ към бедрото $BC$ е продължена до точка $E$ така, че $DE = AD$. Докажете, че $\Delta ABE$ е равностранен. |
| 15 | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъглите при основата са по $70^\circ$. Върху $AB$ е взета точка $D$ така, че $CD = AD$. Намерете $\angle BCD$. | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при върха $C$ е $36^\circ$. Ъглополовящата $AD$ ($D \in BC$) дели $\Delta ABC$ на два равнобедрени триъгълника. Намерете техните ъгли. |
| 16 | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при основата е $2x + 10^\circ$, а ъгълът при върха $C$ е $x + 10^\circ$. Намерете $x$ и ъглите. | В равнобедрен $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъгълът при върха $C$ е $3x – 20^\circ$, а външният ъгъл при основата е $4x + 10^\circ$. Намерете $x$ и вътрешните ъгли. |
| 17 | Отсечките $AC$ и $BD$ се пресичат в точка $O$ така, че $OA = OB$ и $OC = OD$. Докажете, че $\Delta AOD \cong \Delta BOC$ и $AD \parallel BC$. | Отсечките $AC$ и $BD$ се пресичат в $O$, като $OA = OB$ и $OC = OD$. Докажете, че $\Delta ABD \cong \Delta BAC$ и че $\Delta ABC$ е равнобедрен. |
| 18 | В равностранен $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е височина ($D \in AB$), а $DK \perp BC$ ($K \in BC$). Намерете ъглите в $\Delta CDK$. | В равностранен $\Delta ABC$ отсечката $CD$ е височина, а $M$ е среда на $BC$. Правата $DM$ пресича правата $AC$ в точка $P$. Намерете $\angle MPC$ и $\angle CPM$. |
| 19 | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) височините $AH_1$ и $BH_2$ се пресичат в точка $H$. Докажете, че $\Delta AH_2B \cong \Delta BH_1A$ и че $AH = BH$. | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) ъглополовящите $AL_1$ и $BL_2$ се пресичат в точка $I$. Докажете, че $\Delta AIL_2 \cong \Delta BIL_1$ и че $CL_1 = CL_2$. |
| 20 | В $\Delta ABC$ ъгълът при върха $C$ е $40^\circ$. Симетралата $s$ на бедрото $AC$ пресича $BC$ в точка $K$. Ако $AK = BK$, намерете $\angle A$ и $\angle B$. | В $\Delta ABC$ ($AC = BC$) симетралата $s$ на $AC$ пресича продължението на основата $AB$ в точка $P$. Ако $\angle APC = 20^\circ$, намерете ъглите на $\Delta ABC$. |
© София-Мат ЕООД
URL has been copied successfully!