Софи Жермен (Marie-Sophie Germain, 1776–1831) е френска математичка и физичка. В контекста на разлагането на многочлени (и олимпиадната математика), нейното име е известно най-вече с емблематичното Тъждество на Софи Жермен.
Това е един от най-красивите трикове в алгебрата за допълване до точен квадрат, с който се разлага сума от вида $a^4 + 4b^4$ (която на пръв поглед изглежда неразложима).
1. Тъждеството на Софи Жермен
Алгебрично доказателство (Стъпка по стъпка)
Трикът се състои в изкуствено добавяне и изваждане на двойното произведение $2 \cdot a^2 \cdot 2b^2 = 4a^2b^2$:
-
Представяме $a^4 + 4b^4$ като сбор от два квадрата:
$$(a^2)^2 + (2b^2)^2$$ -
Добавяме и изваждаме $4a^2b^2$, за да допълним до точен квадрат:
$$(a^2)^2 + 4a^2b^2 + (2b^2)^2 – 4a^2b^2$$ -
Първите три члена образуват $(a^2 + 2b^2)^2$:
$$(a^2 + 2b^2)^2 – (2ab)^2$$ -
Прилагаме формулата за разлика на квадрати $A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)$:
$$(a^2 + 2b^2 – 2ab)(a^2 + 2b^2 + 2ab)$$
2. Къде се прилага в олимпиадни задачи?
Пример 1: Разложете $x^4 + 4$
Тъй като $4 = 4 \cdot 1^4$ (т.е. $b = 1$), прилагаме тъждеството пряко:
Пример 2: Класическа задача от състезания
Задача: Докажете, че числото $n^4 + 4^n$ е съставено (не е просто) за всяко естествено число $n > 1$.
-
Ако $n$ е четно: Числото очевидно се дели на 2 (и е по-голямо от 2), следователно е съставено.
-
Ако $n$ е нечетно ($n = 2k + 1$):
$$n^4 + 4^{2k+1} = n^4 + 4 \cdot (2^k)^4$$Полагаме $a = n$ и $b = 2^k$. По тъждеството на Софи Жермен изразът се разлага на множители:
$$(n^2 – 2n \cdot 2^k + 2 \cdot 4^k)(n^2 + 2n \cdot 2^k + 2 \cdot 4^k)$$Тъй като и двата множителя са по-големи от 1 за $n > 1$, числото е съставено.
3. Исторически контекст накратко
Заради ограниченията пред жените по нейно време, Софи Жермен учи самостоятелно в библиотеката на баща си.
-
Псевдонимът M. LeBlanc: Кореспондирала е с величия като Жозеф-Луи Лагранж и Карл Фридрих Гаус под мъжкия псевдоним Морис Леблан. Когато Гаус научава истината за самоличността ѝ, остава възхитен от нейния гений.
-
Други приноси: Работи мащабно върху Великата теорема на Ферма (въвежда понятия като прости числа на Софи Жермен — числа $p$, за които $2p+1$ също е просто) и полага математическите основи на теорията на еластичността.
© София-Мат ЕООД
