1. Намерете сбора от реалните корени на уравнението:
2. Кое от следните числа е най-голямо?
А) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$
Б) $\sqrt{10}$
В) $\frac{1}{\sqrt{5}-2}$
Г) $3,1(6)$
3. Редицата $a_1, a_2, …, a_n$ е дефинирана чрез $a_1 = 3$ и $a_{n+1} = a_n + 3n^2$ за $n \ge 1$. Намерете стойността на $a_{10}$.
Геометрия
4. В правоъгълен триъгълник $ABC$ ($\angle C = 90^\circ$) е вписана окръжност, която се допира до хипотенузата $AB$ в точка $M$. Ако $AM = 4$ cm и $BM = 6$ cm, намерете лицето на триъгълника $ABC$.
5. В равнобедрен трапец $ABCD$ ($AB \parallel CD$) диагоналите са взаимно перпендикулярни. Ако височината на трапеца е $h = 10$ cm, колко квадратни сантиметра е лицето на трапеца?
6. Даден е триъгълник $ABC$. Точка $M$ лежи на страната $BC$ така, че $BM:MC = 2:3$. Точка $P$ е средата на медианата $AD$ ($D \in BC$). Намерете в какво отношение правата $BP$ дели страната $AC$.
Комбинаторика и Вероятности
7. Колко са петцифрените числа, които се четат по един и същ начин отляво надясно и отдясно наляво (палиндроми), като например 12321 или 50705?
8. Избрани са две различни естествени числа от 1 до 20 включително. Каква е вероятността произведението им да е четно число?
А) под $1/2$
Б) точно $1/2$
В) над $1/2$
Г) $3/4$
Задача с подробно решение
9. В равнобедрен триъгълник $ABC$ ъгълът при основата $AB$ е $30^\circ$. През средата на бедрото $BC$ е прекарана права, която сключва ъгъл $15^\circ$ с $BC$ и пресича основата $AB$ в точка $M$.
а) Намерете отношението $AM:MB$.
б) Ако $L$ е пресечната точка на тази права с продължението на другото бедро $AC$, докажете че триъгълникът $MCL$ е равнобедрен.
