Задачи за Великденско математическо състезание

СЕТ 1:

1 зад. Точките $M$ и $P$ лежат върху едното рамо на ъгъл с връх точка $O$ , а точките $R$ и $Q$ — върху другото му рамо, като $MR \parallel PQ$ . Ако $OM = 3$ см, $OP = 8$ см и $OR = 9$ см, то $RQ$ е:

А) 12
Б) 14
В) 15
Г) 17

2 зад. Монета се хвърля последователно 10 пъти. Каква е вероятността при деветото хвърляне да се падне ези?

А) $\frac{1}{2^9}$
Б) $\frac{1}{10}$
В) $\frac{1}{9}$
Г) $\frac{1}{2}$

3 зад. Стойността на израза $\frac{x+3}{x^{2}-9}-\frac{1}{x-3}+\frac{x-2019}{x+3}$ за $x=2019$ е:

А) 0
Б) -1
В) 2
Г) 2019

4 зад. Дадени са функциите $f(x)=x^{2}-x-2$ и $g(x)=2x-1$ . Стойността на $f(1) \cdot g(2) - g(f(1))$ е:

А) -1
Б) 2
В) 3
Г) друг отговор

5 зад. Изразът $\frac{2-x}{x+3}:\frac{x^{2}-4}{2x}$ е дефиниран при:

А) $x \neq 0$
Б) $x \neq 0; [cite_start]-3$
В) $x \neq 0; \pm2; [cite_start]-3$
Г) друг отговор

6 зад. Наредената двойка $(x; y)$ , която е решение на системата:

\begin{cases}x-2y=3\\ 3x+y=2\end{cases}

е разположена в:

А) първи квадрант
Б) втори квадрант
В) трети квадрант
Г) четвърти квадрант

7 зад. Корените на квадратното уравнение $2x^{2}-5x+c=0$ са с различни знаци, а коефициентът $c$ е естествено число. Броят на възможните стойности на $c$ е:

А) 0
Б) 9
В) 10
Г) друг отговор

8 зад. Трапец с диагонал $4\sqrt{6}$ е вписан в окръжност $k$ с център точка $O$ . Бедрото на трапеца се вижда от точка $O$ под ъгъл $60^\circ$ . Височината на трапеца е:

А) $8\sqrt{3}$
Б) $8\sqrt{6}$
В) $2\sqrt{3}$
Г) друг отговор

9 зад. В съд има 7 бели и 5 черни топки. Извадени са наведнъж 6 топки. По колко различни начина може да се образуват групи от 4 бели и 2 черни топки?

А) $C_{7}^{4} \cdot C_{5}^{2}$
Б) $P_{5}$
В) $V_{7}^{5} \cdot V_{5}^{2}$
Г) друг отговор

10 зад. Стойността на израза $\frac{5x_{1}}{x_{2}}+\frac{5x_{2}}{x_{1}}$ , където $x_{1}$ и $x_{2}$ са корени на уравнението $(2+x)(x-2)=1-x$ , е:

А) 9
Б) 11
В) -11
Г) друг отговор

11 зад. Най-малката стойност на функцията $f(x)=x^{2}-4x+3$ за $x \in [-1; [cite_start]3]$ е:

А) -1
Б) 2
В) 3
Г) друг отговор

12 зад. Сборът от катетите на правоъгълен триъгълник $ABC$ ( $\angle C=90^\circ$ ) е 7 см. Радиусът на външновписаната му окръжност, която се допира до хипотенузата му, е 6 см. Хипотенузата е:

А) 6
Б) 7
В) 8
Г) друг отговор

13 зад. Реалните числа $x$ и $y$ са решения на системата:

\begin{cases}x+y=7\\ xy=4\end{cases}

Стойността на израза $x^{3}y+xy^{3}$ е:

А) $\frac{7-\sqrt{33}}{2}$
Б) $\frac{7+\sqrt{33}}{2}$
В) $33\sqrt{33}$
Г) друг отговор

14 зад. В остроъгълния триъгълник $ABC$ са дадени $AC=12$ и $BC=15$ . Ако височината $CH=10$ ( $H$ лежи на $AB$ ), то радиусът $R$ на описаната около триъгълник $ABC$ окръжност е:

А) 4
Б) 9
В) 10
Г) друг отговор

15 зад. Да се намерят коефициентите $a, b$ и $c$ на квадратната функция $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , ако $f(0)=1$ , $f(1)=0$ и $f(2)=1$ .

А) $a=1; b=-1; c=1$
Б) $a=1; b=-2; c=2$
В) $a=1; b=-2; c=1$
Г) друг отговор

СЕТ 2: (Ниво: Повишена трудност)

1 зад. В $\triangle ABC$ точка $M$ лежи на страната $AB$ , а точка $N$ — на страната $AC$ , като $MN \parallel BC$ . Ако $AM = 4$ см, $MB = 6$ см и лицето на $\triangle AMN$ е $8$ см$^2$, то лицето на трапеца $MNCB$ е:

А) 12 см$^2$
Б) 30 см$^2$
В) 42 см$^2$
Г) 50 см$^2$

2 зад. Хвърляме два стандартни зара едновременно. Каква е вероятността сборът от точките на двата зара да бъде точно 8?

А) $\frac{5}{36}$
Б) $\frac{1}{6}$
В) $\frac{1}{12}$
Г) $\frac{4}{36}$

3 зад. Стойността на израза $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 4} \cdot \frac{x+2}{x-3}$ за $x = 2026$ е:

А) 0
Б) 1
В) 2026
Г) друг отговор

4 зад. Дадени са функциите $f(x) = x^2 - 3x + 2$ и $g(x) = x + m$ . Ако $f(g(1)) = 0$ , то възможните стойности на параметъра $m$ са:

А) 0 и 1
Б) -1 и 0
В) 1 и 2
Г) друг отговор

5 зад. Изразът $\sqrt{x-2} + \frac{x+1}{x^2-9}$ е дефиниран за всяко $x$ , за което:

А) $x \geq 2$
Б) $x > 3$
В) $x \in [2; 3) \cup (3; +\infty)$
Г) $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$

6 зад. За кои стойности на параметъра $a$ решението на системата

\begin{cases} 2x - y = 5 \\ x + y = a \end{cases}

е двойка числа $(x; y)$ , за които $x > 0$ и $y < 0$ ?

А) $a < 5$
Б) $a > -5$
В) $-5 < a < 5$
Г) $a > 5$

7 зад. Квадратното уравнение $x^2 - (k+1)x + k = 0$ има два реални и различни корена. Ако корените са $x_1$ и $x_2$ , за кои стойности на $k$ е изпълнено $x_1^2 + x_2^2 = 5$ ?

А) $k = 2$ или $k = -2$
Б) $k = 1$ или $k = -3$
В) $k = 2$ или $k = -1$
Г) друг отговор

8 зад. Равнобедрен трапец е описан около окръжност с радиус 3 см. Ако лицето на трапеца е 30 см$^2$, то дължината на бедрото му е:

А) 5 см
Б) 6 см
В) 10 см
Г) 12 см

9 зад. В клас има 10 момичета и 8 момчета. Трябва да се избере делегация от 3-ма ученици, в която да има поне едно момче. Броят на начините, по които може да се направи това, е:

А) $C_{18}^3 - C_{10}^3$
Б) $C_8^1 \cdot C_{10}^2$
В) $C_8^3$
Г) $C_{18}^3 - C_8^3$

10 зад. Намерете стойността на израза $x_1^3 + x_2^3$ , където $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2 - 3x + 1 = 0$ .

А) 18
Б) 27
В) 9
Г) друг отговор

11 зад. Най-голямата стойност на функцията $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ в интервала $x \in [0; 2]$ е:

А) 4
Б) 3
В) -5
Г) 0

12 зад. В правоъгълен триъгълник $ABC$ ( $\angle C=90^\circ$ ) радиусът на вписаната окръжност е $r = 2$ см, а радиусът на описаната окръжност е $R = 6,5$ см. Сборът от катетите на триъгълника е:

А) 13 см
Б) 15 см
В) 17 см
Г) 18 см

13 зад. Ако $x + y = 5$ и $x^2 + y^2 = 17$ , то стойността на $x^4 + y^4$ е:

А) 289
Б) 257
В) 225
Г) друг отговор

14 зад. В $\triangle ABC$ страните са $AB = 13$ , $BC = 14$ и $AC = 15$ . Радиусът $R$ на описаната около триъгълника окръжност е:

А) 8
Б) 8,125
В) 9
Г) 7,5

15 зад. Графиката на квадратната функция $f(x) = ax^2 + bx + c$ минава през точките $(1; 0)$ и $(0; 3)$ , а върхът на параболата има абсциса $x = 2$ . Коефициентът $a$ е равен на:

А) 1
Б) -1
В) 3
Г) -3

СЕТ 3: (Ниво: Експерт)

1 зад. В $\triangle ABC$ точка $M$ е среда на страната $AB$ . През $M$ е прекарана права, успоредна на ъглополовящата $AL$ ( $L \in BC$ ), която пресича правата $AC$ в точка $K$ . Ако $AC = 10$ см и $AB = 14$ см, то дължината на отсечката $CK$ е:

А) 3 см
Б) 5 см
В) 12 см
Г) 17 см

2 зад. В кутия има 5 червени и 5 сини топки. Изваждат се последователно две топки без връщане. Каква е вероятността втората извадена топка да е червена, ако е известно, че първата е била синя?

А) $\frac{1}{2}$
Б) $\frac{5}{9}$
В) $\frac{4}{9}$
Г) $\frac{25}{100}$

3 зад. Да се съкрати дробта $\frac{x^4 + x^2 + 1}{x^2 + x + 1}$ и да се пресметне стойността ѝ за $x = 10$ .

А) 91
Б) 101
В) 111
Г) 121

4 зад. Дадени са функциите $f(x) = x^2 - 4x + 3$ и $g(x) = \sqrt{x}$ . Дефиниционната област на сложната функция $h(x) = g(f(x))$ е:

А) $x \in [1; 3]$
Б) $x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$
В) $x \in [0; +\infty)$
Г) всяко реално $x$

5 зад. Изразът $\frac{\sqrt{x^2 - 4x + 4}}{x - 2} + \frac{|x + 3|}{x + 3}$ за $x \in (-3; 2)$ е равен на:

А) 0
Б) 2
В) -2
Г) друг отговор

6 зад. Броят на целите стойности на параметъра $a$ , за които системата

\begin{cases} |x| + y = 2 \\ a x + y = 3 \end{cases}

има точно едно решение, е:

А) 0
Б) 1
В) 2
Г) безброй много

7 зад. За кои стойности на реалния параметър $m$ корените $x_1$ и $x_2$ на уравнението $x^2 - 2(m-1)x + m + 5 = 0$ са реални и изпълняват условието $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} < 1$ ?

А) $m \in (-5; -1) \cup (4; +\infty)$
Б) $m \in (-\infty; -1] \cup [4; +\infty)$
В) $m \in (-5; -1]$
Г) друг отговор

8 зад. В окръжност е вписан четириъгълник $ABCD$ , като $AB$ е диаметър. Ако $AD = DC = 5$ см и $BC = 8$ см, то радиусът на окръжността е:

А) 6,5 см
Б) 8,2 см
В) 9 см
Г) 10,5 см

9 зад. Колко на брой четирицифрени числа с различни цифри могат да се съставят от цифрите $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ , така че числото да се дели на 5?

А) 60
Б) 108
В) 120
Г) 216

10 зад. Ако $x_1$ и $x_2$ са корени на уравнението $x^2 + px + 1 = 0$ , то стойността на $x_1^4 + x_2^4$ изразена чрез $p$ е:

А) $p^4 - 4p^2 + 2$
Б) $p^4 - 4p^2 - 2$
В) $p^4 + 4p^2 + 2$
Г) $p^4 - 2$

11 зад. Намерете най-малката стойност на функцията $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ в интервала $x \in [0; 1]$ , ако $a > 1$ .

А) $1 - a^2$
Б) 1
В) $2 - 2a$
Г) $a^2 - 1$

12 зад. В правоъгълен триъгълник с катети $a$ и $b$ и хипотенуза $c$ е изпълнено $a + b = c \sqrt{2}$ . Тогава един от острите ъгли на триъгълника е:

А) $30^\circ$
Б) $45^\circ$
В) $60^\circ$
Г) не може да се определи

13 зад. Решете системата и намерете сумата $x+y$ за решенията в първи квадрант:

\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases}

А) 5
Б) 7
В) 12
Г) 1

14 зад. В $\triangle ABC$ със страни $a, b, c$ е известно, че $R$ е радиусът на описаната окръжност. Ако $a^2 + b^2 = c^2$ и $a + b = 14$ , а лицето $S = 24$ , то $R$ е:

А) 5
Б) 6
В) 7
Г) 10

15 зад. Параболата $f(x) = ax^2 + bx + c$ има връх в точката $(2; -1)$ и минава през точката $(1; 1)$ . Стойността на произведението $a \cdot b \cdot c$ е:

А) -56
Б) 48
В) -72
Г) 64