Неравенства

Основни задачи

Решете неравенствата и представете решенията графично.

Средни задачи

Използвайте формулите за съкратено умножение и преобразуване на рационални изрази.

Задачи за напреднали

Комбинирани задачи със степени, параметри, модули и геометрия.

1. $(x – 2)^3 – x(x – 3)(x + 3) < -6x^2 + 10$

2. $(2x + 1)^3 – 8x^3 – 12x^2 \le 10x + 1$

3. Докажете, че за всяко $a \ne b$ е вярно: $a^2 + b^2 > 2ab$.

4. Намерете най-малкото цяло число $x$, което е решение на: $\frac{x – 1}{2} – \frac{2x + 3}{3} + \frac{x}{6} > -2$.

5. $(x + 1)^3 – (x – 1)^3 > 6x^2 – 4$

6. Докажете, че $4(a^{3}-b^{3}) > (a-b)^{3}$ при $a > b$.

7. Докажете неравенството: $(a + 1)^2 + (a – 1)^2 \ge 2$ за всяко рационално число $a$.

8. $(x – 1)(x^2 + x + 1) – (x + 2)(x^2 – 2x + 4) < -3x$

9. Намерете сбора на естествените числа, които са решение на: $\frac{2x – 1}{3} – \frac{3x + 1}{4} > -2$.

10. $(x^2 + 2)^2 – x^2(x^2 + 4) \le 16$

11. Страните на триъгълник са $a = 7$ см и $b = 10$ см. Намерете възможните целочислени стойности за страната $c$.

12. Докажете, че $x^2 – 6x + 10 > 0$ за всяко $x$.

13. $(2x – 3)(4x^2 + 6x + 9) – 8x(x – 1)(x + 1) < 10x – 20$

14. Намерете най-голямото цяло число $x$, за което: $\frac{(x + 1)^2}{2} – \frac{x^2 – 1}{2} \le 5$.

15. $(x + 2)^3 – x^2(x + 6) \ge 12x + 7$

16. Ако $a > b$, докажете, че $a – 5 > b – 7$.

17. За кои стойности на $x$ е вярно модулното неравенство: $|x – 3| + (x – 3)^2 \ge 0$?

18. $(x – 5)^2 – (x + 2)^2 > -14x + 10$

19. Докажете, че за всяко $a, b, c$ е вярно: $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ac$.

20. Намерете броя на целите отрицателни решения на: $\frac{x – 2}{-3} > 1$.

21. $(x + 3)^2 – (x – 3)^2 < 12x + 1$

22. Докажете чрез разлика, че за всяко $a, b$ е вярно: $(a + b)^2 \ge 4ab$.

23. $(2x + 1)^2 – (x – 2)^2 \le 3x^2 + 10$

24. Бедрото на равнобедрен триъгълник е $x$ см, а основата му е $10$ см. Намерете дефиниционното множество за $x$.

25. $\frac{x – 1}{0.5} – \frac{x + 1}{0.2} < 20$

26. $(x – 2)^3 + (x + 2)^3 > 2x^3 + 12x – 5$

27. Намерете най-малкото цяло $x$, за което $x \cdot (-2)^3 > (-2)^5$.

28. Докажете, че ако $x > 1$, то $x^3 > x^2$.

29. Намерете най-малката стойност на израза: $(x – 1)^2 + (x – 2)^2 + (x – 3)^2$.

30. Намерете допустимите стойности за $x$, ако страните на един триъгълник са изразени чрез $x, x + 1$ и $x + 2$.

31. Проверете вярно ли е, че $\frac{1}{x^2 + 1} \le 1$ за всяко рационално число $x$.

32. $(x + 4)(x^2 – 4x + 16) \le x^3 + 8x$

33. Докажете, че за $a > 0$ и $b > 0$ е вярно: $(a + b)(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) \ge 4$.

34. Периметърът на квадрат със страна $3x – 2$ см е по-малък от $40$ см. Намерете $x$.

35. $(2x – 1)^3 – 8x^3 < -12x^2 + 5$

36. Колко са естествените числа $x$, за които $\frac{x + 1}{2} + \frac{x + 2}{3} < 5$?

37. Докажете, че $a^2 + 1 > a$ за всяко $a$.

38. $(x – 1)^2 – (x – 2)(x + 2) < 2x + 5$

39. Ако $x < y < 0$, докажете чрез сравняване, че $x^2 > y^2$.

40. $(x + 1)^4 – (x – 1)^4 > 8x^3$

Практични задачи

1. Разполагате с $20.00$ EUR. Купувате книга за $8.50$ EUR. Колко тетрадки по $1.20$ EUR най-много можете да купите?

2. Месечната такса за мобилен план е $12.00$ EUR, а всяка минута разговор струва $0.05$ EUR. Колко минути можете да говорите, ако бюджетът ви е до $25.00$ EUR?

3. Тениска струва $14.90$ EUR. Имате купон за $15\%$ отстъпка. Колко тениски можете да купите с $50.00$ EUR?

4. Имате спестени $150.00$ EUR и отделяте по $15.50$ EUR на седмица. След колко седмици сумата ще надхвърли $300.00$ EUR?

5. Билет за влак струва $4.20$ EUR. Месечна карта е $55.00$ EUR. Колко пътувания трябва да направите, за да бъде картата по-изгодна?

6. Наем на автомобил е $45.00$ EUR на ден плюс $0.12$ EUR на изминат километър. Колко километра можете да изминете за един ден с бюджет $80.00$ EUR?

7. Билет за кино е $9.00$ EUR, а пуканките са $4.50$ EUR. Колко души най-много могат да отидат, ако общият бюджет е $100.00$ EUR и всеки иска пуканки?

8. Литър бензин струва $1.65$ EUR. Колко цели литри можете да заредите за $40.00$ EUR?

9. Заплащането ви е $8.50$ EUR на час. Колко часа трябва да работите, за да спестите за таблет, който струва $240.00$ EUR?

10. Голяма пица струва $12.00$ EUR плюс $0.80$ EUR за всяка допълнителна съставка. Колко добавки можете да изберете, ако разполагате с $15.00$ EUR?

11. Трима приятели събират пари за подарък. Първият дава $15.00$ EUR, вторият – $22.50$ EUR. Колко най-малко трябва да добави третият, за да е общата сума над $60.00$ EUR?

12. Една тренировка във фитнес зала струва $7.00$ EUR. Месечна карта е $45.00$ EUR. Колко пъти трябва да посетите залата, за да е картата финансово по-изгодна?

13. Паркингът таксува $2.00$ EUR за първия час и по $1.50$ EUR за всеки следващ. За колко часа можете да паркирате с точно $10.00$ EUR?

14. Кутия моливи струва $4.20$ EUR. При покупка на $3$ кутии получавате обща отстъпка от $2.00$ EUR. Колко ще платите за трите кутии?

15. Групов билет за театър (за $10$ души) е $120.00$ EUR. Колко евро на човек се спестяват, ако редовната цена на билета е $15.00$ EUR?

16. Поръчвате храна за $25.00$ EUR с доставка $3.50$ EUR. Ако оставите бакшиш от $10\%$ върху цената на храната, колко общо ще платите?

17. Вход за музей за възрастни е $12.00$ EUR, а за деца – $6.00$ EUR. Колко деца могат да влязат с двама възрастни, ако общата сума не трябва да надвишава $40.00$ EUR?

18. Семеен билет за зоопарк е $35.00$ EUR. Ако индивидуалните билети са съответно $12.00$ EUR за възрастен и $6.00$ EUR за дете, за какво минимално семейство (брой деца) е по-изгоден семейният билет?

19. Разпечатването на една снимка е $0.15$ EUR. Колко снимки можете да извадите с бюджет от $12.00$ EUR?

20. Плувен басейн таксува $6.50$ EUR на посещение. Карта за $10$ посещения струва $50.00$ EUR. Колко евро спестявате на всяко влизане с картата?

21. Дворно място има форма на правоъгълник, чиято дължина е с $4,5$ м по-голяма от широчината му $x$. Трябва да се огради с мрежа, която струва $12,60$ EUR за линеен метър. Ако общият бюджет за мрежата е под $400,00$ EUR, намерете допустимите стойности за широчината $x$ (в метри).

22. Цената на един лаптоп без данък е $x$ EUR. Към нея се добавя ДДС в размер на $20\%$. След това магазинът предлага отстъпка от $15\%$ върху крайната цена с ДДС. Намерете стойностите на $x$, за които крайният потребител ще плати по-малко от $850,00$ EUR.

23. Разстоянието между два града $A$ и $B$ е $180$ км. От $A$ към $B$ тръгва камион със скорост $v$ км/ч. Един час по-късно от $A$ тръгва лека кола, чиято скорост е с $25\%$ по-висока от тази на камиона. Намерете стойностите на $v$, за които леката кола ще настигне камиона преди той да е стигнал град $B$.

24. В лаборатория има $5$ литра разтвор със съдържание на киселина $12\%$. Колко литра чиста киселина (между $x$ и $y$ литра) трябва да се добавят, за да се получи нов разтвор, чиято концентрация е между $25\%$ и $30\%$?

25. Две от страните на триъгълна градина са съответно $8,40$ м и $12,60$ м. Третата страна има дължина $x$ м. Ограждането на тази страна струва $15,50$ EUR на метър. Намерете целия диапазон от възможни разходи за ограждането на третата страна, като вземете предвид правилото за съществуване на триъгълник.

26. Една фирма за почистване таксува фиксирана такса от $35,00$ EUR и по $18,50$ EUR на работен час за един служител. Ако на обекта работят трима служители едновременно, колко пълни часа най-много могат да прекарат там, ако общата сума не трябва да надвишава $250,00$ EUR?

27. Внасяте сумата $K$ в банка при проста годишна лихва от $3,2\%$. След колко години натрупаната лихва ще бъде по-голяма от $15\%$ от първоначалния капитал $K$?

28. Празен басейн с форма на паралелепипед има основа с площ $24,5$ кв. м. В него започва да тече вода с дебит $2,4$ куб. м на час. Намерете след колко часа нивото на водата ще бъде по-високо от $1,2$ м?

29. Един онлайн магазин предлага промоция: при покупка над $120,00$ EUR доставката от $9,50$ EUR става безплатна. Вие купувате артикули по $22,40$ EUR всеки. Напишете неравенство, с което да определите при какъв брой артикули $n$ е по-изгодно да купите един допълнителен артикул, вместо да плащате за доставка.
30. Енергоспестяваща крушка струва $12,50$ EUR и изразходва енергия за $0,02$ EUR на вечер. Обикновена крушка струва $1,20$ EUR, но изразходва $2^3$ пъти повече енергия на вечер. След колко вечери $n$ инвестицията в енергоспестяващата крушка ще започне да се възвръща (т.е. общият разход за нея ще бъде по-малък)?

    © София-Мат ЕООД