$21$. Господин Пропорций 🙂

• А: Ако мащабът на карта е 1 :100, а лицето на стая на чертежа е 20⁢ cm2, колко е реалното лице в m2?

• Б: Намери лицето на фигурата, ограничена от графиките на 𝑦 =𝑥, 𝑦 =3⁢𝑥 и правата 𝑥 =2.

• В: Намери пресечната точка на 𝑦 =16𝑥 и правата 𝑦 =𝑥.

  Тест Б

  Част I:

  $1$. Проценти и части от число

  • А: В един склад имало $120$ тона стока. Първия ден продали $35\%$ от нея, а втория ден – $40\%$ от останалото количество. Колко тона стока са останали в склада след втория ден?

  • Б: Цената на една стока е $150$ лв. Тя била увеличена с $20\%$, а след един месец новата цена била намалена с $20\%$. Колко лева е крайната цена на стоката?

  • В: В училище учат $450$ ученици. От тях $60\%$ са момичета. Ако $20\%$ от момичетата и $10\%$ от момчетата тренират волейбол, колко общо ученици тренират волейбол?

  $2$. Действия със степени 

  • А: Намерете стойността на израза: $\frac{2^{5} \cdot 4^{2}}{2^{7}}$

  • Б: Пресметнете израза, като използвате правилата за степенуване: $\frac{(-3)^{4} \cdot 3^{5}}{3^{7}}$

  • В: Намерете стойността на $n$, ако е известно, че $5^{n} \cdot 25 = 5^{6}$.

  $3$. Стандартен запис на число

  • А: Разстоянието от Земята до Слънцето е приблизително $149\ 600\ 000$ км. Представете това разстояние в стандартен запис, закръглено до втория знак след запетаята.

  • Б: Масата на един атом водород е приблизително $0,000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 000\ 001\ 67$ грама. Запишете това число в стандартен запис.

  • В: Пресметнете израза и запишете резултата в стандартен запис: $(2 \cdot 10^{3}) \cdot (4,5 \cdot 10^{4})$

  $4$. Линейни уравнения 

  • А: Решете уравнението: $3(x – 2) – 2(x + 1) = 5$

  • Б: Намерете корена на уравнението: $\frac{x}{2} – \frac{x}{3} = \frac{1}{6}$

  • В: Решете уравнението: $0,4x – 1,2 = 0,2(x + 4)$

  $5$. Координатна система и лица

  • А: Дадени са точките $A(-2; -1)$, $B(4; -1)$ и $C(4; 3)$. Намерете лицето на триъгълника $ABC$.

  • Б: Точката $M$ е среда на отсечката с краища $P(-3; 2)$ и $Q(5; 2)$. Намерете координатите на точката $M$ и нейния квадрант.

  • В: Намерете разстоянието от точката $K(-6; 8)$ до координатното начало $O(0; 0)$.

  $6$. Свойства на пропорциите

  • А: Намерете $x$ от пропорцията: $\frac{2x – 3}{5} = \frac{x + 1}{3}$

  • Б: Ако $a : b = 3 : 4$ и $a + b = 28$, намерете стойностите на $a$ и $b$.

  • В: Решете пропорцията: $0,8 : x = 1,2 : 1,5$

  $7$. Права пропорционалност

  • А: За боядисването на $15$ $m^{2}$ стена са необходими $2,5$ кг боя. Колко килограма боя ще са нужни за стена с площ $36$ $m^{2}$?

  • Б: Машина произвежда $120$ детайла за $5$ часа. Колко детайла ще произведе същата машина за една работна смяна от $8$ часа?

  • В: От $100$ кг пшеница се получават $80$ кг брашно. Колко кг пшеница са нужни за получаването на $120$ кг брашно?

  $8$. Обратна пропорционалност

  • А: Петима работници могат да довършат обект за $12$ дни. С колко работници трябва да се увеличи групата, за да завършат обекта само за $4$ дни?

  • Б: Една поръчка се изпълнява от $3$ машини за $8$ часа. За колко часа ще се изпълни същата поръчка, ако работят само $2$ машини?

  • В: Разстоянието между два града се изминава от лека кола за $3$ часа със скорост $80$ км/ч. С каква скорост трябва да се движи колата, за да измине пътя за $2,5$ часа?

  $9$. Средно аритметично

  • А: Средното аритметично на четири числа е $15$. Ако три от числата са $10$, $12$ и $18$, кое е четвъртото число?

  • Б: В група от $6$ деца средната височина е $140$ см. След като в групата влезе още едно дете, средната височина станала $141$ см. Колко е високо новото дете?

  • В: Намерете средното аритметично на всички прости числа между $10$ и $20$.

  $10$. Множества и логика

  • А: Дадени са множествата $A = \{x \mid x \text{ е четно число}, 1 < x < 13\}$ и $B = \{x \mid x \text{ е кратно на } 3, 1 < x < 15\}$. Намерете броя на елементите в $A \cup B$.

  • Б: Ако $M \cap N = \{2, 5\}$, а $M \cup N = \{1, 2, 3, 5, 8\}$, намерете броя на елементите, които принадлежат само на едно от двете множества.

  • В: Колко са двуцифрените числа, които са елементи на множеството на числата, делящи се едновременно на $4$ и на $6$?

  $11$. Питагорова теорема (Комбинирани задачи)

  • А: Намерете височината към основата на равнобедрен триъгълник с бедро $17$ см и основа $16$ см.

  • Б: Правоъгълник има малка страна $5$ см и диагонал $13$ см. Намерете лицето на правоъгълника.

  • В: В правоъгълен триъгълник единият катет е с $2$ см по-дълъг от другия, а хипотенузата е $10$ см. Намерете катетите (използвайте проверка на Питагорови тройки).

  $12$.  „Намислих едно число“

  • А: Намислих число. Увеличих го с $4$, резултата разделих на $2$, след това извадих $5$ и получих $10$. Кое е числото?

  • Б: Намислих число. Ако към неговата половинка прибавя $15$, ще получа число, което е с $5$ по-малко от намисленото. Кое е числото?

  • В: Една четвърт от едно число е с $10$ по-малка от самото число. Намерете числото.

  $13$. Скорост и движение

  • А: Велосипедист изминава първите $20$ км от пътя за $1,5$ ч, а останалите $30$ км – за $1$ ч. Колко е средната му скорост за цялото пътуване?

  • Б: Автомобил се движи със скорост $72$ км/ч. Колко метра изминава той за $10$ секунди?

  • В: Моторна лодка изминава разстоянието между две пристанища по течението за $2$ ч, а на връщане срещу течението – за $3$ ч. Ако скоростта на течението е $2$ км/ч, намерете собствената скорост на лодката.

  $14$. Проценти и смеси

  • А: Разполагаме с $200$ грама солен разтвор с концентрация $15\%$. Колко грама вода трябва да се изпарят, за да стане разтворът $20\%$?

  • Б: Към $300$ грама захарен сироп с концентрация $10\%$ добавили още $20$ грама захар. Каква е новата процентна концентрация на захарта?

  • В: Колко литра вода трябва да се добавят към $5$ литра мляко с масленост $4\%$, за да се получи мляко с масленост $2,5\%$?

  Част II:

  $15$. По-сложни уравнения

  • А: Решете уравнението: $\frac{2x – 1}{3} – \frac{x + 3}{4} = 1$

  • Б: Намерете $x$, ако $2^{x} \cdot 2^{3} = 2^{7}$.

  • В: Решете: $2(3x – 1,5) = 4x + 7$

  $16$. Текстова задача

  • А: Намислих число, извадих от него $2/3$ от самото число и получих $15$. Кое е числото?

  • Б: Сборът на три последователни цели числа е $72$. Кое е най-малкото от тях?

  • В: Ако увеличите едно число с неговата третинка, ще получите $24$. Кое е числото?

  $17$. Пропорции и геометрия

  • А: Периметърът на правоъгълник е $48$ см, а страните му се отнасят както $5 : 7$. Намерете лицето му.

  • Б: Ъглите в един триъгълник се отнасят както $2 : 3 : 5$. Намерете градусната мярка на най-големия ъгъл.

  • В: Мащабът на една карта е $1 : 500\ 000$. Ако разстоянието между два града на картата е $12,4$ см, колко км е реалното разстояние?

  $18$. Движение 

  • А: От град $A$ за град $B$ тръгва камион със скорост $60$ км/ч. Два часа по-късно след него тръгва лека кола със скорост $90$ км/ч. На какво разстояние от град $A$ колата ще настигне камиона?

  • Б: Велосипедист и моторист тръгват едновременно от едно и също място в една и съща посока. Скоростта на моториста е $45$ км/ч, а на велосипедиста – $15$ км/ч. След колко време разстоянието между тях ще бъде $60$ км?

  • В: Куче гони заек, който е на $30$ метра пред него. Скоростта на кучето е $10$ м/сек, а на заека – $7$ м/сек. След колко секунди кучето ще настигне заека?

  $19$. Средно аритметично и данни

  • А: Средната оценка на $12$ ученици по математика е $5,50$, а на останалите $8$ ученици в класа е $4,50$. Какъв е средният успех на целия клас?

  • Б: На пет контролни работи ученик получил следните оценки: $4, 5, 6, 4, 6$. Каква оценка трябва да получи на шестата контролна, за да стане средният му успех точно $5,00$?

  • В: Средното аритметично на $n$ числа е $20$. Ако сборът им е $160$, колко е числото $n$?

  $20$. Питагорова теорема в пространството

  • А: Даден е правоъгълен паралелепипед с ръбове $3$ см, $4$ см и $12$ см. Намерете дължината на неговия ‘телесен’ диагонал.

  • Б: Намерете разстоянието между точките $M(-1; 2)$ и $N(4; 14)$ в координатна система.

  • В: Стълба с дължина $10$ метра е подпряна на стена. Долният ѝ край е на $6$ метра от основата на стената. На каква височина достига горният край на стълбата?

  $21$. Серия Гадни

  • А: Детайл с дължина 4 mm е начертан с дължина 2 cm. Какъв е мащабът на увеличение?

  • Б: Светлината изминава 300,000 км/сек. Изрази разстоянието 𝑑 като функция на времето 𝑡 и пресметни за колко време стига до Земята (150 млн. км).

  • В: Имаш 200 г разтвор с 15% концентрация. Колко вода трябва да добавиш, за да стане 5%?

  Тест В:

  Част I:

  $1$. Проценти, дроби и остатък

  • А: В една библиотека $40\%$ от книгите са художествени, $\frac{1}{3}$ от останалите са научни, а останалите $120$ са учебници. Колко книги общо има в библиотеката?

  • Б: Цената на телевизор била намалена с $20\%$, а след това новата цена била намалена с още $10\%$. Ако крайната цена е $720$ лв., каква е била първоначалната?

  • В: От $200$ кг желязна руда се извличат $120$ кг чисто желязо. Колко процента примеси съдържа рудата и колко кг желязо ще се извлекат от $350$ кг руда?

  $2$. Степенуване (Сложност: $+30\%$)

  • А: Намерете стойността на израза: $\frac{(3^{2})^{4} \cdot 9^{2}}{27^{3}}$

  • Б: Пресметнете: $\frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{10^{8}} \cdot 0,1$

  • В: Намерете $x$, ако $4^{x+1} = 64$.

  $3$. Стандартен запис и мерни единици

  • А: Светлината изминава $3 \cdot 10^{8}$ метра за една секунда. Колко километра ще измине за една минута? Запишете в стандартен запис.

  • Б: Пресметнете израза и запишете резултата в стандартен запис: $\frac{1,2 \cdot 10^{6}}{4 \cdot 10^{-2}}$

  • В: Един нанометър е $10^{-9}$ метра. Колко нанометра има в $0,5$ километра?

  $4$. Уравнения с модули и скоби (Сложност: $+30\%$)

  • А: Решете уравнението: $2|x – 3| = 10$ (Намерете сбора от корените).

  • Б: Намерете $x$, ако: $\frac{3x – 1}{2} – \frac{2x + 5}{3} = \frac{x – 1}{6}$

  • В: Решете уравнението: $x^{2} – 9 = 0$ (за $x > 0$).

  $5$. Координатна система и симетрия

  • А: Точка $A(2; -3)$ е отразена (симетрична) спрямо оста $Ox$ до точка $A_{1}$, а тя – спрямо оста $Oy$ до точка $A_{2}$. Намерете координатите на $A_{2}$ и лицето на $\triangle AA_{1}A_{2}$.

  • Б: Намерете лицето на четириъгълник с върхове $M(-2; 1)$, $N(3; 1)$, $P(3; 5)$ и $Q(-2; 5)$.

  • В: Точка $B$ има координати $(-4; 6)$. Намерете разстоянието от $B$ до началото на координатната система $O(0;0)$.

  $6$. Сложни пропорции

  • А: Ако $x : y = 2 : 3$ и $y : z = 4 : 5$, намерете отношението $x : z$.

  • Б: Намерете $x$, ако $\frac{1}{x} : \frac{1}{3} = 6 : 4$.

  • В: Разделете числото $180$ на три части $a, b$ и $c$, които са правопропорционални на $2, 3$ и $4$. Колко е $c – a$?

  $7$. Права пропорционалност и функции

  • А: Величините $y$ и $x$ са в права пропорционалност. Ако при $x = 0,5$, $y = 3$, намерете $y$, когато $x = 1,2$.

  • Б: Площта на правоъгълник с фиксирана ширина е правопропорционална на дължината му. Ако при дължина $8$ см лицето е $48$ $cm^{2}$, колко ще е лицето при дължина $15$ см?

  • В: За $45$ минути един басейн се пълни до $15\%$. За колко часа ще се напълни целият басейн?

  $8$. Обратна пропорционалност и време

  • А: Ако $12$ работници свършват работа за $15$ дни, колко работници със същата производителност трябва да се наемат, за да се свърши работата за $9$ дни?

  • Б: Скоростта и времето за изминаване на фиксирано разстояние са обратнопропорционални. Ако при $v = 90$ км/ч времето е $2$ ч, колко ще е времето при $v = 60$ км/ч?

  • В: Три помпи източват резервоар за $6$ часа. Колко помпи трябва да се спрат, за да се източи същият резервоар за $9$ часа?

  $9$. Средно аритметично и тегло

  • А: Средният ръст на $5$ баскетболисти е $198$ см. Ако към тях се присъедини нов играч с ръст $210$ см, колко ще е новият среден ръст?

  • Б: Средното аритметично на $x, 2x$ и $9$ е равно на $12$. Намерете $x$.

  • В: В един клас момчетата имат среден успех $4,80$, а момичетата – $5,40$. Ако момчетата са $10$, а момичетата – $15$, колко е средният успех на класа?

  $10$. Множества: Сечение и разлика

  • А: Дадени са множествата $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ е прост делител на } 60\}$ и $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ е четно число} < 10\}$. Намерете $A \cap B$.

  • Б: Колко елемента има множеството на всички двуцифрени числа, които се делят на $3$, но не се делят на $2$?

  • В: Нека $M$ е множеството на буквите в думата „математика“, а $N$ – в думата „граматика“. Намерете $M \setminus N$ (елементите в $M$, които ги няма в $N$).

  $11$. Питагорова теорема и лица

  • А: Диагоналите на ромб са $12$ см и $16$ см. Намерете страната на ромба и неговия периметър.

  • Б: В правоъгълен триъгълник единият катет е $8$ см, а лицето му е $24$ $cm^{2}$. Намерете хипотенузата.

  • В: Намерете височината на равностранен триъгълник със страна $10$ см (използвайте $\sqrt{75} \approx 8,66$ или запишете чрез корен).

  $12$. „Намислих число“ с проценти

  • А: Намислих число, увеличих го с $20\%$ от него самото, след което от полученото извадих $15$ и получих $57$. Кое е числото?

  • Б: Намислих число, умножих го по $0,75$ и към резултата добавих $10$. Получих число, което е с $5$ по-малко от първоначалното. Кое е то?

  • В: Една трета от намисленото число е с $12$ по-малка от половината на същото число. Намерете числото.

  $13$. Движение в сложни условия

  • А: Велосипедист се движи $2$ часа по равен път със скорост $18$ км/ч и $1$ час по нагорнище със скорост $12$ км/ч. Колко е средната му скорост за целия път?

  • Б: Двама колоездачи тръгват едновременно един срещу друг от две села. Срещат се след $1,5$ часа. Ако единият се движи с $14$ км/ч, а разстоянието е $45$ км, с каква скорост се движи вторият?

  • В: Лодка изминава разстояние по течението за $3$ часа, а срещу течението – за $5$ часа. Ако скоростта на лодката в спокойна вода е $16$ км/ч, намерете скоростта на течението.

  $14$. Смеси и концентрация

  • А: Колко грама сол трябва да се добавят към $400$ г $10\%$-ен разтвор, за да стане той $20\%$-ен?

  • Б: Смесват се $2$ литра сок с $30\%$ съдържание на захар и $3$ литра сок с $10\%$ захар. Какъв е процентът захар в получената смес?

  • В: Цена на сплав от злато и мед се определя от чистотата. Колко грама чиста мед трябва да се добавят към $100$ г злато, за да се получи сплав с $80\%$ съдържание на злато?

  Част II:

  $15$. Уравнения с дроби и степени

  • А: Решете уравнението за $x$: $\frac{x \cdot 2^{3} – 4^{2}}{2} = 12$

  • Б: Намерете корена: $\frac{1}{2}(x – 4) + \frac{1}{3}(x + 3) = 5$

  • В: Решете: $3x^{2} = 75$ (за $x > 0$)

  $16$. „Намислих число“ – логическа верига

  • А: Намислих число. Извадих от него $5$, резултата умножих по $4$, след това добавих $10$ и накрая разделих на $2$. Получих $25$. Кое е числото?

  • Б: Сборът на три последователни четни числа е $150$. Кое е най-голямото?

  • В: Разликата между $60\%$ от едно число и $40\%$ от същото число е $15$. Намерете числото.

  $17$. Пропорции и мащаб

  • А: План на апартамент е в мащаб $1:50$. Ако холът на плана е правоъгълник със страни $10$ см и $12$ см, колко квадратни метра е реалната му площ?

  • Б: Отношението на момчетата към момичетата в едно училище е $4:5$. Ако момичетата са с $60$ повече от момчетата, колко са общо учениците?

  • В: Три числа се отнасят както $0,5 : 2 : 2,5$. Сборът им е $100$. Кое е най-малкото число?

  $18$. Движение и среща 

  • А: От две гари, разстоянието между които е $210$ км, тръгват едновременно един срещу друг два влака. Първият се движи с $80$ км/ч, а вторият – с $60$ км/ч. След колко минути разстоянието между тях ще бъде $70$ км (преди да са се срещнали)?

  • Б: Пешеходец тръгва от точка $M$ със скорост $4$ км/ч. $30$ минути по-късно от същата точка и в същата посока тръгва велосипедист със скорост $12$ км/ч. След колко километра от точка $M$ велосипедистът ще настигне пешеходеца?

  • В: Разстоянието между $A$ и $B$ е $30$ км. От $A$ за $B$ тръгва пешеходец с $5$ км/ч. В същия момент от $B$ за $A$ тръгва друг пешеходец с $4$ км/ч. Къде (на какво разстояние от $A$) ще се срещнат?

  $19$. Средно аритметично и екстремни стойности

  • А: В една група от $10$ души средната възраст е $25$ години. Ако от групата излезе най-възрастният, който е на $43$ години, колко ще стане средната възраст на останалите?

  • Б: Средното аритметично на $8$ числа е $15$. Ако всяко от числата се увеличи с $3$, колко ще бъде новото средно аритметично?

  • В: Намерете средното аритметично на всички четни двуцифрени числа, които са кратни на $5$.

  $20$. Питагор в координатна система 

  • А: Намерете разстоянието между точките $A(-2; 5)$ и $B(4; -3)$. (Подсказка: начертайте правоъгълен триъгълник).

  • Б: Даден е правоъгълен триъгълник в координатна система с върхове $O(0;0)$, $K(0; 12)$ и $L(5; 0)$. Намерете периметъра му.

  • В: Точка $P(x; 4)$ е на разстояние $5$ единици от началото $O(0;0)$. Намерете положителната стойност на $x$.

  Част III:

  $21$. Комбинирана задача

  • А: Два обекта започват да се движат един срещу друг от точки $A$ и $B$. Разстоянието $AB$ е $360$ км. Скоростите им се отнасят както $5 : 6$, а сборът от тези две скорости е точно $33$ км/ч. След колко часа ще се срещнат?

  • Б: Трябва да се напълни басейн, който има форма на правоъгълен паралелепипед с размери: основа с лице $540$ $m^{2}$ и дълбочина $3$ метра. Обемът на басейна е $1620$ кубични метра. Ако една помпа го пълни с дебит $11$ $m^{3}/h$, колко часа ще са необходими за запълването му?

  • В: Дължината на една магистрала е $180$ км. Първият етап от ремонта обхваща $90\%$ от дължината ѝ . Ако строителна бригада ремонтира средно по $11$ км на ден, за колко дни ще приключи този етап?

  © София-Мат ЕООД

   

  

   

   

   

URL has been copied successfully!