Въведение в статистиката

Забравете за скучните сметки – навлизаме в света на статистиката! Това е моментът, в който математиката започва да отговаря на важните въпроси: колко сладолед изяждаме средно на лято и как да подредим приятелите си в множества според любимата им музика.

Основни понятия

Множества (Sets)

Представете си множеството като „клуб“ или кутия, в която събираме обекти (елементи) с общи свойства.

• Използваме символа $\in$, за да кажем, че нещо е част от клуба.

Например:

• Нека множеството $P$ е „Любими съставки за пица“:

  $$P = \{\text{кашкавал, шунка, гъби, маслини}\}$$

  • Маслини $\in P$ (Вярно е: маслините са част от нашата пица).

  • Ананас $\notin P$ (Символът със зачеркната чертичка означава „не принадлежи“ – в този случай ананасът не е в нашия списък).

Математически множества (с числа)

• Множество на цифрите: $D = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$

• Множество на четните числа до 10: $E = \{2, 4, 6, 8, 10\}$

• Множество на простите числа до 20: $P = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$

• Множество на десетичните дроби между 1 и 2 с една цифра след запетаята: $F = \{1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9\}$

Специални видове множества

• Празно множество ($\varnothing$): Множество, което няма елементи.

  • Пример: Множеството на говорещите кучета в твоя клас.

• Безкрайно множество: Множество, чиито елементи не могат да бъдат изброени докрай.

  • Пример: Множеството на всички естествени числа $\{1, 2, 3, 4, \dots\}$.

Връзки между множества (Операции)

Нека имаме две групи приятели:

• Група А (фенове на Minecraft): $\{\text{Иван, Мария, Петър}\}$

• Група B (фенове на Roblox): $\{\text{Мария, Петър, Елена}\}$

Тогава:

• Сечение (Общите фенове): $A \cap B = \{\text{Мария, Петър}\}$ (Тези, които са и в двата клуба).

Сечението е там, където две множества се застъпват (общите елементи).

• Обединение (Всички фенове): $A \cup B = \{\text{Иван, Мария, Петър, Елена}\}$ (Всички деца от двете групи, без да повтаряме имената).

Обединението е всички елементи от двете множества, събрани на едно място

Подмножества

Ако $M$ е множеството на всички ученици в твоето училище, то:

• Множеството на учениците в твоя 6-ти клас е подмножество на $M$.

• Множеството на момичетата в твоя клас е подмножество на множеството на твоя клас.

Средно аритметично

Когато имаме множество елементи, често ни се налага да ги измерим и подредим. Тук помага формулата за средната стойност (средно аритметично).

Примерни задачи с решения

Задача 1: Иван има оценки по математика: 6, 5, 4 и 6. Колко е средният му успех?

• Решение: $(6 + 5 + 4 + 6) / 4 = 21 / 4 = 5,25$.

Задача 2: Имаме две множества $A = \{2, 4, 6, 8\}$ и $B = \{6, 8, 10\}$. Намерете $A \cap B$.

• Решение: Общите елементи са 6 и 8. $A \cap B = \{6, 8\}$.

Задача 3: В един клас 15 ученици учат английски, 10 учат немски, а 5 учат и двата езика. Колко ученици учат поне един от двата езика?

• Решение (Кръгове на Ойлер): Само английски: $15 – 5 = 10$. Само немски: $10 – 5 = 5$. Общо: $10 + 5 + 5 = 20$ ученици.

Основни задачи

По-трудни задачи

1. Средният ръст на трима приятели е 150 см. Ако единият е висок 160 см, колко е средният ръст на другите двама?

2. В един софтуерен екип 12 души пишат на Python, 8 на Java, а 4-ма на двата езика. Начертай кръгове на Ойлер и намери общия брой програмисти.

3. Средната цена на 5 книги е 12,50€. Ако добавим шеста книга от 20€, колко става новата средна цена?

4. Намери $X$, ако средното аритметично на $X$, 12,5 и 7,5 е 15.

5. Имаш множества $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ и $B = \{4, 5, 6, 7\}$. Намери $(A \cup B) – (A \cap B)$.

6. Средната печалба на един магазин за 6 дни е 120,50€. Колко трябва да спечели на седмия ден, за да стане средната печалба 130€?

7. В един клас от 25 души, 18 харесват пица, 12 харесват бургери. Колко най-малко харесват и двете?

8. Три семейства харчат средно по 450,20€ за храна. Първото харчи 400€, второто 500€. Колко харчи третото?

9. Намери средното на числата: $1/2, 1/4$ и $1/4$. (Използвай десетични запетаи: 0,5; 0,25; 0,25).

10. Множество $A$ са четните числа до 20, $B$ са числата, делящи се на 3 до 20. Намери $A \cap B$.

11. Ако средното на $n$ числа е $S$, как ще се промени то, ако увеличим всяко число с 5?

12. Използвай кръгове на Ойлер: От 30 туристи, 20 говорят английски, 15 френски, а 5 не говорят нито един от двата. Колко говорят и двата?

13. Средната скорост на кола за първите 2 часа е 80 км/ч, а за следващите 3 часа е 100 км/ч. Колко е средната скорост за цялото пътуване? (Внимавай: не е просто средното на 80 и 100!).

14. Множество $C = \{x | x \text{ е четна цифра}\}$. Намери броя на всички негови подмножества с 2 елемента.

15. Средното на 10 числа е 0. Ако девет от тях са по 1, колко е десетото?

16. В спортен клуб 15 души играят тенис, 20 футбол. Колко е максималният брой хора в клуба? А минималният?

17. Една акция струва средно 50,40€ за седмица. Ако в понеделник е била 40€, а в останалите дни е била една и съща, колко е била тя?

18. Намери средното аритметично на всички двуцифрени числа, завършващи на 5.

19. Множества: $A \cap B = \{2, 3\}$, $A \cup B = \{1, 2, 3, 4\}$. Ако $1 \in A$ и $4 \in B$, кои са елементите на $A$ и $B$?

20. Колко е средното на първите 100 естествени числа? (Жокер: Гаус).

Предизвикателни задачи

1. Крипто-трейдърът Иван купил Биткойн на цена 40 000€, 45 000€ и 55 000€ в три различни дни. Колко е средната му покупна цена? Ако днес цената е 48 000€, на печалба ли е той?

2. Тройни кръгове на Ойлер: В един геймърски клуб: 20 играят Minecraft, 15 играят Roblox, 10 играят Fortnite. 5 играят Minecraft и Roblox, 3 играят Roblox и Fortnite, 4 играят Minecraft и Fortnite. 2-ма играят и трите. Колко геймъри има общо?

3. Средното аритметично на 4 числа е 7. Ако добавим пето число $x$, средното става $x$. Намери $x$.

4. Парадоксът на средното: В една стая има 5 души със средна заплата 1000€. Влиза милионер със заплата 1 000 000€. Колко е новото средно? Отразява ли то реалността за първите 5 души?

5. Множество $A$ има $n$ елемента. Ако добавим един елемент, броят на подмножествата му се удвоява. Защо? 

6. Намери пет последователни числа, чието средно аритметично е 20.

7. В една група от 40 души, всеки говори поне един език – английски или испански. Английски говорят 3 пъти повече хора, отколкото само испански. 10 души говорят и двата. Колко говорят само английски?

8. Средната температура за първите 10 дни на месеца е 15,2°C. За следващите 20 дни е 18,5°C. Колко е средната температура за целия месец (30 дни)?

9. Намери средното на числата в множествата $A = \{x \in \mathbb{N} | 10 < x < 20\}$ и $B = \{x \in \mathbb{N} | 15 \leq x \leq 25\}$.

10. Един тест има 20 въпроса. За верен отговор се дават 5 точки, за грешен се отнемат 2. Ако средният резултат на класа е 60 точки, какъв е средният брой верни отговори?

11. Колко е средното аритметично на всички числа от вида $3n + 1$ за $n = 1$ до $n = 10$?

12. Дадени са множества $A, B$ и $C$. Ако $A \subset B$ и $B \subset C$, на какво е равно $A \cap B \cap C$? А $A \cup B \cup C$?

13. Средната възраст на футболен отбор (11 играчи) е 26 години. Ако капитанът бъде изгонен и заменен с 18-годишен младеж, средната възраст пада на 25 години. На колко години е капитанът?

14. Докажи, че ако средното на 5 различни естествени числа е 10, то най-голямото число не може да бъде повече от 40.

15. 100 души ядат пица. 60 искат маслини, 50 искат гъби, 40 искат шунка. 30 искат маслини и гъби, 20 искат гъби и шунка, 25 искат маслини и шунка. 10 искат и трите. Колко души не искат нито една от тези добавки?

16. Средният успех на един ученик по 8 предмета е 5,45. По колко предмета най-малко трябва да повиши оценката си с една единица, за да стане отличник (средно $\geq 5,50$)?

17. Дадени са 3 числа. Средното на първите две е 10, на второто и третото е 15, а на първото и третото е 20. Кои са числата?

18. Имаш множество $S = \{1, 2, 3, \dots, 10\}$. Намери средното аритметично на сборовете на всички негови 2-елементни подмножества.

19. Ако средното на $a, b, c$ е 20, а средното на $a, b, c, d, e$ е 30, колко е средното на $d$ и $e$?

20. Напиши множеството на всички прости числа, които са средно аритметично на две други прости числа. (Дай поне 3 примера).