Ниво 1: Загрявка (Основни свойства и интерполация)
1. Липсващите страници
В учебника на София-Мат страниците 5 и 25 са известни. Между тях липсват точно 3 страници, като номерата на всичките 5 страници (известните и липсващите) образуват аритметична прогресия. Кои са номерата на липсващите страници?
2. Вирусна атака
Компютърен вирус поразява файлове, като удвоява броя на заразените файлове на всеки час, но по схема на геометрична прогресия. Ако в 1:00 часа има 2 заразени файла, а в 5:00 часа те са 162, колко са били заразените файлове в междинните часове (2:00, 3:00 и 4:00)?
3. Тайният код
Намерете първия член и разликата на аритметична прогресия, която служи за декриптиране на код, ако знаете, че разликата между четвъртия и втория символ е 6 ($a_4 – a_2 = 6$), а сборът на първия и третия е 14 ($a_1 + a_3 = 14$).
4. Инвестиционен портфейл
Стойността на акции следва геометрична прогресия. Намерете първоначалната стойност и темпа на растеж (частното), ако разликата между стойността в 5-ия и 1-вия месец е 80 ($a_5 – a_1 = 80$), а сборът на стойностите в 4-тия и 2-рия месец е 40 ($a_4 + a_2 = 40$).
Ниво 2: Трансформации (Една прогресия става друга)
5. Странната редица
Определете коя от следните „формули за успех“ описва постоянно растяща печалба (растяща редица) за всяко $n \in \mathbb{N}$:
а) $a_n = \frac{2n+3}{n}$; б) $a_n = n^2 – 5n + 10$; в) $a_n = 2^n – n$.
6. Разбърканите стълбове
Три стълба с височини, образуващи аритметична прогресия с разлика, различна от 0, са пренаредени. Ако вземем втория, първия и третия стълб в този ред, техните височини образуват геометрична прогресия. Намерете колко пъти третият стълб е по-висок/по-нисък от първия в новополучената прогресия.
7. Тримата братя
Годините на трима братя образуват геометрична прогресия, като третият е с 4 години по-малък от втория. Ако най-малкият брат беше с 2 години по-малък, годините им щяха да образуват аритметична прогресия. Намерете възрастта им.
8. Корекция на заплатите
Заплатите на трима служители образуват аритметична прогресия, като сборът на най-ниската и най-високата е 2000 лв. Ако увеличим най-ниската с 100 лв., оставим средната без промяна и увеличим най-високата с 400 лв., заплатите им ще образуват геометрична прогресия. Какви са били първоначалните заплати?
9. Печелившите числа
Три числа в тотото, чийто сбор е 52, образуват геометрична прогресия. Ако първото и третото число се запазят, а второто се увеличи с 8, се получават печелившите числа от следващия тираж, които образуват аритметична прогресия. Кои са числата?
10. Магическият трик
Магьосник намислил три числа, образуващи аритметична прогресия ($0, 8, 16$). Той казал: „Ако увелича първото число с 4 и не пипам другите две, ще получите геометрична прогресия със сума на членовете 28“. Докажете дали е прав и намерете числата на геометричната прогресия.
11. Изгубеното равновесие
Три тежести имат маси, чийто сбор е 28 кг и образуват геометрична прогресия. Ако намалим втората тежест с 2 кг, а третата с 10 кг, ще получим тежести, образуващи аритметична прогресия, с която да си изпълним фитнес целите. Колко тежат оригиналните тежести?
12. Строителни блокове
Височините на три кули от лего образуват аритметична прогресия, като сборът на втората и третата кула е 13 см. Ако добавим 0 см към първата, 1 см към втората и 10 см към третата, новите височини ще образуват геометрична прогресия. Колко са високи кулите?
13. Стартъп инвестиция
Три транша на инвестиция имат обща стойност 24 000 лв. и образуват аритметична прогресия. Ако първият транш се намали с 1000 лв., вторият се запази, а третият се увеличи с 5000 лв., сумите образуват геометрична прогресия. Намерете размера на траншовете.
Ниво 3: Комбинаторика на четири елемента
14. Музикалните ноти
Четири честоти на ноти са такива, че първите три образуват геометрична прогресия, а последните три (2-ра, 3-та, 4-та) образуват аритметична прогресия. Сборът на крайните честоти (1-ва и 4-та) е 14 Hz (условно), а сборът на средните (2-ра и 3-та) е 12 Hz. Намерете четирите честоти.
15. Щафетата
В отбор от 4 бегачи времената им имат следната зависимост: първите трима постигат времена в аритметична прогресия, а последните трима (2-ри, 3-ти, 4-ти) – в геометрична. Ако сборът от времената на 1-вия и 3-тия е 16 мин, а на 1-вия и 4-тия е 22 мин, намерете времената им.
16. Популации
Популациите на три вида зайци (Бели, Сиви, Черни) в този ред образуват аритметична прогресия. Популациите на (Бели, Черни, Пъстри) в този ред образуват геометрична прогресия. Ако сборът на Белите и Пъстрите е 34, а на Сивите и Черните е 13, по колко зайци има от всеки вид?
17. Бонуса на милиардера
Милиардер-математик разпределя бонуси на 8 отдела, така че сумите образуват аритметична прогресия. Сборът на бонусите на 2-рия и 4-тия отдел е с 5000 лв. по-малък от бонуса на последния (8-ми) отдел. Първият, третият и седмият отдел получават суми, образуващи геометрична прогресия. Какви са бонусите?
Ниво 4: „Бонус“ интересни задачи
18. Четирите измерения
Дадени са четири числа. Първото, второто и четвъртото образуват геометрична прогресия. Всичките четири числа заедно образуват аритметична прогресия. Намерете числата, ако сборът на второто и третото е 12.
19. Триъгълникът на прогресиите
Дължините на страните на правоъгълен триъгълник образуват аритметична прогресия. Намерете страните, ако лицето на триъгълника е 24 кв.см.
20. Скачащата топка
Топка се пуска от височина 20 метра. След всеки удар в земята тя отскача на височина, равна на $\frac{1}{2}$ от предходната.
а) На каква височина ще отскочи след 10-тия удар?
Кола ускорява, като изминава разстояния за всяка следваща секунда, които образуват аритметична прогресия. За 1-вата секунда изминава 5 м, а за 2-рата – 8 м.
В същото време дрон лети, като изминава разстояния за всяка секунда, образуващи геометрична прогресия (за 1-ва сек: 2 м, за 2-ра: 4 м). В коя секунда дронът ще измине по-голямо разстояние от колата за съответния интервал?22. Древният папирус
В древен папирус на племето на софияматматите е записано: „Три числа имат произведение 216 и образуват геометрична прогресия. Ако към средното число добавим 2, те се превръщат в аритметична прогресия.“ Кои са те?
© София-Мат ЕООД
