Аритметичната прогресия (или аритметична редица) е редица от числа, в която разликата между всеки два последователни члена е константна. Тази константна разлика се нарича разлика на прогресията и обикновено се означава с $d$.
Общ член на аритметична прогресия
Общият член на една аритметична прогресия, $a_n$, ви позволява да намерите стойността на който и да е член на редицата, знаейки първия член ($a_1$) и разликата ($d$).
Формула за общия член
Формулата за $n$-тия член е:
Където:
-
$a_n$ е $n$-тият член (общият член).
-
$a_1$ е първият член.
-
$n$ е поредният номер на члена в редицата ($n \in \mathbb{N}$).
-
$d$ е разликата на прогресията.
Свойства на аритметичната прогресия
- Дефиниция чрез разликата: Разликата $d$ се намира като разлика между всеки два съседни члена:
$$d = a_{n+1} – a_n$$
- Свойство за средноаритметично: Всеки член на аритметична прогресия (с изключение на първия и последния, ако редицата е крайна) е средноаритметично на съседните му членове:
$$a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}$$
- Свойство за еквидистантни членове: Всеки член $a_n$ може да бъде изразен чрез който и да е друг член $a_k$ (където $k < n$):
$$a_n = a_k + (n-k)d$$
Формула за сбора от първите $n$ члена
Сборът от първите $n$ члена на аритметична прогресия, $S_n$, може да бъде изчислен по две основни формули.
1. Формула чрез първия и последния член
Ако са известни първият член ($a_1$) и $n$-тият член ($a_n$), формулата е:
Където:
-
$S_n$ е сборът на първите $n$ члена.
-
$a_1$ е първият член.
-
$a_n$ е $n$-тият член (последният член, който включваме в сумата).
-
$n$ е броят на членовете в сумата.
2. Формула чрез първия член и разликата
Ако са известни първият член ($a_1$) и разликата ($d$), може да заместите $a_n$ с формулата за общия член, за да получите:
Тази формула е особено полезна, когато не е известен $n$-тият член, а само $a_1$, $d$ и броят на членовете $n$.
Прилагане на формулите (пример)
Дадена е аритметична прогресия с $a_1 = 5$ и разлика $d = 3$.
Намиране на общия член ($a_4$)
Искаме да намерим четвъртия член ($n=4$).
-
$a_n = a_1 + (n-1)d$
-
$a_4 = 5 + (4-1) \cdot 3$
-
$a_4 = 5 + 3 \cdot 3$
-
$a_4 = 5 + 9 = \mathbf{14}$
Прогресията започва: $5, 8, 11, \mathbf{14}, \dots$
Намиране на сбора ($S_4$)
Искаме да намерим сбора на първите четири члена ($n=4$).
Чрез първата формула:
-
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
-
$S_4 = \frac{5 + 14}{2} \cdot 4$
-
$S_4 = \frac{19}{2} \cdot 4$
-
$S_4 = 19 \cdot 2 = \mathbf{38}$
Чрез втората формула:
-
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
-
$S_4 = \frac{2 \cdot 5 + (4-1) \cdot 3}{2} \cdot 4$
-
$S_4 = \frac{10 + 3 \cdot 3}{2} \cdot 4$
-
$S_4 = \frac{10 + 9}{2} \cdot 4$
-
$S_4 = \frac{19}{2} \cdot 4 = \mathbf{38}$
(Проверка: $5 + 8 + 11 + 14 = 38$).
Основни задачи
-
Дадена е аритметична прогресия с първи член $a_1 = 3$ и разлика $d = 4$. Намерете десетия член ($a_{10}$).
-
Ако $a_1 = 15$ и $d = -2$, намерете седмия член ($a_7$).
-
Дадени са първите два члена $a_1 = 6$ и $a_2 = 11$. Намерете разликата $d$ и петия член ($a_5$).
-
В аритметична прогресия $a_1 = 12$ и $a_6 = 37$. Намерете разликата $d$.
-
Ако разликата $d = -5$ и осемнадесетият член $a_{18} = -78$, намерете първия член ($a_1$).
-
Намерете сбора на първите 12 члена на аритметична прогресия, където $a_1 = 2$ и $d = 5$.
-
Дадена е аритметична прогресия с $a_1 = 7$ и $a_{15} = 53$. Намерете сбора на първите 15 члена ($S_{15}$).
-
Намерете сбора на първите 20 естествени числа, които са четни (2, 4, 6, …).
-
Намерете $x$, ако числата $4, x, 16$ образуват последователни членове на аритметична прогресия.
-
Член на прогресия е $a_n = 100$. Ако $a_1 = 10$ и $d = 6$, намерете поредния номер $n$ на този член.
-
Дадени са петият член $a_5 = 17$ и десетият член $a_{10} = 32$ на аритметична прогресия. Намерете първия член $a_1$ и разликата $d$.
-
Намерете сбора на всички двуцифрени числа, които при деление на 3 дават остатък 1 (т.е., 10, 13, 16, …, 97).
-
В аритметична прогресия $a_1 = 1$ и $d = 3$. Намерете броя на членовете $n$, ако сборът им е $S_n = 56$.
-
Сборът на първите четири члена на аритметична прогресия е $S_4 = 14$, а четвъртият член е $a_4 = 8$. Намерете първия член $a_1$ и разликата $d$.
-
В аритметична прогресия $a_3 + a_7 = 30$ и $a_5 = 18$. Намерете първия член $a_1$ и разликата $d$.
-
Турист изминава 10 km през първия час от прехода си. През всеки следващ час изминава с 0.5 km по-малко от предишния. Колко километра общо е изминал туристът за 6 часа?
-
Дадени са $S_n = 4n^2 – 3n$. Намерете $n$-тия член $a_n$ на прогресията. (Подсказка: $a_n = S_n – S_{n-1}$)
-
Колко члена на аритметичната прогресия $18, 15, 12, \dots$ трябва да се сумират, за да бъде сборът им равен на 45? (Обърнете внимание, че може да има две решения.)
-
Дадена е прогресия $a_1 = -5$ и $d = 3$. Намерете първия член $a_n$, който е по-голям от 100.
-
Докажете, че ако три числа $a, b, c$ образуват аритметична прогресия, то и числата $\frac{1}{bc}, \frac{1}{ac}, \frac{1}{ab}$ също образуват аритметична прогресия.
Предизвикателни задачи
-
Намерете трите числа, които образуват аритметична прогресия, ако сборът им е 21, а произведението им е 231.
-
Дадена е аритметична прогресия $a_1, a_2, \dots$. Ако е известно, че $a_2 \cdot a_3 = a_1 \cdot a_5$, намерете разликата $d$ на прогресията.
-
Сборът на първите $p$ члена е $S_p$, а сборът на първите $q$ члена е $S_q$. Ако $S_p = q$ и $S_q = p$ (където $p \ne q$), докажете, че сборът на първите $p+q$ члена ($S_{p+q}$) е равен на $-(p+q)$.
- Ако $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ е аритметична прогресия с ненулеви членове, докажете, че:
$$\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \frac{1}{a_3 a_4} + \frac{1}{a_4 a_5} = \frac{4}{a_1 a_5}$$
-
Сборът на първите $n$ члена на една аритметична прогресия е $S_n = 5n^2 + 7n$. Намерете общия член $a_n$ и разликата $d$ на прогресията.
-
Ако $a^2, b^2, c^2$ образуват аритметична прогресия, докажете, че числата $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}$ също образуват аритметична прогресия.
-
Намерете най-малкия брой членове $n$ на аритметичната прогресия $25, 22, 19, \dots$, чийто сбор ($S_n$) е отрицателно число.
-
Дадени са две аритметични прогресии: $A$: $2, 5, 8, 11, \dots$ и $B$: $3, 8, 13, 18, \dots$. Намерете десетия общ член на двете прогресии.
-
Отношението на сборовете на първите $n$ члена на две аритметични прогресии е $\frac{S_n}{S’_n} = \frac{7n+1}{4n+27}$. Намерете отношението на техните девети членове ($\frac{a_9}{a’_9}$).
-
Дадена е аритметична прогресия $a_1 = 100, d = -4$. Намерете най-големия възможен сбор $S_n$ на членовете на тази прогресия.
Част 2: Геометрични и логически приложения
-
Дължините на страните на правоъгълен триъгълник образуват аритметична прогресия. Ако периметърът на триъгълника е $P=36$, намерете дължините на страните.
-
Една отсечка с дължина 117 cm е разделена на 13 части, чиито дължини образуват аритметична прогресия. Намерете дължината на най-късата част, ако най-дългата е 15 cm.
-
Намерете всички корени на полинома $P(x) = x^3 – 9x^2 + 23x – 15$, ако е известно, че корените образуват аритметична прогресия.
-
В аритметична прогресия $a_1 = 20$ и $d = -3$. Намерете броя на членовете $n$, които удовлетворяват условието $a_n \ge -10$.
-
Между числата 12 и 60 са поставени $k$ числа, така че заедно с дадените, те образуват аритметична прогресия. Ако сборът на всички $k+2$ числа е 360, намерете броя $k$ на вмъкнатите числа.
-
Аритметична прогресия има 20 члена. Сборът на членовете с нечетни индекси ($a_1, a_3, \dots, a_{19}$) е 420, а сборът на членовете с четни индекси ($a_2, a_4, \dots, a_{20}$) е 480. Намерете първия член $a_1$ и разликата $d$.
-
Едно семейство спестява пари. През първия месец спестяват 100 лв., а през всеки следващ месец – с $d$ лева повече от предишния. На 10-ия месец те установяват, че общата сума е точно 10 пъти по-голяма от сумата, която са спестили през петия месец. Намерете разликата $d$ и общата сума след 12 месеца.
-
Три числа $x, y, z$ образуват аритметична прогресия с разлика $d=2$. Ако числата $x, 3y, 5z$ образуват нова аритметична прогресия, намерете стойностите на $x, y, z$.
-
В аритметична прогресия $a_1 = 5$ и $d = -2$. Намерете $n$, за което сборът $|a_1| + |a_2| + \dots + |a_n|$ е най-малък.
-
Ако $a, b, c$ образуват геометрична прогресия, докажете, че числата $\ln a, \ln b, \ln c$ образуват аритметична прогресия.
© София-Мат ЕООД
