Изпитът по математика за 7. клас е разделен на две части, които съдържат общо 23 задачи. Резултатите са в точки (максимум 100). Тези точки образуват „бала“ за кандидатстване в добри училища и паралелки.
Имате 60 минути за предаване на първа част. 1 - 18 задача от част 1 дават по три точки.
ЧАСТ 1:
Задачи с избираем отговор
1. Решете уравнението: $3(x+9)-17=10$
А) $x = 10$;
Б) $x = 0$;
В) $x = -3$;
Г) $x = 1$
2. Изразът $49-x^2$ е тъждествено равен на:
А) $(x+7)(x-7)$;
Б) $(7+x)(7+x)$;
В) $(7+x)(7-x)$;
Г) $(7-x)(7-x)$
3. Кое от посочените числа има най-голяма стойност?
А) $(-2)^2$;
Б) $(-2)^3$;
В) $-2^2$;
Г) $-(-2)^2$
4. Сборът от корените на уравнението $|x-6|-7=-4$ е:
А) 3;
Б) 6;
В) 9;
Г) 12
5. Степента на многочлена $A=(3x^2-1)^2-9x^2(x^2+1)+6x^2$ в нормален вид е:
А) 4;
Б) 3;
В) 2;
Г) 1
6. Стойността на израза $B=3(x-1)^2-3x^2$ за $x=-2$ е:
А) 18;
Б) 12;
В) 21;
Г) 15
7. Намерете корена на уравнението: $5(x+3)=7x-9$
А) $x = 3$;
Б) $x = 12$;
В) $x = -12$;
Г) $x = 0$
8. Изразът $8a^3-27b^6$ е тъждествено равен на:
А) $(2a-3b^2)(4a^2+6ab^2+9b^4)$;
Б) $(2a-3b^2)(4a^2-6ab^2+9b^4)$;
В) $(2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2)$;
Г) $(2a+3b^2)(4a^2-6ab^2+9b^4)$
9. Ако 20% от числото $x$ е равно на 40, то 30% от същото число $x$ е:
А) 50;
Б) 60;
В) 80;
Г) 120
10. Намерете корена на уравнението: $(x+2)(x-9)=x(5+x)$
А) $x = -1,5$;
Б) $x = 1,5$;
В) $x = -12$;
Г) $x = 18$
11. Изразът $(2x+3)^2-(x-1)^2$ е тъждествено равен на:
А) $(x+2)(3x+4)$;
Б) $(x+4)(3x+2)$;
В) $(x-2)(3x-4)$;
Г) $(3x+2)^2$
12. Стойността на израза $\frac{3^5+3^5+3^5}{3^4}$ е:
А) 3;
Б) 9;
В) 27;
Г) 81
13. Решете уравнението: $\frac{x+25}{9}=\frac{x}{6}$
А) $x = 25$;
Б) $x = 50$;
В) $x = 75$;
Г) $x = 100$
14. Нормалният вид на многочлена $A=5(x-1)^2-x(5x+2)+7$ е:
А) $-12x+12$;
Б) $2x+12$;
В) $5x^2-12x+12$;
Г) $-12x+2$
15. Числото 0,00007, записано в стандартен вид $7 \cdot 10^n$, има показател $n$ равен на:
А) 5;
Б) -4;
В) -5;
Г) -6
16. За коя стойност на параметъра $p$ уравнението $(5-p)x=p+2$ има корен 2,5?
А) $p = 1$;
Б) $p = 2$;
В) $p = 3$;
Г) $p = 5$
17. Намерете корена на уравнението: $(y+8)^2-(y+7)^2=0$
А) $y=-7,5$;
Б) $y=7,5$;
В) $y=0$;
Г) $y=-15$
18. Реципрочното число на стойността на израза $1-\frac{3}{5}$ е:
А) $\frac{2}{5}$;
Б) $\frac{5}{2}$;
В) $-\frac{2}{5}$;
Г) $1\frac{2}{5}$
Задачи със свободен отговор
19. (6 точки) В координатна система са дадени точките $A(-2; -1)$, $B(6; -1)$, $C(3; 3)$ и $D(0; 3)$. Лицето на четириъгълника $ABCD$ е:
20. (5 точки) Парцел земя е начертан на карта в мащаб 1:500. Ако на картата парцелът е правоъгълник със страни 8 см и 12 см, колко квадратни метра е реалната площ на парцела?
Имате 90 минути за предаване на втора част. На НВО-то е нужно да покажете подробното решение на тези задачи. Но в нашата форма напишете само отговорите!
ЧАСТ 2: Задачи с подробно решение
Задача 21 (15 точки):
а) В 9:00 часа от град $A$ към град $B$ потегля автобус със скорост $x$ km/h. В 9:20 часа от град $B$ към град $A$ потегля лека кола, чиято скорост е с 15 km/h по-голяма от тази на автобуса. В 11:00 часа те се срещат в средата на пътя. Намерете скоростта на автобуса и разстоянието между двата града.
б) В координатна система е избрана единична отсечка с дължина $1$ см. Постройте точките $A(-3; -1)$, $B(5; -1)$, $C(7; 4)$ и $D(-1; 4)$. Свържете точките последователно. Намерете вида на фигурата ABCD. Сметнете лицето $S$ на ABCD.
в) В предишната координатна система е дадена точка $M(1; 1)$. Постройте $\triangle AMD$. Каква част (в проценти) е лицето на AMD от лицето на цялата фигура $ABCD$?
Задача 22 (10 точки): Намерете за коя стойност на променливата $x$ многочленът приема своята най-малка или най-голяма стойност и колко е тя:
а) $x^2 + 6x + 10$
б) $4x^2 - 4x - 3$
в) $10x - x^2 - 20$
Задача 23 (10 точки): Решете уравнението $3ax - 7 = 2a + x + 5$, в което $a$ е параметър. За коя стойност на параметъра $a$ даденото уравнение:
а) има за корен числото $4$;
б) е еквивалентно на уравнението $|2x - (x + 3)| = 0$?