Коледно НВО – 7 – 2025

Изпитът по математика за 7. клас е разделен на две части, които съдържат общо 23 задачи. Резултатите са в точки (максимум 100). Тези точки образуват „бала“ за кандидатстване в добри училища и паралелки.

Имате 60 минути за предаване на първа част. 1 - 18 задача от част 1 дават по три точки.

ЧАСТ 1:

Задачи с избираем отговор

1. Решете уравнението: $3(x+9)-17=10$

А) $x = 10$;

Б) $x = 0$;

В) $x = -3$;

Г) $x = 1$

2. Изразът $49-x^2$ е тъждествено равен на:

А) $(x+7)(x-7)$;

Б) $(7+x)(7+x)$;

В) $(7+x)(7-x)$;

Г) $(7-x)(7-x)$

3. Кое от посочените числа има най-голяма стойност?

А) $(-2)^2$;

Б) $(-2)^3$;

В) $-2^2$;

Г) $-(-2)^2$

4. Сборът от корените на уравнението $|x-6|-7=-4$ е:

А) 3;

Б) 6;

В) 9;

Г) 12

5. Степента на многочлена $A=(3x^2-1)^2-9x^2(x^2+1)+6x^2$ в нормален вид е:

А) 4;

Б) 3;

В) 2;

Г) 1

6. Стойността на израза $B=3(x-1)^2-3x^2$ за $x=-2$ е:

А) 18;

Б) 12;

В) 21;

Г) 15

7. Намерете корена на уравнението: $5(x+3)=7x-9$

А) $x = 3$;

Б) $x = 12$;

В) $x = -12$;

Г) $x = 0$

8. Изразът $8a^3-27b^6$ е тъждествено равен на:

А) $(2a-3b^2)(4a^2+6ab^2+9b^4)$;

Б) $(2a-3b^2)(4a^2-6ab^2+9b^4)$;

В) $(2a-3b)(4a^2+6ab+9b^2)$;

Г) $(2a+3b^2)(4a^2-6ab^2+9b^4)$

9. Ако 20% от числото $x$ е равно на 40, то 30% от същото число $x$ е:

А) 50;

Б) 60;

В) 80;

Г) 120

10. Намерете корена на уравнението: $(x+2)(x-9)=x(5+x)$

А) $x = -1,5$;

Б) $x = 1,5$;

В) $x = -12$;

Г) $x = 18$

11. Изразът $(2x+3)^2-(x-1)^2$ е тъждествено равен на:

А) $(x+2)(3x+4)$;

Б) $(x+4)(3x+2)$;

В) $(x-2)(3x-4)$;

Г) $(3x+2)^2$

12. Стойността на израза $\frac{3^5+3^5+3^5}{3^4}$ е:

А) 3;

Б) 9;

В) 27;

Г) 81

13. Решете уравнението: $\frac{x+25}{9}=\frac{x}{6}$

А) $x = 25$;

Б) $x = 50$;

В) $x = 75$;

Г) $x = 100$

14. Нормалният вид на многочлена $A=5(x-1)^2-x(5x+2)+7$ е:

А) $-12x+12$;

Б) $2x+12$;

В) $5x^2-12x+12$;

Г) $-12x+2$

15. Числото 0,00007, записано в стандартен вид $7 \cdot 10^n$, има показател $n$ равен на:

А) 5;

Б) -4;

В) -5;

Г) -6

16. За коя стойност на параметъра $p$ уравнението $(5-p)x=p+2$ има корен 2,5?

А) $p = 1$;

Б) $p = 2$;

В) $p = 3$;

Г) $p = 5$

17. Намерете корена на уравнението: $(y+8)^2-(y+7)^2=0$

А) $y=-7,5$;

Б) $y=7,5$;

В) $y=0$;

Г) $y=-15$

18. Реципрочното число на стойността на израза $1-\frac{3}{5}$ е:

А) $\frac{2}{5}$;

Б) $\frac{5}{2}$;

В) $-\frac{2}{5}$;

Г) $1\frac{2}{5}$

Задачи със свободен отговор

19. (6 точки) В координатна система са дадени точките $A(-2; -1)$, $B(6; -1)$, $C(3; 3)$ и $D(0; 3)$. Лицето на четириъгълника $ABCD$ е:

20. (5 точки) Парцел земя е начертан на карта в мащаб 1:500. Ако на картата парцелът е правоъгълник със страни 8 см и 12 см, колко квадратни метра е реалната площ на парцела?

Имате 90 минути за предаване на втора част. На НВО-то е нужно да покажете подробното решение на тези задачи. Но в нашата форма напишете само отговорите!

ЧАСТ 2: Задачи с подробно решение

Задача 21 (15 точки):

а) В 9:00 часа от град $A$ към град $B$ потегля автобус със скорост $x$ km/h. В 9:20 часа от град $B$ към град $A$ потегля лека кола, чиято скорост е с 15 km/h по-голяма от тази на автобуса. В 11:00 часа те се срещат в средата на пътя. Намерете скоростта на автобуса и разстоянието между двата града.

б) В координатна система е избрана единична отсечка с дължина $1$ см. Постройте точките $A(-3; -1)$, $B(5; -1)$, $C(7; 4)$ и $D(-1; 4)$. Свържете точките последователно. Намерете вида на фигурата ABCD. Сметнете лицето $S$ на ABCD.

в) В предишната координатна система е дадена точка $M(1; 1)$. Постройте $\triangle AMD$. Каква част (в проценти) е лицето на AMD от лицето на цялата фигура $ABCD$?

Задача 22 (10 точки): Намерете за коя стойност на променливата $x$ многочленът приема своята най-малка или най-голяма стойност и колко е тя:

а) $x^2 + 6x + 10$

б) $4x^2 - 4x - 3$

в) $10x - x^2 - 20$