Числови редици. Маратон от числа

1. Как да намерим броя на числата в редица?

Ако имаш редица, в която числата се увеличават с еднаква стъпка (например през 1, през 2 или през 5), можеш лесно да преброиш колко са те, без да ги изписваш всичките.

Формулата за брой:

• Първо: най-малкото число в редицата.

• Последно: най-голямото число.

• Стъпка: разликата между две съседни числа.

Пример: Колко са четните числа от 10 до 50?

• Първо = 10, Последно = 50, Стъпка = 2 (защото са четни).

• Брой $= \frac{(50 – 10)}{2} + 1 = \frac{40}{2} + 1 = 20 + 1 = 21$ числа.

2. Как да съберем числата в редица? (Методът на Гаус)

Легендата разказва, че великият математик Карл Фридрих Гаус решил тази задача още като дете. Той забелязал, че ако събереш първото и последното число, получаваш същия сбор, както ако събереш второто и предпоследното.

Формулата за сбор:

Примери за различни редици:

3. Решаване на задача стъпка по стъпка

Задача: Намери сбора на всички нечетни числа от 11 до 39 включително.

Стъпка 1: Намираме броя.

• Първо $= 11$, Последно $= 39$, Стъпка $= 2$ (нечетни са).

• Брой $= \frac{(39 – 11)}{2} + 1 = \frac{28}{2} + 1 = 14 + 1 = \mathbf{15}$ числа.

Стъпка 2: Намираме сбора.

• Сбор $= \frac{(11 + 39) \times 15}{2} = \frac{50 \times 15}{2} = 25 \times 15 = \mathbf{375}$.

Важни съвети за състезания:

1. Внимавай за думите „между“ и „от… до…“: * Ако е „от 10 до 20“, включваш и двете числа.

   • Ако е „между 10 и 20“, не ги включваш (гледаш числата от 11 до 19).

2. Винаги първо намирай броя: Без него не можеш да приложиш формулата за сбор.

3. Проверка за четност: Ако търсиш сбор на четни числа, но редицата ти почва с нечетно (напр. от 7 до 20), първото ти число във формулата трябва да е 8!

Ниво 1: Основни

1. Колко са страниците на една книга, ако са номерирани от 1 до 45? А листата?

2. Колко са нечетните числа в редицата 1, 2, 3, …, 20?

3. Намери сбора на числата: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.

4. В една редица са написани четните числа от 2 до 20. Колко са те?

5. Колко числа има в редицата 10, 11, 12, …, 30?

6. Намери сбора на първите пет нечетни числа.

7. Колко пъти е използвана цифрата 1 в редицата от 1 до 10?

8. Кое е 10-ото число в редицата 5, 10, 15, 20…?

9. Намери сбора на 10 + 20 + 30 + 40 + 50.

10. Колко числа има между 15 и 25 (без да ги включваш)?

Ниво 2: Тренировъчни

1. Колко са двуцифрените числа, които завършват на 0?

2. Намери сбора на всички четни числа от 2 до 20 включително.

3. Колко са числата в редицата 7, 14, 21, …, 70?

4. Намери сбора на всички нечетни числа от 11 до 19.

5. Колко са естествените числа от 100 до 200?

6. В една алея има 15 дървета, засадени през 2 метра. Колко метра е разстоянието от първото до последното?

7. Кое е 20-ото число в редицата на нечетните числа (1, 3, 5…)?

8. Намери сбора: 5 + 10 + 15 + … + 50.

9. Колко са трицифрените числа, в които и трите цифри са еднакви?

10. Намери сбора на всички числа от 1 до 100, които завършват на 0.

Ниво 3: Майсторски

1. Колко са четните двуцифрени числа? Намери техния сбор.

2. Пресметни сбора на всички числа от 1 до 50.

3. Колко са числата в редицата 10, 13, 16, …, 100?

4. Намери 50-ото число в редицата 4, 8, 12, 16…

5. Сборът на три последователни естествени числа е 45. Кои са те?

6. Колко пъти се среща цифрата 5 в числата от 1 до 100?

7. Пресметни $(1+3+5+…+19) – (2+4+6+…+18)$.

8. Колко са нечетните трицифрени числа, по-малки от 200?

9. Намери сбора на всички числа от 10 до 40, които се делят на 3.

10. В редицата 1, 4, 7, 10… кое е първото число, което е по-голямо от 50?

Ниво 4: Предизвикателни

1. Намери сбора на всички двуцифрени числа, които имат сбор на цифрите равен на 5.

2. Пресметни сбора: $1 + 2 + 3 + … + 99 + 100 + 99 + … + 2 + 1$.

3. Колко са числата в редицата 105, 110, 115, …, 995?

4. Намери сбора на всички нечетни двуцифрени числа.

5. Редица е съставена така: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4… Кое число стои на 20-а позиция?

6. Сборът на 5 последователни четни числа е 100. Намери най-малкото от тях.

7. Колко е сборът на всички трицифрени числа, които се четат по един и същ начин отпред-назад и отзад-напред (палиндроми) и са между 100 и 200?

8. Намери стотното число в редицата 7, 11, 15, 19…

9. Колко е сборът на всички числа от 1 до 1000, които се делят на 100?

10. Ако запишем всички числа от 1 до 100 едно до друго (1234567891011…), коя цифра стои на 50-о място?

Ниво 5: Комбинирани

1. Страници: За номериране на страниците на една тетрадка са използвани 35 цифри. Колко страници има тетрадката?

2. Ограда: Около квадратно място със страна 10 метра трябва да се поставят колчета през 2 метра (включително в ъглите). Колко колчета са нужни?

3. Години: Сега Петър е на 10 години, а сестра му на 4. След колко години сборът от годините им ще бъде 40?

4. Геометрия: На една права са отбелязани 10 точки. Колко отсечки се образуват? (Жокер: приложи формулата за сбор).

5. Шах: В шахматен турнир участват 6 деца. Всяко играе срещу всяко по една партия. Колко общо партии са изиграни?

6. Цифри: Намери сбора на всички двуцифрени числа, записани само с цифрите 1, 2 и 3.

7. Време: Стенен часовник бие толкова пъти, колкото е часът (в 1 ч. – веднъж, в 5 ч. – 5 пъти). Колко пъти ще удари общо от 1 часа на обяд до полунощ включително?

8. Пари: Спас спестява пари в касичка: 1 лев първия ден, 2 лева втория, 3 лева третия и т.н. Колко лева ще има след 30 дни?

9. Логика: В една редица има 20 деца. Митко е 7-и отпред-назад. Кой по ред е той отзад-напред?

10. Стълби: Робот изкачва стълба, като скача през едно стъпало (1, 3, 5…). Ако последното стъпало, на което е стъпил, е 49-о, колко скока е направил?

11. Книги: Книга има 120 страници. Колко пъти е използвана цифрата 0 за номерирането ѝ?

12. Правоъгълници: Колко правоъгълника има на фигура, съставена от 5 квадратчета в редица?

13. Къщи: На една улица къщите с нечетни номера са от 1 до 31. Колко къщи има на тази страна на улицата?

14. Магически сбор: Имаш числата 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Можеш ли да ги разделиш на три групи с равен сбор? Колко е сборът на всяка група?

15. Финал: Намери сбора на всички четни трицифрени числа, чийто сбор на цифрите е 3.

© София-Мат ЕООД