Задачи от теория на числата – пети+ клас

Лесни задачи

1. Един плаж има 24 чадъра. Намерете всички начини, по които можете да ги разделите на равни групи (т.е., намерете всички делители на 24).
2. За приготвяне на лимонада са необходими 5 лимона за 1 литър. Колко лимона ще ви трябват за 8 литра? (т.е., намерете множител на 5).
3. Има ли 34 деца на плажа? Ако ги разделим по двойки за игра, ще остане ли някое дете само? Обяснете защо (делимост на 2).
4. В една кутия има 75 сладоледа. Могат ли да се раздадат по 5 сладоледа на всяко дете, без да остане нито един? Обяснете защо (делимост на 5).
5. Има 120 пясъчни кофички. Могат ли да се подредят в редици по 10 кофички? Обяснете защо (делимост на 10).
6. Трима приятели си разделили 39 раковини. Могат ли да си ги разделят по равно? Обяснете защо (делимост на 3).
7. Девет деца строят пясъчни кули. Общо са построили 909 кули. Могат ли да са построили по равен брой кули? Обяснете защо (делимост на 9).
8. Кое е най-малкото число банани, които могат да се разделят на групи от по 2? (т.е., най-малкото просто число).
9. Кое е най-голямото двуцифрено съставно число с цифра на десетиците 7?
10. Разложете броя на дните в две седмици (14) на произведение от прости множители.
11. Един басейн е дълъг 20 метра. Разложете 20 на произведение от прости множители.
12. Намерете най-големия брой слънчеви очила, които могат да бъдат раздадени поравно на 12 деца и на 9 деца. (НОД(6, 9)).
13. Намерете най-малкия брой водни топки, които могат да бъдат разпределени поравно в кошници по 4 или по 6. (НОК(4, 6)).
14. Напишете три броя на сладоледи, които могат да се разделят поравно на групи от 2 или 5.
15. Напишете три броя на пясъчни замъци, които могат да бъдат построени и разделени поравно на групи от 3 или 9.

Средно трудни задачи

1. Намерете всички общи бройки на къщички за птици, които могат да се поставят на 30 дървета и на 45 дървета.
2. Намерете всички общи бройки на плажни кърпи, които могат да се събират в чували по 7 или по 11, ако общият брой кърпи е под 100.
3. Един турист е изминал 237 км през лятото. Делят ли се тези километри поравно на 3? Обосновете отговора си.
4. Едно село има 1233 къщи. Делят ли се тези къщи поравно на 9? Обосновете отговора си.
5. Кои от броя на морски звезди: 19, 23, 29, 31, 35, 37 са прости числа?
6. Кои от броя на рибите: 42, 47, 51, 53, 55, 59 са съставни числа?
7. Разложете броя на минутите в 1 час и 12 минути (72) на произведение от прости множители.
8. Разложете броя на секундите в 1 минута и 40 секунди (100) на произведение от прости множители.
9. Намерете НОД на 42 топки за плажен волейбол и 70 кърпи за плаж.
10. Намерете НОК на 15 бутилки вода и 25 сандвича.
11. Намерете всички двуцифрени числа, които представляват брой на лодки и могат да се делят поравно на 10.
12. Намерете всички трицифрени числа, които са брой на летни шапки и могат да се делят поравно на 2 и на 3.
13. Една градина е с размери 5,5 метра на 8 метра. Искаме да я оградим с еднакви по дължина оградни пана, без да ги режем. Колко най-дълги могат да бъдат паната? (Отговорът трябва да бъде цяло число метри.)
14. Трима водолази се гмуркат. Първият изплува на всеки 2 часа, вторият на всеки 3 часа и третият на всеки 4 часа. След колко часа ще изплуват отново едновременно на повърхността, ако започнат едновременно?
15. Разложете броя на часовете в 5 дни (120) на произведение от прости множители.
16. Кое е най-малкото естествено число, което има точно три броя на слънчеви изгаряния (делители)?
17. Кое е най-голямото двуцифрено число, което е броят на сладоледите, които могат да се делят на 5, но не се делят на 10?
18. Имате 28 буркана с конфитюр от ягоди и 42 буркана с конфитюр от череши. Искате да ги разделите на еднакви пакети, като всеки пакет съдържа само един вид конфитюр. Колко най-много буркана може да има във всеки пакет?
19. Един брой на палатки е по-голям от 60 и по-малък от 70. Той се дели на 3 и на 5. Кой е този брой?
20. Намерете НОД на 105 дини и 140 пъпеша.

Трудни задачи

1. Намерете всички естествени числа $n$, за които 21 е множител на $7n$ (т.е., броят на дните за лятна ваканция).
2. Намерете най-малкия брой къщички за птици $x$, който при деление на 4, 5 и 6 дава остатък 3.
3. Разложете броя на минутите в един ден (1440) на произведение от прости множители.
4. Намерете НОД на 240, 360 и 480 (броя на плажните топки, кърпи и шапки).
5. Намерете НОК на 15, 20 и 30 (броя на лодките, велосипедите и тротинетките под наем).
6. Ако НОД(a, b) = 12 и a * b = 1728, намерете НОК(a, b).
7. Намерете най-малкия брой пясъчни кули, които могат да бъдат построени и да се делят поравно на 2, 3, 4, 5 и 6.
8. Колко прости числа има между 50 и 100? Избройте ги.
9. Намерете най-малкото естествено число, което има точно 8 делителя (напр. 8 вида летни плодове).
10. Двама плувци плуват в басейн. Единият прави обиколка за 40 секунди, другият за 50 секунди. Колко завъртания трябва да направи по-бавният плувец, за да се срещнат отново на старта?
11. Едно число, представляващо брой на морски кончета, завършва на 0 и се дели на 9. Намерете най-малкото такова трицифрено число.
12. Намерете всички двойки прости числа, чиято сума е 40 (например брой на водни лилии).
13. Имате 168 червени череши и 192 черни череши. Искате да ги разделите на еднакви пакетчета, като всяко пакетче съдържа само един вид череши и броят на черешите във всяко пакетче е най-голям възможен. Колко пакетчета ще се получат?
14. Намерете най-малкото естествено число, което се дели на 4, 6 и 8, но не се дели на 7 (напр. брой на летни бунгала).
15. Докажете, че произведението на три последователни естествени числа винаги се дели на 6.