Стереометрия. Взаимно положение на точки, прави и равнини

Точка и Права

• Точката лежи на правата (принадлежи на правата).
• Точката не лежи на правата (не принадлежи на правата).

Точка и Равнина

• Точката лежи в равнината (принадлежи на равнината, $\text{A} \in \alpha$).
• Точката не лежи в равнината ($\text{A} \notin \alpha$).

Основна аксиома: През всеки три точки, нележащи на една права, минава точно една равнина.

Права и Равнина ($\text{a}$ и $\alpha$)

• Правата лежи в равнината ($\text{a} \subset \alpha$) – когато имат поне две общи точки. Всяка точка от правата е и точка от равнината.
• Правата пробожда (пресича) равнината – когато имат точно една обща точка ($\text{a} \cap \alpha = \{\text{A}\}$). Точката $\text{A}$ се нарича пробод.
• Правата е успоредна на равнината ($\text{a} \parallel \alpha$) – когато нямат обща точка ($\text{a} \cap \alpha = \emptyset$).

Две Прави ($\text{a}$ и $\text{b}$)

Лежат в една равнина (копланарни):

• Пресичащи се – имат една обща точка.
• Успоредни – нямат обща точка ($\text{a} \cap \text{b} = \emptyset$).

Не лежат в една равнина (некопланарни):

• Кръстосани – нямат обща точка и не лежат в една равнина.

Две Равнини ($\alpha$ и $\beta$)

• Съвпадат ($\alpha = \beta$) – когато имат три общи точки, нележащи на една права.
• Пресичат се ($\alpha \cap \beta = \text{c}$) – когато имат обща права $\text{c}$, наречена пресечница.
• Успоредни ($\alpha \parallel \beta$) – когато нямат обща точка ($\alpha \cap \beta = \emptyset$).

Успоредност в Пространството

Права и Равнина ($\text{a} \parallel \alpha$)

Определение: Права и равнина са успоредни, ако нямат обща точка.

Признак за успоредност на права и равнина:

Ако права $\text{a}$, която не лежи в равнината $\alpha$, е успоредна на някоя права $\text{b}$ от равнината $\alpha$, то правата $\text{a}$ е успоредна на равнината $\alpha$.

Свойства:

Ако $\text{a} \parallel \alpha$, то всяка равнина $\beta$, която съдържа правата $\text{a}$ и пресича равнината $\alpha$, я пресича в права $\text{c}$, успоредна на $\text{a}$.

Разстоянието между успоредна права и равнина е разстоянието от коя да е точка от правата до равнината.

Две Равнини ($\alpha \parallel \beta$)

Определение: Две равнини са успоредни, ако нямат обща точка.

Признак за успоредност на две равнини:

Ако две пресичащи се прави $\text{a}$ и $\text{b}$ от едната равнина $\alpha$ са съответно успоредни на две прави $\text{a}’$ и $\text{b}’$ от другата равнина $\beta$, то двете равнини са успоредни.

Свойства:

Ако две успоредни равнини $\alpha$ и $\beta$ се пресичат от трета равнина $\gamma$, то пресечниците $\text{c}$ и $\text{d}$ са успоредни прави.

Ако две равнини са успоредни, разстоянието между тях е постоянно.

Примерни задачи

Задача 1: Взаимно положение на прави (Кръстосани прави)

Даден е куб $\text{ABCDA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$. Определете взаимното положение на следните двойки прави:

1. Правата $\text{AB}$ и правата $\text{DC}$.
2. Правата $\text{AB}$ и правата $\text{B}_1\text{C}_1$.
3. Правата $\text{AD}$ и правата $\text{B}_1\text{C}$.
4. Правата $\text{AA}_1$ и правата $\text{BC}$.

Решение:

$\text{AB}$ и $\text{DC}$ лежат в една равнина ($\text{ABCD}$) и са успоредни (противоположни страни на квадрат).

$\text{AB}$ и $\text{B}_1\text{C}_1$ :

$\text{AB}$ лежи в равнината $\text{ABCD}$. $\text{B}_1\text{C}_1$ лежи в равнината $\text{BCC}_1\text{B}_1$. Тези прави нямат обща точка.

Тъй като $\text{AB}$ е успоредна на $\text{A}_1\text{B}_1$ (ръбове на квадрат), а $\text{A}_1\text{B}_1$ и $\text{B}_1\text{C}_1$ се пресичат в $\text{B}_1$, правите $\text{AB}$ и $\text{B}_1\text{C}_1$ са кръстосани.

$\text{AD}$ и $\text{B}_1\text{C}$ нямат обща точка. $\text{AD}$ лежи в равнината $\text{ADD}_1\text{A}_1$. $\text{B}_1\text{C}$ е диагонал в стената $\text{BCC}_1\text{B}_1$. Тези прави не лежат в една равнина, следователно са кръстосани.

$\text{AA}_1$ и $\text{BC}$ нямат обща точка. $\text{AA}_1$ лежи в равнината $\text{A}_1\text{ADD}_1$. $\text{BC}$ лежи в равнината $\text{ABCD}$. Тъй като $\text{AA}_1 \parallel \text{BB}_1$, а $\text{BB}_1$ пресича $\text{BC}$ в точка $\text{B}$, $\text{AA}_1$ и $\text{BC}$ са кръстосани.

Задача 2: Признак за успоредност на права и равнина

Дадена е триъгълна пирамида $\text{ABCD}$ с основа $\text{ABC}$. Точки $\text{M}$ и $\text{N}$ са среди съответно на ръбовете $\text{AD}$ и $\text{BD}$. Докажете, че правата $\text{MN}$ е успоредна на равнината на основата $(\text{ABC})$.

Решение:

Разглеждаме триъгълника $\text{ABD}$.

Точка $\text{M}$ е среда на $\text{AD}$. Точка $\text{N}$ е среда на $\text{BD}$.

От теоремата за средна отсечка в триъгълник следва, че отсечката $\text{MN}$ е успоредна на третата страна $\text{AB}$ и $\text{MN} = \frac{1}{2}\text{AB}$. Следователно правата $\text{MN}$ е успоредна на правата $\text{AB}$ ($\text{MN} \parallel \text{AB}$).

Правата $\text{AB}$ лежи в равнината на основата $(\text{ABC})$.

Правата $\text{MN}$ не лежи в равнината $(\text{ABC})$ (само точка $\text{N}$ може да лежи, ако $\text{D} \in (\text{ABC})$, но тогава нямаме пирамида).

По признака за успоредност на права и равнина: щом правата $\text{MN}$ е успоредна на права $\text{AB}$, която лежи в равнината $(\text{ABC})$, то правата $\text{MN}$ е успоредна на равнината $(\text{ABC})$ ($\text{MN} \parallel (\text{ABC})$).

Задача 3: признак за успоредност на две равнини

Даден е успоредник $\text{ABCD}$. Точка $\text{M}$ е външна за равнината на успоредника. Точки $\text{P}, \text{Q}, \text{R}$ са среди съответно на отсечките $\text{MA}, \text{MB}, \text{MC}$. Докажете, че равнината $(\text{PQR})$ е успоредна на равнината $(\text{ABC})$.

Решение:

Трябва да докажем, че две пресичащи се прави от $(\text{PQR})$ са успоредни на две пресичащи се прави от $(\text{ABC})$. Избираме правите $\text{PQ}$ и $\text{QR}$.

Разглеждаме $\triangle \text{MAB}$: $\text{P}$ е среда на $\text{MA}$, $\text{Q}$ е среда на $\text{MB}$.

$\text{PQ}$ е средна отсечка $\Rightarrow \mathbf{\text{PQ} \parallel \text{AB}}$.

Разглеждаме $\triangle \text{MBC}$: $\text{Q}$ е среда на $\text{MB}$, $\text{R}$ е среда на $\text{MC}$.

$\text{QR}$ е средна отсечка $\Rightarrow \mathbf{\text{QR} \parallel \text{BC}}$.

Правите $\text{PQ}$ и $\text{QR}$ се пресичат в точка $\text{Q}$ и лежат в равнината $(\text{PQR})$.

Правите $\text{AB}$ и $\text{BC}$ се пресичат в точка $\text{B}$ и лежат в равнината $(\text{ABC})$.

Тъй като $\text{PQ} \parallel \text{AB}$ и $\text{QR} \parallel \text{BC}$, то по признака за успоредност на две равнини следва, че равнината $(\text{PQR})$ е успоредна на равнината $(\text{ABC})$ ($(\text{PQR}) \parallel (\text{ABC})$).

Основни задачи

1. В даден куб $\text{ABCDA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$, определете взаимното положение на правата $\text{AD}_1$ и правата $\text{B}_1\text{C}$.
2. Дадена е правилна шестоъгълна призма $\text{ABCDEFA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1\text{E}_1\text{F}_1$. Определете взаимното положение на правата $\text{AD}_1$ и правата $\text{B}_1\text{E}$. Има ли права, която е успоредна на едната и пресича другата?
3. Дадени са права $\text{a}$ и равнина $\alpha$. Точки $\text{A}$ и $\text{B}$ от правата $\text{a}$ са в равнината $\alpha$. Какво е взаимното положение на $\text{a}$ и $\alpha$?
4. В правилна четириъгълна пирамида $\text{ABCDM}$ ($\text{M}$ е върхът), $\text{P}$ е среда на ръба $\text{MC}$, а $\text{Q}$ е точка върху диагонала $\text{AC}$, така че $\text{AQ} : \text{QC} = 2:1$. Определете взаимното положение на правата $\text{PQ}$ и равнината на основата $(\text{ABCD})$.
5. В триъгълна пирамида $\text{ABCD}$, намерете пробода на правата $\text{AD}$ с равнината $(\text{ABC})$
6. Даден е тетраедър $\text{ABCD}$. Точка $\text{M}$ лежи на ръба $\text{AD}$, а $\text{N}$ лежи на ръба $\text{BC}$. Правата $\text{MN}$ пресича равнината $(\text{ABC})$ в точка $\text{P}$. Докажете, че точките $\text{C}, \text{N}, \text{P}$ са коллинеарни (лежат на една права) и че точка $\text{P}$ лежи на правата $\text{AC}$.
7. Докажете, че отсечката, свързваща средите на два странични ръба на пирамида, е успоредна на равнината на основата.
8. Дадена е триъгълна пирамида $\text{ABCD}$. Точки $\text{M}$ и $\text{N}$ са среди съответно на медианите $\text{CE}$ и $\text{BF}$ в триъгълниците $\text{ACD}$ и $\text{ABD}$ (където $\text{E}$ е среда на $\text{AD}$ и $\text{F}$ е среда на $\text{AD}$). Докажете, че правата $\text{MN}$ е успоредна на равнината $(\text{BCD})$
9. Докажете, че равнината, минаваща през средите на три странични ръба на триъгълна пирамида, е успоредна на равнината на основата.
10. Дадена е права триъгълна призма $\text{ABCA}_1\text{B}_1\text{C}_1$. Точки $\text{M}, \text{N}, \text{P}$ са среди съответно на ръбовете $\text{A}_1\text{B}_1, \text{B}_1\text{C}, \text{C}_1\text{C}$. Докажете, че равнината $(\text{MNP})$ е успоредна на равнината $(\text{A}_1\text{AC})$.
11. Колко различни равнини се определят от върховете на четириъгълна пирамида $\text{ABCDM}$ (където $\text{ABCD}$ е равнина)?
12. В пространството са дадени 5 точки, никои три от които не лежат на една права. Намерете максималния брой равнини, които се определят от тези точки.
13. Дадена е права $\text{a} \parallel \alpha$. Равнина $\beta$ съдържа $\text{a}$ и пресича $\alpha$ в права $\text{c}$. Ако $\text{a}$ и $\text{c}$ не бяха успоредни, какво би било взаимното им положение?
14. Дадена е права $\text{a}$, успоредна на равнината $\alpha$. Равнини $\beta$ и $\gamma$ минават през правата $\text{a}$ и пресичат $\alpha$ в прави $\text{b}$ и $\text{c}$. Докажете, че правата $\text{b}$ е успоредна на правата $\text{c}$
15. Две успоредни равнини $\alpha$ и $\beta$ са пресечени от равнина $\gamma$. Пресечниците са прави $\text{c}$ и $\text{d}$. Ако права $\text{m}$ пресича $\text{c}$, може ли $\text{m}$ да пресича $\text{d}$?
16. Две успоредни равнини $\alpha$ и $\beta$ са пресечени от две пресичащи се прави $\text{p}$ и $\text{q}$. Правата $\text{p}$ пресича $\alpha$ и $\beta$ в $\text{A}$ и $\text{A}_1$, а правата $\text{q}$ пресича $\alpha$ и $\beta$ в $\text{B}$ и $\text{B}_1$. Докажете, че четириъгълникът $\text{ABB}_1\text{A}_1$ е успоредник.
17. В куб $\text{ABCDA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$, намерете пресечницата на равнината на основата $(\text{ABCD})$ и равнината на предната стена $(\text{ABB}_1\text{A}_1)$.
18. Дадена е четириъгълна пирамида $\text{ABCDM}$. Точка $\text{P}$ е среда на $\text{AM}$, а $\text{Q}$ е среда на $\text{CM}$. Намерете пресечницата на равнината $(\text{PBD})$ и равнината $(\text{BQD})$
19. Даден е тетраедър $\text{ABCD}$. Докажете, че върховете $\text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D}$ са некопланарни.
20. В успоредник $\text{ABCD}$ точка $\text{M}$ е външна за равнината му. $\text{P}$ е среда на $\text{MA}$, $\text{Q}$ е среда на $\text{MB}$, $\text{R}$ е среда на $\text{MC}$, $\text{S}$ е среда на $\text{MD}$. Докажете, че четирите точки $\text{P}, \text{Q}, \text{R}, \text{S}$ са копланарни (лежат в една равнина) и че четириъгълникът $\text{PQRS}$ е успоредник.

Разширени задачи

1. Среда на отсечка в пирамида (Успоредност на права и равнина)

Дадена е четириъгълна пирамида $\text{SABCD}$, чиято основа $\text{ABCD}$ е успоредник. Точки $\text{M}$ и $\text{N}$ са средите съответно на ръбовете $\text{SB}$ и $\text{SD}$. Докажете, че правата $\text{MN}$ е успоредна на равнината на основата $(\text{ABCD})$.

2. Средна отсечка и сечение на куб (Успоредност на две равнини)

Даден е куб $\text{ABCDA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$. Точки $\text{P}, \text{Q}, \text{R}$ са средите съответно на ръбовете $\text{AA}_1, \text{AB}, \text{AD}$. Докажете, че равнината $(\text{PQR})$ е успоредна на равнината $(\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1)$.

3. Пресечница на равнини (Свойство на успоредните прави)

Дадени са две успоредни равнини $\alpha$ и $\beta$. Права $\text{a}$ пресича $\alpha$ в точка $\text{A}$ и $\beta$ в точка $\text{B}$. Права $\text{b}$ пресича $\alpha$ в точка $\text{C}$ и $\beta$ в точка $\text{D}$. Докажете, че ако правите $\text{a}$ и $\text{b}$ лежат в една равнина, то отсечките $\text{AC}$ и $\text{BD}$ са успоредни и равни.

4. Кръстосани прави в призма (Разпознаване на взаимно положение)

Дадена е правилна триъгълна призма $\text{ABCA}_1\text{B}_1\text{C}_1$.

1. Определете взаимното положение на правата $\text{AB}_1$ и правата $\text{BC}$.

2. Определете взаимното положение на правата $\text{AB}_1$ и правата $\text{A}_1\text{C}_1$.(Отговор: $\text{AB}_1$ и $\text{BC}$ са кръстосани; $\text{AB}_1$ и $\text{A}_1\text{C}_1$ са кръстосани).

5. Условие за пресичане на права и равнина (Конструктивна задача)

Дадена е равнина $\alpha$ и права $\text{a}$. Какво е необходимото и достатъчно условие, за да се пресичат $\text{a}$ и $\alpha$?

6. Успоредни равнини в паралелепипед (Доказателство)

Даден е правоъгълен паралелепипед $\text{ABCDA}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1$. Докажете, че равнината, минаваща през ръбовете $\text{A}_1\text{B}_1$ и $\text{D}_1\text{C}_1$ (която съвпада с равнината $(\text{A}_1\text{B}_1\text{C}_1\text{D}_1)$), е успоредна на равнината, минаваща през ръбовете $\text{AB}$ и $\text{DC}$ (равнината $(\text{ABCD})$).

7. Векторен подход към успоредност (За напреднали)

Дадени са две прави $\text{a}$ и $\text{b}$ с направляващи вектори $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Какво е условието, изразено чрез векторите, за да са правите:

1. Успоредни ($\text{a} \parallel \text{b}$)?

2. Кръстосани?

8. Теорема на Талес в Пространството

Дадени са две успоредни равнини $\alpha$ и $\beta$. Две пресичащи се прави $\text{a}$ и $\text{b}$ пробождат $\alpha$ в точки $\text{A}_1$ и $\text{B}_1$, а $\beta$ в точки $\text{A}_2$ и $\text{B}_2$. Докажете, че отсечките $\text{A}_1\text{B}_1$ и $\text{A}_2\text{B}_2$ са успоредни и отношението на дължините им е постоянно (Теорема на Талес в пространството).

URL has been copied successfully!