Смес и сплави - Школа по математика София-Мат

Общият случай при смесване на два разтвора (или сплави) се основава на закона за запазване на масата: количеството чисто вещество в крайния разтвор е сбор от количествата чисто вещество в началните два разтвора.

Нека разполагаме със:

Разтвор 1: маса $m_1$ и концентрация $p_1\%$
Разтвор 2: маса $m_2$ и концентрация $p_2\%$
Получена смес: маса $m_{смес}$ и концентрация $p_{смес}\%$

Тъй като масата на сместа е сбор от масите на двата компонента ( $m_{смес} = m_1 + m_2$ ), основното уравнение е:

\frac{p_1}{100} \cdot m_1 + \frac{p_2}{100} \cdot m_2 = \frac{p_{смес}}{100} \cdot (m_1 + m_2)

За по-лесно пресмятане, често умножаваме двете страни по 100 и използваме съкратения вид:

p_1 \cdot m_1 + p_2 \cdot m_2 = p_{смес} \cdot (m_1 + m_2)

В зависимост от това какво търсим, можем да преобразуваме формулата:

Ако търсим концентрацията на новата смес ($p_{смес}$):
$p_{смес} = \frac{p_1 \cdot m_1 + p_2 \cdot m_2}{m_1 + m_2}$
Ако добавяме чиста вода:Водата има концентрация на активното вещество $p = 0\%$. Уравнението става:
$p_1 \cdot m_1 + 0 \cdot m_{вода} = p_{смес} \cdot (m_1 + m_{вода})$
Ако добавяме чисто вещество (напр. чиста сол или захар):Чистото вещество има концентрация $p = 100\%$. Уравнението става:
$p_1 \cdot m_1 + 100 \cdot m_{чисто} = p_{смес} \cdot (m_1 + m_{чисто})$

При решаване на задачи в 7. клас е изключително полезно да попълваш следната таблица, преди да съставиш уравнението:

Компонент	Маса на разтвора (m)	Концентрация (p%)	Чисто вещество (100p⋅m)
Разтвор 1	$m_1$	$p_1$	$\frac{p_1 \cdot m_1}{100}$
Разтвор 2	$m_2$	$p_2$	$\frac{p_2 \cdot m_2}{100}$
Смес	$m_1 + m_2$	$p_{смес}$	$\frac{p_{смес} \cdot (m_1 + m_2)}{100}$

Сборът от клетките в последната колона за двата разтвора трябва да е равен на клетката за сместа.

I. Основни задачи

Целта тук е да свикнеш с изчисляването на части от цялото.

Колко грама чиста сол се съдържат в 450 g разтвор с концентрация 8%?
Сплав тежи 2 kg и съдържа 15% мед. Колко грама е медта в сплавта?
В 600 g разтвор има 42 g захар. Какъв е процентът на захарта?
Колко грама вода трябва да добавим към 50 g морска сол, за да получим 5% солен разтвор?
Смесват се 200 g 10% разтвор и 300 g 20% разтвор на една и съща киселина. Колко грама е чистата киселина в получената смес?
В съд има 4 литра 12% разтвор. Колко литра е водата в него?
От 800 g разтвор с 20% съдържание на спирт се изпаряват 100 g вода. Каква е новата маса на разтвора? (Без да смятате процента).
Колко грама е 100% чист продукт, ако в 5 kg смес той е 2,5%?
Смесени са 2 kg бонбони по 12 лв. и 3 kg бонбони по 18 лв. Колко струва 1 kg от сместа?
Сплав от злато и мед съдържа 75% злато. Намерете отношението на масата на златото към масата на медта.

II. Средни задачи (Смесване и разреждане)

Тук използваме основното уравнение: $m_1 p_1 + m_2 p_2 = m_{смес} p_{смес}$ .

1. Към 300 g 15% разтвор на сол са добавени 100 g чиста вода. Какъв е процентът на солта в новата смес?
2. Колко грама чиста захар трябва да се добавят към 400 g 10% разтвор, за да стане той 20%?
3. Смесени са два разтвора на йод – 200 g с 5% и неизвестно количество с 10%. Получен е 8% разтвор. Колко грама е бил вторият разтвор?
4. Имаме 5 литра 40% спирт. Колко литра вода трябва да долеем, за да получим 25% спирт?
5. От 1 kg 30% разтвор на киселина се изпарява вода, докато концентрацията стане 50%. Колко грама вода са се изпарили
6. Смесени са два вида кафе: едното по 20 лв./kg, а другото по 30 лв./kg. Получени са 10 kg смес на цена 24 лв./kg. По колко kg е взето от всеки вид?
7. Към 500 g сплав с 40% сребро е добавена сплав с 20% сребро, при което се получила сплав с 25% сребро. Колко тежи новата сплав?
8. Имаме разтвор на захар. Ако добавим 50 g захар, концентрацията става 20%. Ако добавим още 50 g захар, тя става 25%. Колко грама е бил първоначалният разтвор?
9. В съд има 12 литра 80% разтвор на киселина. Колко литра трябва да се излеят и да се заменят с вода, за да се получи 60% разтвор?
10. Колко грама 6% разтвор и 15% разтвор трябва да смесим, за да получим 450 g 12% разтвор?

III. Сложни задачи (Логически и състезателни)

Тези задачи изискват внимателно моделиране на „сухото вещество“ или работа с отношения.

Когато четеш задача за сушене (плодове, гъби, трева), винаги се фокусирай върху това, което не се променя – това е сухото вещество (фибрите). Водата се изпарява, но „сухата част“ остава същата в грамове.

Прясно набрани ягоди съдържат 92% вода. След престой на слънце съдържанието на вода спаднало на 90%. Ако първоначално ягодите са тежали 25 kg, колко тежат сега?
В два съда има разтвори на киселина. В първия съд киселината е 20%, а във втория – 50%. Смесваме ги и получаваме 12 литра 30% разтвор. По колко литра сме взели от всеки съд?
Сплав от мед и цинк тежи 15 kg и съдържа 20% цинк. След добавяне на известно количество мед, съдържанието на цинк станало 12%. Колко мед е добавена?
Морска вода съдържа 5% сол. Колко чиста вода трябва да се добави към 40 kg морска вода, за да се намали концентрацията на солта с 2%?
Дадени са два разтвора на захар. Ако ги смесим в отношение 1:3, получаваме 15% разтвор. Ако ги смесим в равни количества, получаваме 20% разтвор. Какви са първоначалните проценти?
Гроздето съдържа 80% вода, а стафидите – 20%. Колко килограма грозде са необходими за получаването на 5 kg стафиди?
От съд, пълен с 10% солен разтвор, излели 2 литра и долели 2 литра чиста вода. Концентрацията станала 6%. Колко литра е съдът?
Имаме три сплави на медта: първата съдържа 40% мед, втората – 30%, а третата – 20%. Смесваме ги в тегловно отношение 1:2:3. Какъв е процентът мед в новата сплав?
Имаме два вида стомана – едната с 5% никел, другата с 40% никел. Колко тона трябва да се вземат от всяка, за да се получат 140 тона стомана с 30% никел?
Златар разполага с две сплави на златото. Едната е проба 900 (90%), а другата е проба 540 (54%). Колко грама от всяка трябва да вземе, за да получи 180 g сплав проба 750?
От съд, пълен с чист спирт, излели 2 литра и долели 2 литра вода. После пак излели 2 литра от сместа и долели вода. Получили 25% разтвор. Колко литра е съдът?
Прясно отрязана трева съдържа 80% влага, а сеното – 15%. Колко сено ще се получи от 1 тон трева?
В 600 g разтвор на сол концентрацията е $x\%$ . Ако добавим 100 g вода, тя намалява с 2%. Намерете $x$ .
Прясно отрязана трева съдържа 80% влага, а сеното – 15%. Колко сено ще се получи от 1 тон трева?Две сплави на злато и сребро са в отношение 1:2 и 2:3. По колко грама от всяка трябва да се вземат, за да се получат 30 g сплав с равни части злато и сребро?
В два съда има разтвори на сол с различни концентрации. Ако се смесят в отношение 1:4, се получава 15% разтвор. Ако се смесят в отношение 1:1, се получава 18% разтвор. Намерете концентрациите.
Сплав от злато и сребро тежи 400 g. Във вода тя губи 25 g от теглото си. Знае се, че златото губи $\frac{1}{19}$ от теглото си във вода, а среброто – $\frac{1}{10}$ . Колко грама е златото в сплавта? (Когато едно тяло се потопи във вода, то „олекотява“ с теглото на изместената от него вода.)
Имаме 1 kg сплав от сребро и мед. След като добавили 200 g сребро, концентрацията му се увеличила с 10%. Колко е бил първоначалният процент сребро?
Имаме три съда с разтвори на захар: 10%, 20% и 30%. Смесваме ги в отношение 2:3:5. Какъв е процентът на получената смес?
В съд има смес от вино и вода в отношение 3:1. Колко част от сместа трябва да се замени с вода, за да стане отношението 1:1?
Сплав от мед, цинк и никел е в отношение 5:3:2. Друга сплав от същите метали е в отношение 3:5:2. Колко грама от всяка трябва да се вземат за 100 g сплав с отношение 4:4:2?