Скаларно произведение на два вектора

Скаларното произведение (наричано още вътрешно произведение или точково произведение) на два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ е число (скалар), което се получава като сума от произведенията на съответните им координати.

Скаларното произведение е основна операция във векторната алгебра, която свързва геометрията на векторите (дължина и ъгъл) с техните координати.

Геометрична дефиниция (чрез ъгъл)

Скаларното произведение е равно на произведението от дължините (големините) на двата вектора и косинуса на ъгъла $\theta$ между тях:

• $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ са дължините (модулите) на векторите.

Аналитична дефиниция (чрез координати)

Ако векторите са зададени с координати в $n$-мерно пространство (напр. $\mathbb{R}^2$, или $\mathbb{R}^3$), скаларното произведение е сумата от произведенията на съответните им координати.

В $\mathbb{R}^{3}$: Ако $\mathbf{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})$ и $\mathbf{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})$, то:

В $\mathbb{R}^{2}$ (равнината): Ако $\mathbf{a}=(x_{1},y_{1})$ и $\mathbf{b}=(x_{2},y_{2})$, то:

Важно свойство (ортогоналност)

Два ненулеви вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ са перпендикулярни (ортогонални) тогава и само тогава, когато тяхното скаларно произведение е нула:

Ъгъл между вектори

Формулата за скаларно произведение е основният инструмент за намиране на ъгъла $\varphi$ между два вектора.

Чрез преобразуване на геометричната дефиниция, можем да изразим $\cos(\varphi)$:

За да намерите ъгъла $\varphi$, трябва да направите следното:

1. Намерете скаларното произведение $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}$ (използвайки координатите).
2. Намерете дължините $|\mathbf{a}|$ и $|\mathbf{b}|$ (чрез Питагоровата теорема):
   $$|\mathbf{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}$$
   $$|\mathbf{b}|=\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}+z_{2}^{2}}$$
3. Изчислете $\cos(\varphi)$ по горната формула.
4. Намерете ъгъла $\varphi$, като приложите обратната функция на косинуса $\arccos()$.

Ключови следствия:

• Ортогоналност (перпендикулярност): Два вектора $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ са перпендикулярни (ортогонални), ако ъгълът между тях е $\theta=90^{\circ}.$ Тъй като $\cos 90^{\circ}=0,$ то $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$.
  $$\mathbf{a}\perp \mathbf{b}\iff \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0 \text{ (за ненулеви вектори)}$$
• Успоредност:
  • Ако $\theta=0^{\circ}$ (векторите са еднопосочни), $\cos 0^{\circ}=1$, то $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$.
  • Ако $\theta=180^{\circ}$ (векторите са противоположно насочени), $\cos 180^{\circ}=-1$, то $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-|\mathbf{a}||\mathbf{b}|$.

Разбирането на скаларното произведение е в основата на много приложения, като определяне на работа във физиката или проверка за перпендикулярност в геометрията.

Скаларното произведение има широко приложение във физиката, компютърната графика, машинното обучение и инженерните науки.

Приложения на скаларното произведение

Физика – Механична работа (А)

Класически пример е дефиницията на механичната работа, извършена от постоянна сила $\mathbf{F}$ при преместване $\mathbf{d}$:

Работа се извършва само от компонентата на силата, която е успоредна на преместването. Ако силата е перпендикулярна на преместването, работата е нула (например, центростремителната сила).

• При движение по окръжност (например, спътник около Земята или въртене на камък на въже) центростремителната сила е винаги насочена към центъра на окръжността, докато векторът на преместване във всеки момент е тангенциален (допирателен) на окръжността.
• Центростремителната сила променя посоката на движение, но не променя кинетичната енергия на обекта, тъй като не извършва работа.
• Скаларното произведение „улавя“ точно тази ефективност.

Компютърна графика и 3D моделиране

1. Осветление и сенки: Скаларното произведение се използва за определяне на интензитета на светлината, попадаща върху дадена повърхност. Ако $\mathbf{n}$ е нормалният вектор на повърхността и $\mathbf{l}$ е векторът, сочещ към източника на светлина, колкото $\cos(\theta)$ е по-близо до 1, толкова по-силно е осветлението.
2. Откриване на видимост (Culling): Използва се за определяне дали даден полигон (страна на обект) е обърнат към камерата или е скрит, което спестява изчислително време.

Машинно обучение и анализ на данни (Data Science)

• Сходство на косинуса (Cosine Similarity): Използва се за измерване на сходството между два вектора от данни, например между два документа или два потребителски профила в системи за препоръки.
• Високото сходство на косинуса означава малък ъгъл между векторите, т.е. векторите сочат в сходни посоки (имат сходно съдържание/характеристики), независимо от тяхната дължина.
• Векторът от данни е подреден списък от числени стойности, които представляват характеристиките (признаците) на един обект или запис.
• Форма: Това е математически вектор (обикновено се представя като ред или колона в матрица) в $n$-мерно пространство, където $n$ е броят на характеристиките.
• Компоненти: Всяка позиция във вектора съответства на определена, измерима характеристика.
  $$\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$$
• Ако искаме да опишем един човек в система за анализ и човекът е на 30 години, 1.75 м висок, 70 кг тежък и има доход 2500, неговият векторен запис е:
  $$\mathbf{p} = (30, 1.75, 70, 2500)$$

  Този вектор представлява една точка в четиримерно пространство.

Геометрия и инженерство

1. Проекция на вектор: Скаларното произведение позволява да се намери дължината на проекцията на един вектор върху друг.
   • Проекцията дава числова стойност, която показва колко голяма е частта от силата, движението или данните, която действа или съответства на определена целева посока.
   • Скаларната проекция е число (скалар), което представлява дължината на ортогоналната сянка, която вектор $\mathbf{a}$ хвърля върху правата, определена от вектор $\mathbf{b}$:
     $$\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$$
   • Векторната (ортогонална) проекция е вектор, който има същата посока като $\mathbf{b}$ (или противоположна, ако скаларната проекция е отрицателна) и дължина, равна на скаларната проекция:
     $$\operatorname{proj}_{\mathbf{b}}\mathbf{a}=(\operatorname{comp}_{\mathbf{b}}\mathbf{a})\cdot\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{b}|^{2}}\mathbf{b}$$
2. Интерпретация на проекцията:
   • Ако векторите са успоредни $(\theta=0^{\circ})$: Дължината на проекцията е максимална, равна на дължината на $\mathbf{a}$. Векторите имат пълно съвпадение.
   • Ако векторите са перпендикулярни $(\theta=90^{\circ})$: Дължината на проекцията е нула. Няма никакво съвпадение или въздействие.
   • Ако векторите сключват остър ъгъл $(0^{\circ}<\theta<90^{\circ})$: Проекцията е положителна $(+)$, векторите сочат в една и съща обща посока.
   • Ако векторите сключват тъп ъгъл $(90^{\circ}<\theta<180^{\circ})$: Проекцията е отрицателна $(-)$, векторите си противодействат.
3. Проверка за перпендикулярност: Бърз начин да се провери дали две линии, плоскости или сили са перпендикулярни.

Основни въпроси:

1. Какво е скалар и какво е вектор?
2. Каква е дефиницията на скаларното произведение в координатна форма?
3. Каква е дефиницията на скаларното произведение в геометрична форма?
4. Каква е единицата на скаларното произведение (зависи ли от векторите)?
5. Кога скаларното произведение на два ненулеви вектора е равно на нула?
6. Каква е формулата за намиране на косинуса на ъгъла между два вектора?
7. Каква е разликата между скаларно и векторно произведение?
8. Какво показва знакът на скаларното произведение (положително, отрицателно)?
9. Каква е връзката между скаларното произведение и дължината (модула) на един вектор?
10. Каква е проекцията на вектор върху вектор?

Допълнителни въпроси (с допълнително изследване на източници):

1. Как скаларното произведение се използва за определяне на светлината в 3D компютърна графика?
2. Защо механичната работа във физиката се дефинира чрез скаларно произведение?
3. Какво представлява „Cosine Similarity“ (сходство на косинуса) и как бихте го използвали, за да създадете система за сходство между обекти (например препоръки за продукти)?
4. Възможно ли е скаларното произведение да е дефинирано за вектори с различен брой измерения? Защо?
5. Каква е ролята на скаларното произведение в теорията на относителността?

Задачи: Скаларно произведение и ъгъл между вектори

1. Намерете скаларното произведение на векторите $\mathbf{a}=(3,-1,5)$ и $\mathbf{b}=(-2,4,1)$.
2. Дадени са векторите $\mathbf{p}=(4,-3)$ и $\mathbf{q}=(k,6)$. Определете стойността на $k$, при която $\mathbf{p}$ и $\mathbf{q}$ са ортогонални (перпендикулярни).
3. Намерете дължината на вектора $\mathbf{c}=2\mathbf{a}-\mathbf{b}$ ако $\mathbf{a}=(1,3)$ и $\mathbf{b}=(-2,1)$.
4. Намерете косинуса на $\varphi$, където $\varphi$ е ъгълът между векторите $\mathbf{u}=(1,1,0)$ и $\mathbf{v}=(0,1,1)$.
5. Ако $|\mathbf{a}|=5$, $|\mathbf{b}|=8$ и ъгълът между тях е $\theta=60^{\circ}$, намерете скаларното произведение $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$.
6. Дадени са векторите $\mathbf{m}=(x,2)$ и $\mathbf{n}=(4,-1)$. Намерете стойността на $x$, ако $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=10$.
7. Определете дали ъгълът $\theta$ между векторите $\mathbf{x}=(2,-3)$ и $\mathbf{y}=(-1,-1)$ е остър, тъп или прав.
8. Изчислете $(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}-\mathbf{b})$ ако $|\mathbf{a}|=4$ и $|\mathbf{b}|=3$.
9. Намерете скаларната проекция на вектора $\mathbf{a}=(4,2)$ върху вектора $\mathbf{b}=(1,0)$.
10. Ако $\mathbf{e}_1$ и $\mathbf{e}_2$ са единични вектори и ъгълът между тях е $120^{\circ}$, изчислете $(2\mathbf{e}_{1}+3\mathbf{e}_{2})\cdot \mathbf{e}_{1}$.
11. Докажете, че точките $A(1,2,3)$, $B(3,3,1)$ и $C(0,5,4)$ образуват правоъгълен триъгълник.
12. Намерете ъгъла между диагоналите $\mathbf{d}_1$ и $\mathbf{d}_2$ на успоредника, построен върху векторите $\mathbf{a}=(3,0)$ и $\mathbf{b}=(1,2)$. $(\mathbf{d}_{1}=\mathbf{a}+\mathbf{b}, \mathbf{d}_{2}=\mathbf{a}-\mathbf{b})$.
13. Намерете скаларното произведение $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$, ако $\mathbf{a}$ е единичен вектор, а $\mathbf{b}$ е два пъти по-дълъг от $\mathbf{a}$ и ъгълът между тях е $135^{\circ}$.
14. Векторът $\mathbf{v}$ с дължина $|\mathbf{v}|=10$ сключва ъгъл $30^{\circ}$ с положителната посока на $Ox$ оста. Намерете координатите на $\mathbf{v}$.
15. Дадени са векторите $\mathbf{a}=(1,2)$ и $\mathbf{b}=(3,k)$. За каква стойност на $k$ ъгълът между векторите е $45^{\circ}$?
16. В триъгълник $ABC$, точка $M$ е среда на $BC$. Използвайте вектори, за да докажете, че $|\mathbf{AB}|^{2}+|\mathbf{AC}|^{2}=2(|\mathbf{AM}|^{2}+|\mathbf{BM}|^{2})$ (Теорема на Аполоний). Указание: Вземете начало на координатната система в точка $M$.

Комбинирани задачи

1. В равнината е дадена база $B=\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2}\}$. Дадени са векторите $\mathbf{u}=2\mathbf{e}_{1}-3\mathbf{e}_{2}$ и $\mathbf{v}=4\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2}$. Намерете координатите на вектора $\mathbf{w}=3\mathbf{u}-2\mathbf{v}$ спрямо база $B$.
2. Докажете, че векторите $\mathbf{a}=(1,2,3)$, $\mathbf{b}=(0,1,1)$ и $\mathbf{c}=(2,0,4)$ са линейно зависими.
3. В равнината векторите $\mathbf{a}=(3,-1)$ и $\mathbf{b}=(2,5)$ образуват база. Разложете вектора $\mathbf{c}=(-1,-12)$ по тази база.
4. Дадени са векторите $\mathbf{a}=(1,k)$ и $\mathbf{b}=(-2,4)$. Намерете стойността на $k$, за която векторите $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$ са линейно зависими (колинеарни).
5. В пространството е дадена ортонормирана база $E$. Намерете скаларното произведение $\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}$, ако $\mathbf{x}$ е единичен вектор, колинеарен на $\mathbf{a}=(2,0,-2)$, а $\mathbf{y}$ е по $Ox$ оста и има дължина $|\mathbf{y}|=3$.
6. Дадени са векторите $\mathbf{u}=(2,1)$ и $\mathbf{v}=(1,3)$. Намерете ортогоналната проекция на $\mathbf{u}$ върху $\mathbf{v}$, т.е. намерете вектора $\mathbf{p}$ (а не само неговата дължина).
7. В пространството е дадена база $B=\{\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}\}$, където $|\mathbf{e}_{1}|=1$, $|\mathbf{e}_{2}|=2$, $|\mathbf{e}_{3}|=1$. Освен това $\mathbf{e}_{1} \perp \mathbf{e}_{2}$, $\mathbf{e}_{2} \perp \mathbf{e}_{3}$ и ъгълът между $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{3}$ е $60^{\circ}$. Намерете скаларното произведение $(\mathbf{e}_{1}+\mathbf{e}_{2})\cdot(\mathbf{e}_{2}-\mathbf{e}_{3})$.
8. Докажете, че медицентърът $G$ на триъгълник $ABC$ дели всяка медиана $AM$ в отношение $AG:GM=2:1$, използвайки векторното равенство $\mathbf{GA}+\mathbf{GB}+\mathbf{GC}=\mathbf{0}$.
9. В равнината са дадени три вектори $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$, за които $|\mathbf{a}|=1$, $|\mathbf{b}|=2$, $|\mathbf{c}|=3$ и $\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$. Намерете скаларното произведение $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$.
10. Един търговец анализира продажбите на три продукта за определен период. Данните могат да бъдат представени като вектори в $\mathbb{R}^{3}$, където компонентите са продажбите по региони: Продукт 1: $\mathbf{p}_{1}=(10,5,2)$, Продукт 2: $\mathbf{p}_{2}=(20,10,4)$, Продукт 3: $\mathbf{p}_{3}=(1,1,1)$. Определете дали векторите $\mathbf{p}_{1}$, $\mathbf{p}_{2}$, $\mathbf{p}_{3}$ са линейно зависими или независими. Ако са зависими, каква е икономическата интерпретация на тази зависимост?
11. Космически кораб се движи по вектор на скоростта $\mathbf{v}=(500,200,100) \text{ km/h}$. За да влезе в нова орбита, трябва да приложи корекционен тласък $\mathbf{t}=(-100,300,50) \text{ km/h}$. Намерете новата скорост $\mathbf{v}_{\text{нова}}$ на кораба след корекцията. Намерете ъгъла между вектора на старата скорост $\mathbf{v}$ и вектора на тласъка $\mathbf{t}$.
12. Два космически кораба, $K_1$ и $K_2$, се подготвят за скачване. За синхронизирано маневриране, техните вектори на тласък $\mathbf{t}_1$ и $\mathbf{t}_2$ трябва да са линейно зависими (т.е. да са успоредни). Ако $K_1$ има тласък $\mathbf{t}_{1}=(6,-3,9)$, намерете възможен вектор на тласък $\mathbf{t}_2$ за $K_2$, който е линейно зависим с $\mathbf{t}_1$ и има дължина (норма) по-малка от 10.
13. Космическият център следи позицията на два спътника в координати (в хиляди километри): Позиция на спътник $S_1$: $\mathbf{p}_{1}=(10,5,2)$, Позиция на спътник $S_2$: $\mathbf{p}_{2}=(3,8,-4)$. Намерете вектора на относителната позиция $\mathbf{r}$ на $S_2$ спрямо $S_1$. Изчислете разстоянието $d$ между двата спътника. (Разстоянието е дължината/нормата на вектора на относителната позиция: $d=|\mathbf{r}|$).
14. Системата за навигация на космическа станция използва три опорни вектора, за да определи положението на корабите в пространството: $\mathbf{b}_{1}=(1,0,0)$, $\mathbf{b}_{2}=(1,1,0)$ и $\mathbf{b}_{3}=(1,1,1)$. Докажете, че тези вектори са линейно независими. Космически кораб е позициониран във вектор $\mathbf{p}=(4,2,1)$. Намерете неговите координати $(C_{1},C_{2},C_{3})$ спрямо базата $(\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\mathbf{b}_{3})$.