Проста и сложна лихва - Школа по математика София-Мат

Тази тема е ключът към умножаването на спестяванията и управлението на дълговете.

I. Теория и формули

Ще използваме следните означения:

$K_0$ — Начална сума (Главница).
$i$ — Лихвен процент (изразен като десетична дроб, напр. 5% = 0.05).
$n$ — Период от време (години, месеци).
$K_n$ — Крайна сума след периода $n$ .

1. Проста лихва (Simple Interest)

При простата лихва, лихвата се начислява само върху първоначалната главница всеки път. Сумата на лихвата е една и съща за всеки период.

Формула:

K_n = K_0 \cdot (1 + i \cdot n)

Използва се често при: краткосрочни заеми, потребителски кредити.

2. Сложна лихва (Compound Interest)

При сложната лихва, лихвата се начислява върху главницата плюс натрупаната до момента лихва (лихва върху лихва). Парите растат експоненциално.

Формула:

K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n

Използва се често при: спестовни влогове, депозити, инвестиции, ипотеки.

II. Решени примери

Нека сравним двете лихви с еднакви параметри.

Параметри:

Влагате 10,000 евро ( $K_0$ )
Лихвен процент: 5% ( $i = 0.05$ )
Период: 3 години ( $n = 3$ )

Пример 1: Решение с Проста лихва

Тук всяка година получавате 5% от 10 000 е. (т.е. 500 е.).

$K_3 = 10 000 \cdot (1 + 0.05 \cdot 3)$

$K_3 = 10 000 \cdot (1 + 0.15)$

$K_3 = 10 000 \cdot 1.15 = \mathbf{11\,500}$

(Печалба: 1500 е.)

Пример 2: Решение със Сложна лихва

Тук първата година взимате 500 е., но втората година взимате 5% върху 10 500 е. и т.н.

$K_3 = 10 000 \cdot (1 + 0.05)^3$

$K_3 = 10 000 \cdot (1.05)^3$

$K_3 = 10 000 \cdot 1.157625 \approx \mathbf{11\,576.25}$

(Печалба: 1576 е. и 25 евроцента (е.ц.) — разликата е 76 е. и 25 е.ц. само за 3 години!)

III. 10 Основни задачи

Влагате 5000 е. при проста лихва 4% за 2 години. Каква е крайната сума в е.?
Имате депозит от 2000 е. при сложна лихва 3% за 5 години. Изчислете крайната сума в е.
Колко лихва (само печалбата) ще получите от 10 000 е. при 6% проста лихва за 6 месеца? (Упътване: $n = 0.5$ ).
Ако крайната сума е 1200 е., а началната е 1000 е. и парите са престояли 2 години на проста лихва, какъв е бил лихвеният процент?
Изчислете $K_n$ , ако $K_0 = 100$ е., $i = 10\%$ , $n = 2$ (сложна лихва).
Коя сума е по-голяма след 1 година: 1000 е. на 10% проста лихва или 1000 е. на 10% сложна лихва?
Инвестирате 500 е. при 7% сложна лихва за 10 години. Каква е крайната сума в е.?
Вземате заем от 3000 е. за 4 години при 15% проста лихва. Колко общо е. трябва да върнете?
Колко години са нужни, за да се удвои сума в е. при 100% проста лихва?
Пресметнете натрупването на 1 е. за 100 години при 5% сложна лихва.

IV. 20 Разширени и комбинирани задачи

Група А: Честота на капитализиране (По-сложни формули)

Упътване: Когато лихвата е годишна, но се начислява всеки месец, формулата за сложна лихва е $K_n = K_0(1 + \frac{i}{m})^{n \cdot m}$ , където $m$ е броят начисления в годината.

Месечно олихвяване: Влагате 10 000 е. при 6% годишна лихва, но банката начислява лихвата всеки месец. Каква е сумата след 1 година в е.?
Кредитна карта: Имате дълг от 2000 е. с 18% годишна лихва, която се начислява ежедневно. Колко е. ще дължите след 1 година, ако не плащате нищо?
Сравнение на банки: Банка А предлага 5.2% с годишно капитализиране. Банка Б предлага 5.0%, но с месечно капитализиране. Коя оферта е по-изгодна за срок от 1 година за влог от 1000 е.?

Група Б: Инфлация и Данъци

Реална доходност: Имате инвестиция с 8% сложна лихва за 1 година. Инфлацията е 5%. С колко процента реално се е увеличила покупателната ви способност върху капитал от 1000 е.?
Данък печалба: Влагате 10 000 е. при 5% лихва. Има 8% данък върху лихвите. Каква е чистата сума в е., която ще получите след 1 година
Обезценяване: Купувате кола за 30 000 е. Тя губи стойност с 15% на година (сложна лихва). Колко е. ще струва след 5 години?

Група В: „Намери Х“ (Обратни задачи)

Правилото на 72: Приблизително за колко години ще се удвоят парите ви при 6% сложна лихва? (Използвайте правилото $72 / i$ ). Проверете с точната формула.
Целева сума: Искате да имате 50,000 е. след 10 години, за да купите вила. Лихвата е 7% (сложна). Колко пари трябва да вложите днес ( $K_0$ )?
Откриване на лихвата: Вложили сте 1,000 е. и след 2 години имате 1,210 е. (сложна лихва). Какъв е бил годишният лихвен процент?
Логаритми: Имате 5,000 е. и искате те да станат 10,000 е. при 10% сложна лихва. Решете уравнението за $n$ , използвайки логаритъм.

Група Г: Финансови сценарии и комбинации

Проста vs Сложна (Дълъг период): Направете графика или таблица за 1 е. при 10% проста и 10% сложна лихва за 1, 10, 20 и 30 години. Къде разликата става драстична?
Закъснял старт: Иван започва да инвестира по 1000 е. на 20-годишна възраст и на 30 години решава, че има достатъчно спестявания. Съученикът му Петър започва на 30-годишна възраст със същата сума и лихва. Кога Петър ще настигне Иван? Изберете годишна лихва, каквато смятате за реалистична (Средната доходност на фондовите пазари е обикновено между 5 и 9%). Разкажете за ефектът на натрупването (Snowball Effect).
Променлива лихва: Влагате 1000 е. Първата година лихвата е 5%, втората година пада на 2%, а третата се вдига на 10% (всички са сложни). Каква е крайната сума?
Заем с гратисен период: Теглите студентски заем 10,000 е. Имате 4 години гратисен период (не плащате, но лихвата от 5% се трупа сложно). Колко ще е главницата в момента, в който започнете да плащате?
„Лихварска“ задача: Приятел ви иска 100 е. и обещава да ви връща по 1 е. всеки ден в продължение на 6 месеца (180 дни). Изчислете каква годишна проста лихва представлява това?
Валутен риск: Влагате 1000 долара при 2% лихва. Курсът на еврото спрямо долара се променя с 10% в полза на еврото. Каква е доходността ви, преизчислена в евро?
Ефективен годишен процент (ЕГП): Бърз кредит рекламира „само 3% лихва на месец“. Колко е това като годишна сложна лихва? (Жокер: $(1.03)^{12} - 1$ ).
Пенсионен фонд (Анюитет): Вместо една сума, внасяте по 1,000 е. в края на всяка година при 5% лихва. Колко пари ще имате след 3 години? (Жокер: сума на геометрична прогресия).
Инфлация срещу Доходност: Ако държите парите си „под матрака“ (0% лихва) при 3% годишна инфлация, колко % от стойността си ще са загубили след 10 години?
Задачата на Бенджамин Франклин: Той завещава 1000 паунда на Бостън и Филаделфия с условие да не се ‘пипат’ 100 години. При средна лихва от 4%, пресметнете каква е била сумата след 100 години.