Тази тема е ключът към умножаването на спестяванията и управлението на дълговете.
I. Теория и формули
Ще използваме следните означения:
-
$K_0$ — Начална сума (Главница).
-
$i$ — Лихвен процент (изразен като десетична дроб, напр. 5% = 0.05).
-
$n$ — Период от време (години, месеци).
-
$K_n$ — Крайна сума след периода $n$.
1. Проста лихва (Simple Interest)
При простата лихва, лихвата се начислява само върху първоначалната главница всеки път. Сумата на лихвата е една и съща за всеки период.
Формула:
Използва се често при: краткосрочни заеми, потребителски кредити.
2. Сложна лихва (Compound Interest)
При сложната лихва, лихвата се начислява върху главницата плюс натрупаната до момента лихва (лихва върху лихва). Парите растат експоненциално.
Формула:
Използва се често при: спестовни влогове, депозити, инвестиции, ипотеки.
II. Решени примери
Нека сравним двете лихви с еднакви параметри.
Параметри:
-
Влагате 10,000 лв. ($K_0$)
-
Лихвен процент: 5% ($i = 0.05$)
-
Период: 3 години ($n = 3$)
Пример 1: Решение с Проста лихва
Тук всяка година получавате 5% от 10,000 лв. (т.е. 500 лв.).
(Печалба: 1,500 лв.)
Пример 2: Решение със Сложна лихва
Тук първата година взимате 500 лв., но втората година взимате 5% върху 10,500 лв., и т.н.
(Печалба: 1,576.25 лв. — разликата е 76.25 лв. само за 3 години!)
III. 10 Основни задачи
-
Влагате 5,000 лв. при проста лихва 4% за 2 години. Каква е крайната сума?
-
Имате депозит от 2,000 лв. при сложна лихва 3% за 5 години. Изчислете крайната сума.
-
Колко лихва (само печалбата) ще получите от 10,000 лв. при 6% проста лихва за 6 месеца? (Упътване: $n = 0.5$).
-
Ако крайната сума е 1,200 лв., а началната е 1,000 лв., и парите са престояли 2 години на проста лихва, какъв е бил лихвеният процент?
-
Изчислете $K_n$, ако $K_0 = 100$, $i = 10\%$, $n = 2$ (сложна лихва).
-
Коя сума е по-голяма след 1 година: 1,000 лв. на 10% проста лихва или 1,000 лв. на 10% сложна лихва? (Уловка: за 1 период резултатът е еднакъв).
-
Инвестирате 500 лв. при 7% сложна лихва за 10 години.
-
Вземате заем от 3,000 лв. за 4 години при 15% проста лихва. Колко общо трябва да върнете?
-
Колко години са нужни, за да се удвои сума при 100% проста лихва?
-
Пресметнете натрупването на 1 лв. за 100 години при 5% сложна лихва.
IV. 20 Разширени и комбинирани задачи
Група А: Честота на капитализиране (По-сложни формули)
Упътване: Когато лихвата е годишна, но се начислява всеки месец, формулата за сложна лихва е $K_n = K_0(1 + \frac{i}{m})^{n \cdot m}$, където $m$ е броят начисления в годината.
-
Месечно олихвяване: Влагате 10,000 лв. при 6% годишна лихва, но банката начислява лихвата всеки месец ($m=12$). Каква е сумата след 1 година?
-
Кредитна карта: Имате дълг от 2,000 лв. с 18% годишна лихва, която се начислява ежедневно ($m=365$). Колко ще дължите след 1 година, ако не плащате нищо?
-
Сравнение на банки: Банка А предлага 5.2% с годишно капитализиране. Банка Б предлага 5.0%, но с месечно капитализиране. Коя оферта е по-изгодна за срок от 1 година?
Група Б: Инфлация и Данъци
-
Реална доходност: Имате инвестиция с 8% сложна лихва за 1 година. Инфлацията за тази година е 5%. С колко процента реално се е увеличила покупателната ви способност?
-
Данък печалба: В България има 8% данък върху лихвите по депозити (примерно). Влагате 10,000 лв. при 5% лихва. Каква е чистата сума, която ще получите след 1 година след облагането?
-
Обезценяване (Depreciation): Купувате кола за 30,000 лв. Тя губи стойност (отрицателна сложна лихва) с 15% на година. Колко ще струва след 5 години?
Група В: „Намери Х“ (Обратни задачи)
-
Правилото на 72: Приблизително за колко години ще се удвоят парите ви при 6% сложна лихва? (Използвайте правилото $72 / i$). Проверете с точната формула.
-
Целева сума: Искате да имате 50,000 лв. след 10 години, за да купите вила. Лихвата е 7% (сложна). Колко пари трябва да вложите днес ($K_0$)?
-
Откриване на лихвата: Вложили сте 1,000 лв. и след 2 години имате 1,210 лв. (сложна лихва). Какъв е бил годишният лихвен процент?
-
Логаритми: Имате 5,000 лв. и искате те да станат 10,000 лв. при 10% сложна лихва. Решете уравнението за $n$, използвайки логаритъм.
Група Г: Финансови сценарии и комбинации
-
Проста vs Сложна (Дълъг период): Направете графика или таблица за 1 лв. при 10% проста и 10% сложна лихва за 1, 10, 20 и 30 години. Къде разликата става драстична?
-
Закъснял старт: Иван започва да инвестира по 1000 лв. на 20-годишна възраст. Петър започва на 30-годишна възраст със същата сума и лихва. Може ли Петър някога да настигне Иван само чрез лихвата? (Концептуална задача).
-
Променлива лихва: Влагате 1000 лв. Първата година лихвата е 5%, втората година пада на 2%, а третата се вдига на 10% (всички са сложни). Каква е крайната сума?
-
Заем с гратисен период: Теглите студентски заем 10,000 лв. Имате 4 години гратисен период (не плащате, но лихвата от 5% се трупа сложно). Колко ще е главницата в момента, в който започнете да плащате?
-
„Лихварска“ задача: Приятел ви иска 100 лв. и обещава да ви връща по 1 лв. всеки ден в продължение на 6 месеца (180 дни). Изчислете каква годишна проста лихва представлява това?
-
Валутен риск: Влагате 1000 евро при 2% лихва. Курсът на еврото спрямо долара се променя с 10% в полза на еврото. Каква е доходността ви, преизчислена в долари?
-
Ефективен годишен процент (ЕГП): Бърз кредит рекламира „само 3% лихва на месец“. Колко е това като годишна сложна лихва? (Hint: $(1.03)^{12} – 1$).
-
Пенсионен фонд (Анюитет): Вместо една сума, внасяте по 1,000 лв. в края на всяка година при 5% лихва. Колко пари ще имате след 3 години? (Сума на геометрична прогресия).
-
Инфлация срещу Доходност: Ако държите парите си „под матрака“ (0% лихва) при 3% годишна инфлация, колко % от стойността си ще са загубили след 10 години?
-
Задачата на Бенджамин Франклин: Той завещава 1000 паунда на Бостън и Филаделфия с условие да не се пипат 100 години. При средна лихва от 4%, пресметнете каква е била сумата след 100 години.
