Права пропорция / пропорционалност

1. Дефиниция и Формула

Две величини $x$ и $y$ са правопропорционални, ако колкото пъти се увеличи (или намали) едната, толкова пъти се увеличава (или намалява) и другата. Математически това изглежда така:

y = kx

където $k$ е число, различно от нула.

2. Коефициент на пропорционалност ( $k$ )

Това е „магическото“ число, което ни казва точно колко пъти $y$ е по-голямо от $x$ . Можем да го намерим като:

k = \frac{y}{x}

3. Графика

Графиката на правата пропорционалност винаги е права линия, която задължително минава през началото на координатната система (точката $O(0,0)$ ).

Ако $k > 0$ , линията минава през I и III квадрант.
Ако $k < 0$ , линията минава през II и IV квадрант.

Задачи за упражнение

Цел: Свикване с формулата и коефициента.

Ако $y = 3x$ и $x = 5$ , колко е $y$ ?
Намери $k$ , ако $y = 10$ при $x = 2$ .
Попълни таблицата за $y = 2x$ $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ .
Вярно ли е, че $y = 0$ при $x = 0$ за всяка права пропорционалност?
Ако $k = 0.5$ , намери $y$ за $x = 10$ .
Дадена е функцията $y = -4x$ . Колко е $y$ при $x = -2$ ?
Пресметни $x$ , ако $y = 12$ и $k = 4$ .
Коефициентът $k$ може ли да бъде равен на $0$ ?
Ако $y = \frac{1}{3}x$ , пресметни $y$ за $x = 9$ .
Начертай графиката на $y = x$ .
През кои квадранти минава графиката на $y = 5x$ ?
Ако $x$ се удвои, какво става с $y$ при права пропорционалност?
Намери $k$ , ако графиката минава през точката $(1, 7)$ .
Вярно ли е, че $y = 2x + 1$ е права пропорционалност? (Начертай графиката ѝ).
Намери $y$ , ако $k = -3$ и $x = -4$ .
Ако $y$ е 20, а $x$ е 4, колко е $k$ ?
Попълни таблицата: $x=2, y=6; x=4, y=?$ (при права проп.).
Начертай графиката на $y = -x$ .
Изрази $x$ чрез $y$ и $k$ .
Каква е стойността на $y$ , ако $x = 100$ и $k = 0.1$ ?
Коефициентът на $y = -0.5x$ е…?
Ако $y$ намалее 3 пъти, какво се случва с $x$ ?
Минава ли графиката на $y = 10x$ през точката $(2, 20)$ ?
Коя точка е обща за всички графики от вида $y = kx$ ?
Намери $k$ , ако $y = \frac{3}{4}$ при $x = 1$ .
Запиши формулата, ако $y$ е 5 пъти по-голямо от $x$ .
Колко е $k$ , ако $x$ и $y$ са равни?
Ако $k = -1$ , намери $y$ при $x = 7$ .
Какъв е знакът на $k$ , ако графиката е в II и IV квадрант?
Напиши пример за права пропорционалност от ежедневието.

Бележка: Запомни, Функцията е зависимост между две величини. Обикновено ги наричаме $x$ и $y$ .

$x$ (Независима променлива / Аргумент): Това е числото, което ти избираш и „пъхаш“ в машината.
$f$ (Функция): Това е правилото или „рецептата“, по която работи машината.
$y$ или $f(x)$ (Зависима променлива / Стойност): Това е резултатът, който получаваш.
Правата пропорция е един вид функция. Има много други зависимости.

Приложни задачи

Цел: Приложение в текстови задачи и работа с графики.

Автомобил се движи с постоянна скорост $80$ км/ч. Запиши зависимостта на пътя $S$ от времето $t$ .
От точка $A(2, 6)$ намери коефициента $k$ и запиши уравнението на правата.
Графиката на $y = kx$ минава през $M(-3, 12)$ . Намери $y$ при $x = 5$ .
За 3 часа майстор боядисва 15 кв.м. Колко ще боядиса за 8 часа?
Намери лицето на триъгълника, образуван от графиката на $y = 2x$ , абсцисната ос и правата $x = 4$ .
Провери дали точките $A(1, 2)$ и $B(3, 6)$ лежат на една и съща права пропорционалност.
Ако $y = (2m - 4)x$ е права пропорционалност, какви стойности не може да приема $m$ ?
Цена на 400г сирене е 6 лв. Колко струва 1 кг? Реши чрез $k$ .
Две графики $y = 3x$ и $y = kx$ минават през $(0,0)$ . При каква стойност на $k$ те съвпадат?
Ако $y$ е правопропорционално на $x$ , а $x$ е правопропорционално на $z$ , правопропорционално ли е $y$ на $z$ ?
Намери координатите на точка от графиката $y = 4x$ , чиято ордината е с 6 по-голяма от абсцисата.
Сплав съдържа мед и цинк в отношение $3:2$ . Запиши зависимостта на теглото на медта от общото тегло на сплавта.
Графиката на $y = kx$ сключва ъгъл $45^\circ$ с оста $Ox$ . Колко е $k$ ?
Намери $k$ , ако $y(2) + y(3) = 25$ за функцията $y = kx$ .
Периметърът на равностранен триъгълник е функция на страната му $a$ . Намери $k$ .
Ако $k$ се увеличи двойно, как се променя ъгълът на графиката спрямо оста $Ox$ ?
Начертай в една координатна система $y = 2x$ и $y = 0.5x$ . Коя е „по-стръмна“?
Точка $P(a, a^2)$ лежи на графиката $y = 5x$ . Намери $a$ ( $a \neq 0$ ).
Как се променя $k$ , ако заменим $x$ с $-x$ , а $y$ остане същото?
Намери пресечната точка на $y = 3x$ и $y = -x + 4$ .

Предизвикателни задачи

Цел: Логика и параметри.

Дадена е функцията $y = (a^2 - 1)x$ . За кои стойности на параметъра $a$ графиката минава през II и IV квадрант?
Докажи, че ако $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ лежат на графиката $y = kx$ , то $\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}$ .
Намери лицето на фигурата, ограничена от графиките на $y = x$ , $y = 3x$ и правата $x = 2$ .
Светлината изминава $300,000$ км/сек. Изрази разстоянието $d$ като функция на времето $t$ и пресметни за колко време стига до Земята (150 млн. км).
За кои стойности на $m$ точката $M(m, 16)$ лежи на графиката $y = mx$ ?
Две величини са в права пропорционалност. Ако едната се увеличи с 20%, с колко процента се увеличава другата?
Намери $k$ , ако графиката на $y = kx$ е симетрична на $y = 2x$ спрямо оста $Oy$ .
В съд има 10 литра вода. От чешма тече вода с дебит 2 л/мин. Права пропорционалност ли е зависимостта на общото количество вода от времето? Защо?
Намери $k$ , ако разстоянието от точка $A(1, k)$ до началото на координатната система е $\sqrt{5}$ .
Ако $y = f(x)$ е права пропорционалност, докажи че $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$ .