Продължете към съдържанието

Полиноми. Деление. Безу, Хорнер и Виет.

1. Полиноми на една променлива

Полином (многочлен) от степен $n$ на променливата $x$ е израз от вида:

$$P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$$

където $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ са коефициенти (реални или комплексни числа), а $n$ е цяло неотрицателно число.

2. Деление на полиноми

Подобно на целите числа, полиномите могат да се делят „с частно и остатък“. Ако имаме полиноми $P(x)$ и $Q(x)$, съществуват единствени полиноми $q(x)$ (частно) и $r(x)$ (остатък), такива че:

$$P(x) = Q(x) \cdot q(x) + r(x)$$

  • Степента на остатъка $r(x)$ винаги е по-малка от степента на делителя $Q(x)$.

  • Ако $r(x) = 0$, казваме, че $P(x)$ се дели на $Q(x)$ без остатък.

Теорема за рационалните корени.

Логиката зад това защо делителите на свободния член са „подозрителни“ за корени е всъщност доста проста и елегантна. Нека я проследим стъпка по стъпка.

Представи си, че имаме полином с цели коефициенти и старши коефициент 1 (за по-лесно):

$$P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0$$

Ако числото $k$ е цял корен на този полином, това означава, че ако заменим $x$ с $k$, резултатът ще е нула:

$$k^n + a_{n-1}k^{n-1} + \dots + a_1k + a_0 = 0$$

Сега, нека оставим свободния член $a_0$ сам от едната страна на уравнението, а всичко останало прехвърлим от другата:

$$a_0 = -(k^n + a_{n-1}k^{n-1} + \dots + a_1k)$$

Забележи, че от дясната страна на всяко събираемо има $k$. Можем да го изкараме пред скоби:

$$a_0 = k \cdot [-(k^{n-1} + a_{n-1}k^{n-2} + \dots + a_1)]$$

Тъй като всички числа в скобите ($k, a_{n-1}, \dots, a_1$) са цели, то и целият израз в големите скоби е някакво цяло число. Нека го наречем $M$.

Така получаваме:

$$a_0 = k \cdot M$$

Това уравнение ни казва директно: Свободният член $a_0$ е равен на корена $k$, умножен по някакво друго цяло число. А това е самото определение за делимост – следователно $k$ задължително трябва да бъде делител на $a_0$.

Това правило драстично стеснява кръга на търсене. Вместо да пробваме безкрайно много числа, ние проверяваме само няколко.

Пример: $P(x) = x^3 – 2x^2 – 5x + 6 = 0$

  • Свободният член е 6.

  • Неговите делители са: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

  • Само сред тези 8 числа могат да бъдат целите корени на уравнението. Ако никое от тях не работи, уравнението просто няма цели корени.

Важно уточнение:

  1. Това работи само ако полиномът има цели коефициенти.

  2. Ако старшият коефициент пред най-високата степен (например $a_n$) не е 1, тогава корените могат да бъдат дробни. В този случай числителят на дробта е делител на свободния член, а знаменателят – делител на старшия коефициент.

3. Теорема на Безу

Това е изключително важна теорема, която свързва стойността на полинома с неговите делители от първа степен.

Теоремата гласи: Остатъкът от делението на полинома $P(x)$ на линейния двучлен $(x – a)$ е равен на стойността на полинома в точката $a$, т.е. $r = P(a)$.

Следствие: Числото $a$ е корен на полинома $P(x)$ тогава и само тогава, когато $P(x)$ се дели на $(x – a)$ без остатък.

Тоест, Остатъкът е равен на стойността на полинома, ако заместим $x$ с числото от делителя.

Примерно приложение: Ако имаш полинома $P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6$, делителите на свободния член (-6) са $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$. Проверяваме с теоремата на Безу: $P(1) = 1 – 6 + 11 – 6 = 0$. Значи $x=1$ е корен и можем да намалим степента чрез схемата на Хорнер.

4. Схема на Хорнер

Схемата на Хорнер е алгоритъм за бързо пресмятане на частното и остатъка при деление на полином на двучлен от вида $(x – a)$. Тя е много по-ефективна от делението „на дълго“.

Как работи:

  1. Записваме коефициентите на полинома в първия ред на таблица.

  2. Вляво записваме числото $a$ (корена).

  3. Първият коефициент се преписва директно долу.

  4. Всеки следващ елемент се получава, като умножим предходното получено число по $a$ и съберем резултата със съответния коефициент от горния ред.

  5. Последното число в долния ред е остатъкът $P(a)$.

5. Намиране на корени

Намирането на корени (стойностите на $x$, за които $P(x) = 0$) зависи от степента и вида на полинома:

  • Квадратни уравнения: Използваме дискриминанта.

  • Цели корени: Ако полиномът има цели коефициенти и старши коефициент $a_n = 1$, то всички негови цели корени са делители на свободния член $a_0$.

  • Рационални корени: Ако коренът е дроб от вида $p/q$, то $p$ е делител на $a_0$, а $q$ е делител на $a_n$ (Теоремата за рационалните корени).

  • Разлагане на множители: Чрез групиране или използване на формули за съкратено умножение.

6. Формули на Виет

Формулите на Виет установяват директна връзка между корените на един полином и неговите коефициенти, без всъщност да е необходимо да решаваме уравнението.

За полином от степен $n$ във вида:

$$a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$$

(където $a_n \neq 0$), ако означим корените с $x_1, x_2, \dots, x_n$, формулите изглеждат по следния начин:

Най-важното правило е, че всяка сума от произведения на корените е равна на съответния коефициент, разделен на старшия ($a_n$), със знак, който се редува.

  1. Сумата на корените:
    $$x_1 + x_2 + \dots + x_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}$$
  2. Сумата от произведенията на корените по двойки:
    $$x_1x_2 + x_1x_3 + \dots + x_{n-1}x_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}$$
  3. Сумата от произведенията по тройки:
    $$x_1x_2x_3 + \dots = -\frac{a_{n-3}}{a_n}$$

    $\dots$

  4. Произведението на всички корени:$$x_1x_2 \dots x_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}$$

Златно правило за знаците: Започвате от втория коефициент със знак минус и ги редувате: $(-), (+), (-), (+), \dots$

Формули за уравнения от 3-та и 4-та степен

Тъй като уравненията от по-висока степен често се свеждат до трета или четвърта, ето как изглеждат формулите за тях:

При $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$

  • $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$

  • $x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3 = \frac{c}{a}$

  • $x_1x_2x_3 = -\frac{d}{a}$

При $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$

  • $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -\frac{b}{a}$

  • $x_1x_2 + x_1x_3 + x_1x_4 + x_2x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = \frac{c}{a}$

  • $x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + x_1x_3x_4 + x_2x_3x_4 = -\frac{d}{a}$

  • $x_1x_2x_3x_4 = \frac{e}{a}$

Формулите на Виет са незаменими в няколко случая:

  1. Проверка на корени: Ако сте намерили корените чрез Схемата на Хорнер, можете бързо да ги съберете или умножите, за да видите дали съвпадат с коефициентите.

  2. Намиране на изрази с корените: Често се иска да пресметнете сумата от квадратите на корените $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$, без да ги намирате поотделно.

    • Припомняне: $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (x_1+x_2+x_3)^2 – 2(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3)$.

  3. Съставяне на уравнение: Ако са ви дадени корените, можете директно да „сглобите“ полинома.

  4. Връзка с реципрочните уравнения: При реципрочните уравнения произведението на корените винаги е $1$ или $-1$, което веднага ви дава информация за свободния член чрез Виет.

Примерна задача

Дадено е уравнението $x^3 – 4x^2 + x + 6 = 0$. Намерете произведението на корените му.

  • Решение: Тук $a=1, b=-4, c=1, d=6$. Степента е $n=3$ (нечетна).

  • Формулата е $x_1x_2x_3 = -d/a = -6/1 = -6$.

  • Проверка: Корените са $-1, 2, 3$. Тяхното произведение е $(-1) \cdot 2 \cdot 3 = -6$.

Задачи

I. Базови умения и алгоритми

  1. Разделете полинома $P(x) = 2x^4 – 3x^3 + x^2 – 5x + 6$ на $(x – 2)$, като използвате схемата на Хорнер. Намерете частното и остатъка.
  2. Без да извършвате делението, намерете остатъка от делението на $P(x) = x^{10} – 3x^5 + 2$ на $(x – 1)$.
  3. Намерете стойността на параметъра $a$, ако се знае, че полиномът $P(x) = x^3 – ax^2 + 3x – 2$ се дели на $(x – 2)$ без остатък.
  4. Докажете, че числото $x = 1$ е трикратен корен на полинома $P(x) = x^3 – 3x^2 + 3x – 1$.
  5. Решете уравнението $x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0$, като използвате, че корените му са цели числа (делители на свободния член).
  6. Намерете частното и остатъка при деление на $P(x) = x^5 – 1$ на $Q(x) = x^2 + 1$.
  7. Използвайте схемата на Хорнер, за да пресметнете стойността на $P(x) = 3x^4 – 5x^3 + 2x^2 – x + 10$ за $x = -3$.
  8. Намерете всички рационални корени на полинома $2x^3 + 3x^2 – 1 = 0$.
  9. За кои стойности на $m$ и $n$ полиномът $x^4 + mx^3 + nx^2 – 8x + 4$ е точен квадрат на полином от втора степен?
  10. Намерете остатъка от делението на $P(x) = (x-1)^{70} + (x-2)^{70}$ на $x^2 – 3x + 2$.
  11. Даден е полиномът $P(x) = x^4 – 10x^3 + 35x^2 – 50x + 24$. Използвай схемата на Хорнер, за да намериш $P(5)$.
  12. Намерете стойността на $k$, за която остатъкът от делението на $P(x) = kx^3 – 2x^2 + 5x – 4$ на $(x – 3)$ е равен на 10.
  13. Полиномът $P(x) = x^3 + ax + b$ се дели на $(x – 1)$ и на $(x + 2)$. Намерете стойностите на $a$ и $b$.
  14. Без да разлагате, проверете дали $x = -2$ е корен на $P(x) = 3x^4 + 5x^3 – 4x^2 – 10x – 4$ чрез теоремата на Безу.
  15. Деление на $(ax – b)$: Използвайте схема на Хорнер, за да разделите $P(x) = 4x^3 – 6x^2 + 8x – 2$ на $(2x – 1)$. (Подсказка: $2x – 1 = 2(x – 0.5)$).
  16. Намерете полином от втора степен $P(x)$, за който $P(0) = 5$, $P(1) = 6$ и $P(-1) = 8$.
  17. Намерете всички цели корени на уравнението $x^4 – x^3 – 7x^2 + x + 6 = 0$.
  18. Докажете, че $x = 3$ е поне двукратен корен на полинома $P(x) = x^4 – 6x^3 + 10x^2 – 6x + 9$.
  19. Намерете остатъка от делението на $P(x) = x^{2024} + x + 1$ на $(x + 1)$.
  20. Ако при деление на $P(x)$ на $(x – 4)$ частното е $Q(x) = x^2 – 3x + 1$, а остатъкът е $r = 5$, намери оригиналния полином $P(x)$.

II. ниво

  1. Остатъкът от делението на полинома $P(x)$ на $(x – 1)$ е 3, а остатъкът от делението му на $(x – 2)$ е 5. Намерете остатъка от делението на $P(x)$ на произведението $(x – 1)(x – 2)$.
  2. Да се определи полином от трета степен $P(x)$, за който е известно, че $P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3$ и $P(4) = 10$.
  3. Решете „реципрочното“ уравнение: $x^4 – 5x^3 + 6x^2 – 5x + 1 = 0$.
  4. Докажете, че полиномът $P(x) = (x+1)^n – x^n – 1$ се дели на $x^2 + x + 1$ тогава и само тогава, когато $n$ е нечетно число, което не се дели на 3.
  5. Намерете сумата от квадратите на корените на уравнението $x^3 – 2x^2 + 5x – 8 = 0$.
  6. За кои стойности на параметъра $a$ уравнението $x^3 – 7x + a = 0$ има корен, който е равен на удвоения друг корен?
  7. Докажете, че ако $a, b, c$ са различни числа, то полиномът $P(x) = \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} – 1$ е тъждествено равен на нула.
  8. Разложете на множители полинома $x^4 + 4$ над полето на реалните числа.
  9. Да се намери остатъкът при деление на $x^{100} – 2x^{51} + 1$ на $x^2 – 1$.
  10. Намерете всички полиноми $P(x)$, за които е изпълнено $P(x+1) = P(x) + 2x + 1$ и $P(0) = 0$.
  11. Намерете остатъка от делението на $P(x) = x^{50} + x^{25} + 1$ на $(x^2 – 1)$. (Подсказка: Остатъкът е от вида $ax + b$).
  12. За полинома $P(x) = x^3 – 5x^2 + 7x – 9$ с корени $x_1, x_2, x_3$, пресметнете стойността на израза $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3}$.
  13. За кои стойности на $a$ и $b$ полиномът $x^4 + ax^3 + bx^2 + 3x – 2$ се дели на $x^2 – x – 2$?
  14. Намерете остатъка от делението на полинома $P(x) = (x^2 – x + 1)^{10}$ на $(x – 1)$.
  15. Докажете, че ако полиномът $P(x)$ се дели на $(x-a)$, то полиномът $P(P(x))$ също се дели на $(x-a)$, при условие че $P(a) = a$.
  16. Решете уравнението $2x^4 + 3x^3 – 16x^2 + 3x + 2 = 0$. (Това е симетрично уравнение).
  17. Намерете остатъка при деление на $x^n – a^n$ на $(x – a)$. Какво ни казва това за делението на изрази от вида $x^n – 1$?
  18. Полиномът $P(x)$ дава остатък 2 при деление на $(x – 1)$ и остатък 1 при деление на $(x + 1)$. Какъв е остатъкът при деление на $P(x)$ на $(x^2 – 1)$?
  19. Намерете полином с реални коефициенти от възможно най-ниска степен, който има за корени числата $1$ и $i$ (където $i^2 = -1$).
  20. Намерете остатъка от делението на $x^{100} – 4x^{98} + x^2 – 3x + 1$ на $x^2 – 4$.

 

Facebook
X (Twitter)
Copy link
URL has been copied successfully!