Отношения и пропорции

1. Какво е отношение и пропорция?

Отношение: Това е просто частното на две числа $a$ и $b$ ( $b \neq 0$ ). Записваме го като $a:b$ или $\frac{a}{b}$ . То ни показва колко пъти едното число е по-голямо от другото.
Пропорция: Когато две отношения са равни, те образуват пропорция.

$a:b = c:d$

Където $a$ и $d$ се наричат външни членове, а $b$ и $c$ – вътрешни членове.

Основно свойство на пропорциите

Това е „магическото“ правило, с което решаваме всичко: Произведението на външните членове е равно на произведението на вътрешните членове.

a \cdot d = b \cdot c

2. Практически приложения

Математиката тук излиза от учебника и влиза в реалния живот чрез:

Мащаб: Колко сантиметра на картата съответстват на реални километри.
Рецепти и смеси: Смесване на боя, готвене или химични разтвори.
Валутни курсове: Превръщане на левове в евро или долари.
Подобни фигури: Архитектурни модели и чертежи.

3. Примерни задачи

Задача 1: Образуват ли пропорция?

Провери дали отношенията $3:4$ и $9:12$ образуват пропорция.

Решение:

Използваме основното свойство:

Външни членове: $3$ и $12 \Rightarrow 3 \cdot 12 = 36$
Вътрешни членове: $4$ и $9 \Rightarrow 4 \cdot 9 = 36$

Тъй като $36 = 36$ , отношенията образуват пропорция.

Задача 2: Търсене на неизвестен член ( $x$ )

Намери $x$ в пропорцията $x:5 = 12:20$ .

Решение:

Прилагаме свойството $x \cdot 20 = 5 \cdot 12$ :

20x = 60

x = 60 : 20

x = 3

Задача 3: Работа с мащаб

На карта с мащаб $1:500\ 000$ разстоянието между два града е $4\text{ cm}$ . Колко е реалното разстояние в километри?

Решение:

Мащаб $1:500\ 000$ означава, че $1\text{ cm}$ на картата е $500\ 000\text{ cm}$ в действителност.

Пресмятаме: $4 \cdot 500\ 000 = 2\ 000\ 000\text{ cm}$ .
Превръщаме в метри: $2\ 000\ 000 : 100 = 20\ 000\text{ m}$ .
Превръщаме в километри: $20\ 000 : 1000 = 20\text{ km}$ .

Отговор: Реалното разстояние е $20\text{ km}$ .

Задача 4: Практическа задача (Пазаруване)

Ако $5\text{ kg}$ ябълки струват $12.50$ лв., колко ще струват $8\text{ kg}$ от същите ябълки?

Решение:

Съставяме пропорция (количество : цена):

5:12.50 = 8:x

5 \cdot x = 12.50 \cdot 8

5x = 100

x = 20

Отговор: $8\text{ kg}$ ябълки ще струват $20$ лв.

Винаги внимавай за мерните единици при задачите с мащаб! Не можеш да сравняваш сантиметри с километри директно – първо ги „изравни“ до една и съща мерна единица.

Задачи за упражнение: Отношения и пропорции

№	Задача А	Задача Б
1	Образуват ли пропорция отношенията $2:5$ и $6:15$ ?	Образуват ли пропорция отношенията $3:4$ и $9:12$ ?
2	Провери дали е вярна пропорцията $0,8:2 = 4:10$ .	Провери дали е вярна пропорцията $0,5:3 = 1:6$ .
3	Провери равенството $\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$ чрез основното свойство.	Провери равенството $\frac{5}{25} = \frac{2}{10}$ чрез основното свойство.
4	Образуват ли пропорция числата $4; 10; 8; 20$ в този ред?	Образуват ли пропорция числата $6; 2; 15; 5$ в този ред?
5	Намери $x$ , ако $x:4 = 5:2$ .	Намери $x$ , ако $x:9 = 4:3$ .
6	Намери неизвестния член: $15:x = 3:7$ .	Намери неизвестния член: $24:x = 8:5$ .
7	Реши пропорцията $2,5:5 = x:10$ .	Реши пропорцията $1,2:4 = x:20$ .
8	Намери $x$ от равенството $8:0,2 = 40:x$ .	Намери $x$ от равенството $6:0,3 = 20:x$ .
9	Пресметни $x$ в $\frac{x}{12} = \frac{3}{4}$ .	Пресметни $x$ в $\frac{x}{15} = \frac{2}{3}$ .
10	Намери $x$ в пропорцията $\frac{2,1}{x} = \frac{7}{10}$ .	Намери $x$ в пропорцията $\frac{4,5}{x} = \frac{9}{2}$ .
11	Намери $x$ , ако $x : \frac{1}{2} = 6:3$ .	Намери $x$ , ако $x : \frac{1}{3} = 9:2$ .
12	Реши: $0,4:x = 0,2:1,5$ .	Реши: $0,8:x = 0,4:2,5$ .
13	Намери $x$ , ако $1,5:0,5 = x:2,2$ .	Намери $x$ , ако $2,4:0,6 = x:1,5$ .
14	Пропорция ли е $1 \frac{1}{2} : 3 = 2:4$ ?	Пропорция ли е $2 \frac{1}{4} : 9 = 1:4$ ?
15	Намери мащаба, ако $2\text{ cm}$ на картата са $10\text{ km}$ в реалност.	Намери мащаба, ако $5\text{ cm}$ на картата са $50\text{ km}$ в реалност.
16	При мащаб $1:200\ 000$ , колко км са $3\text{ cm}$ на картата?	При мащаб $1:500\ 000$ , колко км са $4\text{ cm}$ на картата?
17	Разстояние от $150\text{ km}$ при мащаб $1:1\ 000\ 000$ е колко см на картата?	Разстояние от $80\text{ km}$ при мащаб $1:400\ 000$ е колко см на картата?
18	На чертеж с мащаб $1:50$ стена е дълга $10\text{ cm}$ . Колко е реално?	На чертеж с мащаб $1:20$ маса е дълга $8\text{ cm}$ . Колко е реално?
19	Ако мащабът е $1:5\ 000$ , колко метра в реалност са $2,5\text{ cm}$ ?	Ако мащабът е $1:2\ 000$ , колко метра в реалност са $4,5\text{ cm}$ ?
20	$3\text{ kg}$ захар струват $4,50$ лв. Колко струват $5\text{ kg}$ ?	$2\text{ kg}$ брашно струват $3,20$ лв. Колко струват $7\text{ kg}$ ?
21	Кола изминава $150\text{ km}$ с $12\text{ l}$ бензин. Колко литра трябват за $200\text{ km}$ ?	Мотор изминава $100\text{ km}$ с $4\text{ l}$ гориво. Колко литра трябват за $250\text{ km}$ ?
22	За $4$ порции трябват $200\text{ g}$ ориз. Колко ориз трябва за $10$ порции?	За $3$ кекса трябват $6$ яйца. Колко яйца трябват за $8$ кекса?
23	Работник изработва $15$ детайла за $3$ часа. Колко ще направи за $8$ часа?	Машина печата $100$ страници за $5$ минути. Колко ще отпечата за $12$ минути?
24	От $10\text{ kg}$ мляко се получава $1\text{ kg}$ сирене. Колко мляко трябва за $3,5\text{ kg}$ сирене?	От $5\text{ kg}$ грозде се получава $2\text{ l}$ сок. Колко грозде трябва за $10\text{ l}$ сок?
25	Сянката на стълб висок $4\text{ m}$ е $6\text{ m}$ . Колко е висок стълб със сянка $9\text{ m}$ ?	Сянката на човек висок $1,8\text{ m}$ е $2,7\text{ m}$ . Колко е дълга сянката на дърво високо $10\text{ m}$ ?

Средно ниво: 40 задачи с практически фокус

При задачите със скоби, като Задача 1, първо превърни пропорцията в уравнение чрез кръстосаното произведение:

(x + 2) \cdot 5 = 10 \cdot 3

5x + 10 = 30

5x = 20 \Rightarrow x = 4

№	Задача А	Задача Б
1	Намери $x$ , ако $(x + 2) : 10 = 3 : 5$ .	Намери $x$ , ако $(x - 1,5) : 4 = 1,2 : 2$ .
2	Реши пропорцията $8 : (2x - 1) = 4 : 3$ .	Реши пропорцията $15 : (3x + 2) = 5 : 4$ .
3	Сплав съдържа мед и цинк в отношение $5 : 2$ . Ако медта е $150\text{ g}$ , колко е цинкът?	Сплав съдържа злато и сребро в отношение $3 : 1$ . Ако среброто е $45\text{ g}$ , колко е златото?
4	Химия: В $200\text{ g}$ разтвор има $10\text{ g}$ сол. Колко сол има в $750\text{ g}$ от същия разтвор?	Химия: В $300\text{ ml}$ сок има $12\text{ g}$ захар. Колко захар има в $1\text{ l}$ (1000 ml) от този сок?
5	Физика: Плътността на вещество е $2,5\text{ g/cm}^3$ . Колко грама тежат $12\text{ cm}^3$ ?	Физика: Желязо има плътност $7,8\text{ g/cm}^3$ . Колко грама тежи детайл с обем $5\text{ cm}^3$ ?
6	Скорост: Автомобил изминава $165\text{ km}$ за $2,5$ часа. Колко км ще измине за $4$ часа със същата скорост?	Скорост: Велосипедист изминава $12\text{ km}$ за $45\text{ min}$ . Колко км ще измине за $1,5$ часа ( $90\text{ min}$ )?
7	География: Мащабът е $1 : 2\ 500\ 000$ . Разстояние от $12,4\text{ cm}$ на картата колко реални км са?	География: Мащабът е $1 : 40\ 000$ . Разстояние от $8,5\text{ cm}$ на картата колко реални км са?
8	Геометрия: Страните на правоъгълник са в отношение $3 : 5$ . Ако малката страна е $12\text{ cm}$ , намери периметъра.	Геометрия: Отношението на страните на триъгълник е $2 : 3 : 4$ . Ако най-късата страна е $10\text{ cm}$ , намери периметъра.
9	Екология: От $40\text{ kg}$ отпадъчна хартия се получават $28\text{ kg}$ рециклирана. Колко хартия трябва за $70\text{ kg}$ рециклирана?	Екология: $5$ слънчеви панела произвеждат $1,2\text{ kW}$ енергия. Колко панела трябват за $4,8\text{ kW}$ ?
10	Икономика: Обменният курс е $1\text{ EUR} = 1,95583\text{ BGN}$ . Колко евро са $500$ лева (закръгли до стотните)?	Икономика: Ако $100$ щатски долара са $182$ лева, колко лева са $250$ долара?
11	Физика: Пружина се разтяга с $1,5\text{ cm}$ при тежест от $100\text{ g}$ . Колко ще се разтегне при $250\text{ g}$ ?	Физика: За $3$ секунди звукът изминава около $1\text{ km}$ . За колко секунди ще измине $4,5\text{ km}$ ?
12	Готварство: Рецепта за $6$ души изисква $450\text{ g}$ брашно. Колко грама трябват за $10$ души?	Готварство: За $500\text{ ml}$ сироп трябват $200\text{ g}$ захар. Колко грама захар трябват за $1,2\text{ l}$ сироп?
13	Проценти: Ако $15\%$ от едно число са $45$ , намери числото чрез пропорция ( $15:100 = 45:x$ ).	Проценти: Ако $25\%$ от капацитета на батерия са $1200\text{ mAh}$ , колко е пълният капацитет ( $100\%$ )?
14	Мащаб на чертеж: Детайл с дължина $4\text{ mm}$ е начертан с дължина $2\text{ cm}$ . Какъв е мащабът на увеличение?	Мащаб на чертеж: Клетка с размер $0,05\text{ mm}$ е начертана като $1\text{ cm}$ . Какъв е мащабът на чертежа?
15	Раздели числото $120$ в отношение $2 : 3$ .	Раздели числото $210$ в отношение $3 : 4$ .
16	Трима работници боядисват $60\text{ m}^2$ за един ден. Колко квадратни метра ще боядисат $5$ работници?	Две помпи изпомпват $40\text{ m}^3$ вода за час. Колко кубика ще изпомпят $7$ такива помпи?
17	Биология: Сърцето на кон тупти $5$ пъти за $8$ секунди. Колко пъти ще тупти за една минута ( $60\text{ s}$ )?	Биология: Едно колибри маха с крила $240$ пъти за $3$ секунди. Колко маха ще направи за $10$ секунди?
18	Колело с $24$ зъба е свързано с колело с $12$ зъба. Ако първото направи $10$ оборота, колко прави второто?	Трансформатор променя напрежението от $220\text{ V}$ на $11\text{ V}$ . Какво е отношението на входното към изходното напрежение?
19	Намери $x$ в пропорцията $\frac{0,2x}{5} = \frac{4}{10}$ .	Намери $x$ в пропорцията $\frac{0,5x}{2} = \frac{15}{6}$ .
20	Сплав тежи $2,4\text{ kg}$ и съдържа цинк и алуминий $1 : 5$ . Колко грама е всяко от тях?	Бетон се прави от цимент и пясък в отношение $1 : 4$ . За $15\text{ kg}$ бетон колко килограма пясък трябват?

5x = 20 \Rightarrow x = 4

Предизвикателни и състезателни задачи

При задачите за работа и скорост (например №5 и №8) използваме факта, че:

x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2

Това означава, че произведението на двете величини остава постоянно.

Как да подходиш към №14 (Сложни съотношения)?

За да събереш две отношения $a:b$ и $b:c$ в едно $a:b:c$ , трябва да направиш средния член ( $b$ ) еднакъв:

$a:b = 2:3$ (умножаваме по 4) $\rightarrow 8:12$
$b:c = 4:5$ (умножаваме по 3) $\rightarrow 12:15$
Резултат: $a:b:c = 8:12:15$

№	Задача А (Наука и Логика)	Задача Б (Наука и Логика)
1	Астрономия: Теглото на човек на Луната и на Земята е в отношение $1:6$ . Ако космонавт тежи $12\text{ kg}$ на Луната, колко тежи на Земята?	Астрономия: На Марс теглото е в отношение $38:100$ спрямо Земята. Ако робот тежи $190\text{ kg}$ на Земята, колко ще тежи на Марс?
2	Физика (Лост): За да има равновесие, силите и рамената са обратнопропорционални ( $F_1:F_2 = L_2:L_1$ ). Ако $F_1 = 10\text{ N}$ и $L_1 = 50\text{ cm}$ , колко е $L_2$ при $F_2 = 25\text{ N}$ ?	Физика (Налягане): Налягането е обратнопропорционално на площта. Ако върху $2\text{ m}^2$ налягането е $100\text{ Pa}$ , колко ще е върху $5\text{ m}^2$ при същата сила?
3	Смеси: Имаш $200\text{ g}$ разтвор с $5\%$ сол. Колко грама вода трябва да се изпарят, за да стане разтворът $10\%$ ?	Смеси: Към $300\text{ g}$ сок с $10\%$ захар добавяш $100\text{ g}$ вода. Каква е новата захарна концентрация в проценти?
4	Геометрия: Периметърът на триъгълник е $36\text{ cm}$ , а страните му се отнасят като $2:3:4$ . Намери дължината на всяка страна.	Геометрия: Ъглите в триъгълник се отнасят като $3:4:5$ . Намери градусната мярка на най-големия ъгъл (сборът им е $180^\circ$ ).
5	Скорост и време: Кола изминава разстояние за $4$ часа със $90\text{ km/h}$ . За колко време ще го измине със $120\text{ km/h}$ ?	Скорост и време: Самолет лети $3$ часа със $800\text{ km/h}$ . С каква скорост трябва да лети, за да измине пътя за $2,5$ часа?
6	Логика: В един клас момчетата и момичетата са $3:5$ . Ако дойдат още $2$ момчета, отношението става $2:3$ . Колко са били първоначално?	Логика: Отношението на парите на Ани и Боби е $4:7$ . Ако Боби даде $6$ лв. на Ани, те ще имат поравно. Колко лева е имал всеки?
7	Златно сечение: Точка $C$ дели отсечка $AB$ в златно отношение $AC:CB \approx 1,618$ . Ако $CB = 10\text{ cm}$ , колко е дълга цялата отсечка $AB$ ?	Златно сечение: Височината на една картина е $60\text{ cm}$ . Колко трябва да е ширината ѝ, за да спазва отношението $3:2$ ?
8	Работа: $5$ работници свършват работа за $12$ дни. За колко дни ще я свършат $10$ работници (при еднаква производителност)?	Работа: $3$ помпи изпразват басейн за $8$ часа. Колко помпи са нужни, за да се изпразни за $2$ часа?
9	Химия (Молекули): В молекулата на водата ( $H_2O$ ) водородът и кислородът са в отношение $2:1$ като брой атоми. Колко атома водород има в $3000$ молекули?	Химия: В молекулата на метана ( $CH_4$ ) водородът и въглеродът са $4:1$ . Ако имаш $1200$ атома водород, колко атома въглерод ти трябват?
10	Мащаб (Площ): Ако мащабът на карта е $1:100$ , а лицето на стая на чертежа е $20\text{ cm}^2$ , колко е реалното лице в $\text{m}^2$ ?	Мащаб (Обем): Модел на куб е в мащаб $1:10$ . Ако обемът на модела е $5\text{ cm}^3$ , колко е обемът на реалния куб?
11	Биология: Отношението на дължината на крилата към тялото на птица е $5:2$ . Ако размахът е $1,25\text{ m}$ , колко е дълго тялото?	Биология: За да се изхрани една колония мравки, трябват $2\text{ g}$ храна на $1000$ мравки. Колко храна трябва за $1,5$ милиона мравки?
12	Възраст: Годините на баща и син сега са $7:2$ , а след $10$ години ще бъдат $9:4$ . На колко години са сега?	Възраст: Преди $5$ години годините на две сестри са били $1:2$ , а сега са $2:3$ . На колко години са сега?
13	Плътност: Две тела имат еднакви маси. Плътностите им са $2:3$ . Какво е отношението на обемите им?	Плътност: Две тела имат еднакви обеми. Плътностите им са $4:5$ . Какво е отношението на масите им?
14	Сложни съотношения: Ако $a:b = 2:3$ и $b:c = 4:5$ , намери отношението $a:b:c$ .	Сложни съотношения: Ако $x:y = 1:2$ и $y:z = 3:4$ , намери $x$ ако $z = 40$ .
15	Екология: Едно дърво абсорбира $22\text{ kg}$ $CO_2$ годишно. Колко дървета трябват, за да неутрализират $1,1$ тона $CO_2$ ?	Енергия: Вятърна турбина произвежда $2\text{ MW}$ при скорост $10\text{ m/s}$ . Колко турбини трябват за $18\text{ MW}$ ?