Най-големите открития в математиката през 2023 г. | Списание Quanta Списание Quanta
Mатематическите истини често се раждат от конфликта между ред и безпорядък. Математиците откриват модели и, за да разберат по-добре действащите мистериозни сили, те търсят противодействащи импулси, които нарушават тези модели.
Това напрежение се появи многократно в нашето отразяване през изминалата година. Покрихме пробивите в теорията на графите, комбинаториката, теорията на числата и геометрията – области, в които моделите възникват по неочаквани начини, понякога поради връзки между привидно различни математически структури, а понякога поради скрити присъщи механизми, разкрити от математиците в нови доказателства.
В завладяващо интервю с нашия старши писател Джордана Цепелевич, Андрю Гранвил обсъди как изчисленията и експериментите могат, по понякога забравени начини, да помогнат на математиците търсене на скрити модели. Той също така говори за промените в това, което е необходимо, за да се убедят други математици, че даден резултат е верен, и защо вярва, че изследването на социалната природа на математиката е от съществено значение за разбирането какво е доказателство.
Това беше един от няколкото разговора, които публикувахме през изминалата година за природата на математическата истина. Юджиния Ченг разговаря с водещия на подкаст Joy of Why Стивън Строгац за теорията на категориите , нещо като „математика на математиката“, която може да изплаши другите математици с нивото си на абстракция. И Джъстин Мур говори със Строгац за границите на аксиомите — основни, очевидни истини — на теорията на множествата и защо винаги ще има важни математически въпроси, на които няма отговор .
Въпреки че по-голямата част от нашето отразяване падна точно в абстрактната сфера, Minhyong Kim разговаря с Кевин Хартнет за Mathematics for Humanity, организация, която основана в подкрепа на математиците, които искат да използват математиката за решаване на социални предизвикателства. А Майк Оркът докладва как математиката се използва, за да се установи справедливостта на картите на законодателните райони и да се начертаят по-справедливи
Голяма година в теорията на графите
Ако има една област на математиката, която беше особено плодотворна през 2023 г., това е теорията на графите. Едно от най-големите математически открития през изминалата година беше доказателството за нова, по-строга горна граница на числата на Рамзи. Тези числа измерват размера, който трябва да достигнат графиките, преди неизбежно да съдържат обекти, наречени клики. Откритието, обявено през март, е първият напредък от този тип от 1935 г. насам. То се отнася до така наречените симетрични числа на Рамзи. Това беше последвано през юни от нов резултат за по-общия асиметричен случай.
И двата документа се занимаваха с това какво се случва, когато графиките растат безкрайно големи. Но Quanta също се замисли върху средната дистанция, разглеждайки какво могат да докажат математиците относно графики, които са твърде големи, за да се анализират чрез груба сила, но по-малки от безкрайната, асимптотична граница.
Написахме нови резултати за това как мрежите от свързани осцилатори влизат в синхрон и как теорията на графите се свързва с квантова теория на полето. Докладвахме за ново откритие относно възможностите за подразделяне на математически обекти, наречени векторни пространства, по определен начин на подмножества, наречени дизайни. И Патрик Хонър, нашият колумнист в Quantized Academy, пише за начина, по който локалните свойства на графиките< a i=10> управлява тяхната глобална структура.
Quanta също публикува статии за два дългогодишни проблема с оцветяването. Един изследва доказателството на известната теорема за четирите цвята, която показва как четири цвята са достатъчни, за да оцветят всяка карта в равнината, така че да няма две съседни области имат същия цвят. Другият покриваше нов резултат по по-малко известен, но също толкова интригуващ въпрос, който пита колко самолет може да бъде оцветен по начин, който гарантира че няма две точки, които са точно една единица една от друга, да имат еднакъв цвят.
Комбинаторните предположения да се броят
Теорията на графите може да се разглежда като клон на комбинаториката – математическото изследване на броенето. Преброяването на това, което може да се случи с колекции от възли и ръбове, е в известен смисъл специален случай на преброяване на комбинации по-общо.
Годината завърши с забележително доказателство от четирима изтъкнати математици на дългогодишна хипотеза, която свързва комбинаториката с алгебричната структура на множествата.
Още през февруари двама компютърни учени, Зандър Кели и Рагу Мека, изумиха математиците с новината за пробив извън лявото поле на стар въпрос от комбинаториката: Колко цели числа можете да хвърлите в кофа, докато правите сигурни ли сте, че нито една три от тях не образуват равномерно разпределена прогресия (като 3, 8 и 13 или 101, 201 и 301)? Кели и Мека разбиха дългогодишната горна граница на броя цели числа, по-малки от някакво ограничение N, които могат да бъдат поставени в кофата, без да се създава такъв модел.
Предишния месец Кевин Хартнет докладва за статия от ноември 2022 г. на друг външен човек – изследовател в Google на име Джъстин Гилмър, който е напуснал математика преди години, но никога не е спирал да мисли за комбинаторна задача, наречена хипотеза за затворено обединение. Тази хипотеза се отнася до семейства от множества като {1}, {1, 2}, {2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}. Това семейство е „затворено по отношение на съюза“, защото ако комбинирате всеки два комплекта в семейството, комбинацията също е в семейството. Хипотезата, която Гилмър доказа, казва, че ако едно семейство е затворено, то трябва да има поне едно число, което се появява в поне половината набори. Гилмър използва аргумент, извлечен от теорията на информацията, който разчита на произволно избиране на две групи от затворено семейство, което отговаря на определени характеристики. Неговият аргумент е още един пример за това как произволността може да се използва като инструмент за извод за съществуването на структура.
За разлика от това, априлска статия от Кевин Хартнет описва случай, при който сложни, но прости структури изненадващо се оказват възможни. Bernardo Subercaseaux и Marijn Heule показаха, че е възможно да се запълни безкрайна решетка с числа по такъв начин, че разстоянието между две срещания на едно и също число трябва да бъде по-голямо от самото число — като се използват само числата между 1 и 15.
А дългогодишният сътрудник на Quanta Ерика Кларайх написа за изненадващото разпространение на така наречените непреходни зарове< /span>. Това са например комплекти от три зара A, B и C, в които A е вероятно да победи (хвърли по-голямо число от) B, B е вероятно да победи C и C е вероятно да победи A. Нова статия показа, че ако знаете само, че зарът A побеждава зарът B и B побеждава C, това не дава информация за това дали A или C има вероятност да надделее в директен мач.
Нови връзки в теорията на числата
Вероятно повече, отколкото във всяка друга област на математиката, теоретиците на числата могат да доказват просто звучащи теореми, използвайки невероятно сложни технически конструкции. Тази година Quanta заведе читателите на обиколка на някои от тези конструкции. Публикувахме задълбочен визуален обяснител на модулни форми, които са описани като „петата основна операция“ на математиката, заедно със събиране, изваждане, умножение и деление. И заведохме читателите на историческа обиколка на квадратичната реципрочност, един от най-мощните инструменти на теорията на числата. Обяснителят на модулни форми е вдъхновен от статия за така наречените неконгруентни модулни форми — по-малко проучен тип функция, която въпреки това има големи последици за физика.
Макс Леви, който написа обяснението на квадратичната реципрочност, се заинтересува от темата, докато съобщаваше за изненадващо лятно откритие за модели, които кръжат мога да направя. Леви разказа как двама студенти, работещи по летен изследователски проект, помогнаха да се опровергае дългогодишната хипотеза за това как кръговете могат да бъдат хармонично вложени, наречена хипотеза от локално към глобално. Това беше едно от многото разработки тази година, които демонстрираха нарастващата полезност на изчислителните инструменти в математиката. Студентите и техните съавтори първо намериха доказателства, че предположението е невярно, като се вгледаха в компютърно генерирани графики, които бяха създали, в опит да го видят в действие.
Модулните форми са тясно свързани с елиптичните криви — гладки функции на две променливи, където едната променлива е на квадрат, а другата на куб. (Функциите също така отговарят на някои специфични математически ограничения.) Връзката между двете беше централна за доказателството на Андрю Уайлс от 1994 г. за последната теорема на Ферма. Хартнет пише за напредъка в разбирането на изследователите за тази връзка за елиптични криви, които са дефинирани с променливи, извлечени от въображаеми квадратични полета — числа от вида b + a √−5 където a и b са рационални числа, или дроби.
Той също пише за дългоочаквания магнум опус — ръкопис от 451 страници от носителя на медал от Филдс Акшай Венкатеш, заедно с Янис Сакеларидис и Дейвид Бен-Зви, който разработва допълнителни връзки между обекти, свързани с модулни форми и L-функции, важен тип безкрайна сума с дълбока връзка с прости числа.
Теоретиците на числата обръщат специално внимание на простите числа и фините и красиви начини, по които те се разпределят между другите цели числа. Интересното е, че ако смятате, че отиват към безкрайност, отдавна е известно, че простите числа оставят равен брой остатъци, когато се разделят на някакво число – например, ако разделите всички прости числа на 5, ще получите равен брой от остатъците 1, 2, 3 и 4. Но математиците продължават да се стремят да доказват резултати за това колко бързо простите числа се изравняват. През октомври докладвахме за ново поколение математици, които доказват теореми за начините, по които се разпределят простите числа.
Също така представихме — и представихме отново — забавна математическа игра, наречена Hyperjumps, която изследва напрежението между структурата и произволността, като предизвиква играчите да създават прости поредици от числа, използващи основна аритметика.
Въведение
Апериодичен монотил, открит след дълго търсене
Беше вълнуваща година и по геометрия. Резултатът, който привлече най-голямо внимание през годината, беше откриването на нов вид плочки, които покриват равнината в модел, който никога не се повтаря. Комбинация от две плочки, която прави това, е известна от 1970 г., но единичната плочка, открита от любител на име Дейвид Смит и обявена през март, беше сензация. Феновете използваха простия дизайн като форма за бисквити и го зашиха в юргани. Проследихме нашето отразяване на новините с колона, обясняваща част от основната математика, и друга, даваща кратка история на подреждането< /span>.
Говорейки за игли, това беше и година на напредък по хипотезата на Какея, която задава въпроса колко малко пространство може да заеме една идеализирана игла, докато се върти във всички посоки. Ново доказателство за специален случай на хипотезата (наречена „лепкава“ хипотеза на Какея) дава убедителни доказателства, че по-общата хипотеза е вярна.
Оказва се, че хипотезата има значение не само за геометрията, но и за хармоничния анализ и изучаването на частични диференциални уравнения. Последващо обяснение разглежда тези последици. И колона Quantized Academyпревежда читателите през основната логика на предположението.
В други новини за геометрията, една дългогодишна идея за картите между сфери с различни размери, наречена предположение за телескопа, се оказа невярна. Конкретни типове контактни структури (модели на равнини, които отговарят на определени математически свойства), които отдавна се смятаха за невъзможни, се оказаха съществуващи.
Интервюирахме Еми Мърфи, геометър, който изучава такива контактни структури. Мърфи описва контактната геометрия (и нейния брат, симплектична геометрия) като съществуваща в средата на спектър от твърдост и гъвкавост. В твърдата геометрия много зависи, каза тя, от прецизни измервания, докато гъвкавата геометрия има тенденция да прилича на алгебра. Но между тях, каза тя, е мястото, където „визуалното мислене е по-полезно“.
През януари математикът Асаф Наор и компютърният учен Одед Регев доказаха съществуването на така наречените сферични кубове. Това са обекти, чиято повърхност нараства бавно – както и повърхността на сферите в по-високи измерения – но които могат напълно да запълнят пространството, както кубовете.
Един от най-видните геометри на 20-ти век, Еудженио Калаби, почина на 100 години на 25 септември. Джери Каздан, един от негови дългогодишни колеги каза, че Калаби ще „зададе интересни въпроси, за които никой друг не мисли“. Нашият некролог на Калаби изследва тези въпроси, като се фокусира по-специално върху най-известното му откритие, многообразията на Калаби-Яу, които по-късно станаха централни за теорията на струните във физиката.
Все пак това е нестабилен свят
Говорейки за физика, публикувахме и няколко нови резултата относно математиката на черните дупки, любима тема на автора Стив Надис. Той пише за нова статия, която открива безкраен брой различни форми на черна дупка във висшите измерения, и друга статия, която изяснява математиката на .граници на черни дупки
През април описахме как математиците се обединяват с физици, за да разберат нови видове симетрии в теориите на квантовите полета.
Катрин Ман и Томас Бартелме, заедно със Стивън Франкел, публикуваха серия от документи, характеризиращи динамичните системи, наречени потоци на Аносов, които балансират хаоса и стабилността . Във всяка дадена точка потоците се събират в една посока и се отклоняват в друга.
И в това, което може би е най-смущаващата математическа статия за годината, ние свързахме новини от поредица от три статии от Марсел Гуардия, Жак Фейоз и Андрю Кларк показват, че планетарните орбити в модел на слънчева система винаги ще бъдат нестабилни. Добрата новина е, че техният модел е доста различен от нашата слънчева система, въпреки че Кларк смята, че подобни нестабилности може да съществуват и тук.
Но ако го направят, скоро няма да изпратят никоя от планетите извън орбитите си, така че можете да очаквате с нетърпение още една година на математическо отразяване от Quanta през 2024 г.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
