Време за работа: 80 минути
ЧАСТ 1:
1. Граница на числова редица
-
Пресметнете границата $\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2 – 3n + 1}{2n^2 + 5}$.
А) 0; Б) 2; В) 4; Г) $\infty$
2. Метод на математическата индукция
-
При доказване на твърдението $P(n): 1+3+5+…+(2n-1) = n^2$ чрез индукция, ако приемем, че $P(k)$ е вярно, каква е следващата стъпка за проверка на $P(k+1)$?
А) $k^2 + (2k-1)$; Б) $k^2 + (2k+1)$; В) $(k+1)^2 – 1$; Г) $k^2 + 1$
3. Реципрочни уравнения
-
Корените на уравнението $x^3 – 4x^2 – 4x + 1 = 0$ са:
А) 1, 2, -1; Б) -1, $2 \pm \sqrt{3}$; В) 1, $2 \pm \sqrt{3}$; Г) други
4. Полиноми – Теорема на Безу
-
Остатъкът при делението на полинома $P(x) = x^4 – 3x^2 + 2x – 5$ на $(x – 2)$ е:
А) 3; Б) -1; В) 1; Г) 7
-
За коя стойност на параметъра $a$ полиномът $P(x) = x^3 + ax^2 – x + 2$ се дели без остатък на $(x + 1)$?
А) 2; Б) -2; В) 0; Г) 1
5. Стереометрия – Перпендикулярност
-
Ако права $a$ е перпендикулярна на равнина $\alpha$ и права $b$ лежи в $\alpha$, то ъгълът между $a$ и $b$ е:
А) 0°; Б) 45°; В) 90°; Г) 180°
-
Равнините $\alpha$ и $\beta$ са перпендикулярни. Точка $M$ лежи в $\alpha$ и е на разстояние 5 cm от пресечницата им. Разстоянието от $M$ до равнината $\beta$ е:
А) 0 cm; Б) 5 cm; В) $5\sqrt{2}$ cm; Г) Не може да се определи.
6. Координати на точка и разстояние
-
Намерете разстоянието между точките $A(1, -2)$ и $B(4, 2)$.
А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 7
7. Уравнение на права
-
Кой е ъгловият коефициент на правата с уравнение $3x – 2y + 6 = 0$?
А) 3; Б) -3/2; В) 3/2; Г) 2/3
-
Уравнението на права, минаваща през $P(0, 4)$ и успоредна на оста $Ox$, е:
А) $x = 4$; Б) $y = 4$; В) $y = x + 4$; Г) $y = -4$
8. Взаимно положение на две прави
-
Правите $y = 2x + 1$ и $y = kx – 5$ са перпендикулярни, ако $k$ е:
А) 2; Б) -2; В) 1/2; Г) -1/2
9. Уравнения на криви от втори ред (Окръжност)
-
Центърът на окръжността $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 16$ има координати:
А) (-3, 1); Б) (3, -1); В) (3, 1); Г) (16, 16)
10. Скаларно произведение на вектори
-
Ако $\vec{a}(2, 3)$ и $\vec{b}(-1, 4)$, то скаларното произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$ е:
А) 10; Б) 14; В) -2; Г) 5
-
Векторите $\vec{u}(1, m)$ и $\vec{v}(4, -2)$ са перпендикулярни, ако $m$ е:
А) 2; Б) -2; В) 4; Г) 0
11. Векторна база и линейна зависимост
-
Коя двойка вектори е линейно независима (може да служи за база в равнината)?
А) (1, 2) и (2, 4); Б) (1, 0) и (0, 1); В) (3, -1) и (-6, 2); Г) (0, 0) и (1, 1)
-
Ако $\vec{c} = 2\vec{a} – 3\vec{b}$, то векторите $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ са:
А) Линейно независими; Б) Линейно зависими; В) Перпендикулярни; Г) Колинеарни
ЧАСТ 2: Интегрирани задачи
12. Физика (Механика) и Вектори
-
Върху тяло действат две сили $\vec{F_1}(3, 4)$ и $\vec{F_2}(5, -2)$ (в Нютони). Намерете големината на резултантната сила $\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$.
13. Биология (Екология) и Граници
-
Концентрацията на лекарство в кръвта след $n$ часа се дава с редицата $C_n = \frac{5n}{2n^2 + 1}$. Каква е границата на концентрацията при неограничено нарастване на времето?
14. Астрономия и Елипса
-
Орбитата на Земята около Слънцето е елипса, в единия фокус на която е Слънцето. Ако уравнението на орбитата е $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, а голямата полуос е $a = 150$ млн. км, а малката е $b = 149$ млн. км, намерете ексцентрицитета на орбитата $e = \frac{c}{a}$.
-
Комета се движи по параболична траектория с уравнение $y^2 = 20x$ (в подходящи единици). Намерете координатите на Слънцето, ако се знае, че то се намира във фокуса на параболата.
15. Химия и Полиноми
-
Скоростта на една химична реакция зависи от концентрацията $x$ и се описва с полинома $P(x) = x^3 – 6x^2 + 11x – 6$. Намерете стойностите на концентрацията $x$, за които скоростта на реакцията е нула
-
При разлагане на вещество, остатъчното количество се описва с полином $Q(x)$. Ако при концентрация $x=1$ количеството е 0, а при деление на $(x-2)$ остатъкът е 5, намерете полином от втора степен, удовлетворяващ тези условия.
© София-Мат ЕООД
