„Теоремата за космата топка“ на математика има изненадващи последици Scientific American
Ето какво най-косматият проблем по математика може да ни научи за вятъра, антените и ядрената енергия.
Може да се изненадате да научите, че не можете да срешете космите върху кокосов орех, без да създадете ‘кравешко зализване’ (cowlick). Може би още по-изненадващо, това глупаво твърдение с още по-глупаво име, „теоремата за космата топка“, е гордо откритие от клон на математиката, наречен топология. Ако оставим настрана младежкия хумор, теоремата има всякакви последици в метеорологията, радиопредаване и ядрената енергия .
Тук „cowlick“ може да означава или плешиво петно, или кичур коса, стърчащ право нагоре. Разбира се, математиците не се позовават на кокосови орехи или кравешки орехи в рамката на проблема. На
по-технически език, мислете за кокосовия орех като сфера, а космите като вектори. Вектор, често изобразяван като стрелка, е просто нещо с величина (или дължина) и посока. Сресването на косата плоско срещу страните на кокосовия орех би образувало еквивалента на допирателни вектори – тези, които докосват сферата точно в една точка по дължината си. Освен това искаме гладък гребен, така че да не позволяваме косата да се разделя никъде. С други думи, подреждането на векторите върху сферата трябва да бъде непрекъснато, което означава, че близките косми трябва да променят посоката си само постепенно, а не рязко. Ако свържем тези критерии заедно, теоремата казва, че какъвто и да е начинът, по който се опитвате да присвоите вектори на всяка точка на сфера, нещо грозно непременно ще се случи: ще има прекъсване, вектор с нулева дължина (плешиво петно) или вектор, който не е допирателен към сферата. На пълен жаргон: непрекъснато неизчезващо допирателно векторно поле върху сфера не може да съществува…
Това твърдение се простира до всякакви космати фигури. В областта на топологията математиците изучават форми, както биха направили в геометрията, но те си представят, че тези форми са направени от вечно еластична гума. Въпреки че тази гума може да се оформя в други форми, тя не може да се разкъса, слее или да премине през себе си. Ако една форма може плавно да се деформира в друга, без да се правят тези неща, тогава тези форми са еквивалентни, що се отнася до тополозите. Това означава, че теоремата за косматите топки автоматично се прилага за космати кубове, космати плюшени животни и космати бейзболни бухалки, които всички са топологично еквивалентни на сфери. (Можете да ги оформите всички от топка Play-Doh, без да нарушавате гумените правила.)
Нещо, което не е еквивалентно на сфера, е вашият скалп. Скалпът сам по себе си може да бъде сплескан в повърхност и да се разресва в една посока като влакната на пухкав килим. За съжаление, математиката не може да извини леглото ви. Поничките също се различават от сферите, така че космата поничка — неапетитен образ, без съмнение — може да бъде гладко сресана.
Ето едно любопитно следствие от теоремата за космата топка: винаги ще има поне една точка на Земята, където вятърът не духа по повърхността. Вятърът тече в непрекъсната циркулация около планетата и неговата посока и величина на всяко място на повърхността могат да бъдат моделирани чрез вектори, допирателни към земното кълбо. (Не е необходимо векторните величини да представляват физически дължини, като тези на космите.) Това отговаря на предпоставките на теоремата, която предполага, че поривите трябва да умрат някъде. Кравешко облизване може да възникне в окото на циклон или водовъртеж, или може да се случи, защото вятърът духа директно нагоре към небето. Този спретнат онлайн инструмент изобразява актуални вятърни течения на Земята и можете ясно да забележите въртящите се кравички
(https://earth.nullschool.net/#current/wind/surface/level/orthographic=46.56,-117.41,332).
За да наблюдавате друго странно разклонение на теоремата, завъртете баскетболна топка, както искате. Винаги ще има точка на повърхността, която има нулева скорост. Отново свързваме допирателен вектор с всяка точка въз основа на посоката и скоростта в тази точка на топката. Въртенето е непрекъснато движение, така че теоремата за космата топка се прилага и осигурява точка без никаква скорост. При по-нататъшен размисъл това може да изглежда очевидно. Въртяща се топка се върти около невидима ос и точките от двата края на тази ос не се движат. Ами ако пробием малка дупка през топката точно по тази ос, за да премахнем стационарните точки? Тогава изглежда, че всяка точка ще се движи. Това нарушава ли теоремата за космата топка? Не, защото пробиването на дупка превърна топката в поничка! Дори понички с необичайно дълги,
Продължавайки от сценариите с играчки – теоремата за космата топка всъщност налага осезаеми ограничения на радиоинженерите. Антените излъчват радиовълни в различни посоки в зависимост от избора на дизайн. Някои насочват сигналите си в определена посока, докато други излъчват по-широко. Човек може да се изкуши да опрости нещата и да изгради само антени, които изпращат сигнали с еднаква сила във всяка посока наведнъж, които се наричат изотропни антени. Има само един проблем: определен космат факт от топологията налага, че изотропните антени не могат да съществуват. Представете си кълбо от вълни, излъчвано от централен източник. Достатъчно далеч от източника, радиовълните показват електрическо поле, перпендикулярно на посоката, в която се движат, което означава, че полето е допирателно към сферата от вълни. Теоремата за космата топка настоява, че това поле трябва да падне някъде до нула, което предполага смущение в сигнала на антената. Изотропните антени служат само като теоретични идеали, с които сравняваме реалните характеристики на антената. Интересното е, че звукът предава различен вид вълна без перпендикулярното свойство на радиовълните, така че са възможни високоговорители, които излъчват звук с еднаква интензивност във всяка посока.
Може би най-якото приложение на теоремата за космата топка се отнася до мощността на ядрения синтез. Термоядрената енергия носи огромно обещание – може би някой ден – да помогне за облекчаване на
енергийната криза. Той има потенциала да генерира огромни количества енергия без опасенията за околната среда, които измъчват изкопаемите горива и с много по-малко радиоактивни рискове, свързани с
традиционните реактори за ядрено делене. С две думи термоядрените реактори започват, като вземат гориво като водород и го подлагат на интензивна топлина и налягане, което го разкъсва на съставните му части, за да образува плазма. Плазмата е облак от електрони и други заредени частици, които се движат наоколо и понякога се сливат, за да образуват нови частици, освобождавайки енергия в процеса.
Има фундаментално инженерно препятствие при изграждането на
термоядрени реактори: Как да задържате плазма, която е 10 пъти по-гореща от ядрото на слънцето ? Нито един материал не може да издържи тази температура, без да се разпадне в самата плазма. Така че учените са измислили хитро решение: те използват магнитните свойства на плазмата, за да я ограничат в силно магнитно поле. Най-естествените дизайни на контейнери (мисловни кутии или кутии) са топологично еквивалентни на сфери. Магнитно поле около която и да е от тези структури би образувало непрекъснато допирателно векторно поле и в този момент знаем какво се случва с подобни космати конструкции. Нула в магнитното поле означава теч в контейнера, което означава катастрофа за целия реактор. Ето защо водещият дизайн за термоядрени реактори, токамак, има камера с форма на поничка . Мегапроектът за международен термоядрен експериментален реактор (ITER) планира да завърши изграждането на нов токамак във Франция до 2025 г., а участващите твърдят , че тяхната система за магнитно задържане ще бъде
„най-голямата и най-интегрирана свръхпроводяща магнитна система, създавана някога“. Това е топология, която играе своята роля в нашето бъдеще за чиста енергия.
